万有引力与航天高考新题鉴赏

马 剑

(南京第九中学　江苏 南京　210018)



万有引力与航天高考新题鉴赏

马 剑

(南京第九中学江苏 南京210018)

对2015年高考中“万有引力与航天”相关的创新试题进行分析，同时对现有发行杂志中存在的错误进行了修正.

万有引力与航天高考新题型

近期拜读了“2015高考万有引力与航天类试题评析”[1]一文，颇有感触.遂结合自己对教学内容的一些理解，再次对文中提及的一些新题加以鉴赏，以期对高三复习起到帮助.

【例1】(2015年高考天津卷)P1和P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星S1和S2，两卫星均做匀速圆周运动，图1中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心距离r的平方，两条曲线分别表示P1，P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同，则

A．P1的平均密度比P2的大

B．P1的第一宇宙速度比P2的小

C.S1的向心加速度比S2的大

D．S1的公转周期比S2的大

图1　a-r2关系曲线

评析：本题在“中心天体-环绕天体”模型基础上进行了创新，注重对学生分析图像数据能力的考查.在a-r2关系曲线中，P1和P2曲线的左端点横坐标相同，可知P1和P2两颗行星的半径相同.但由于考生对行星内部及外部的加速度分布情况认识不到位，得出此条件还是有一定难度的.

先通过变式1讨论行星内部及外部的加速度分布情况.

变式1：设地球是一质量分布均匀的球体，O为地心.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.在下列4个图中，能正确描述x轴上各点重力加速度g的分布情况的是

重力加速度与距离球心的长度成正比.正确选项为A.

故例1，a-r2关系曲线中P1,P2曲线的左端未画出的应是星球内部的关系图像.如果学生有这部分的知识储备，再认真审题——图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，便能对两行星半径大小进行判断.

解答：A,C正确.

对于选项C，S1，S2到P1，P2球心的距离相等，又因为引力产生的加速度数值大小与向心加速度的大小相等.由a-r2关系曲线可以判断S1的向心加速度比S2的大.C选项正确.

对于选项D，由

得

中心天体质量大的卫星周期小.D选项错误.

【例2】(2015年高考山东卷)如图2，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动.据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动.以a1，a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小.以下判断正确的是

A．a2>a3>a1B．a2>a1>a3

图2　例2图示

【例3】(2015年高考安徽卷)由3颗星体构成的系统(见图3)，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式:3颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的3个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A，B，C3颗星体质量不相同时的一般情况).若A星体质量为2m，B和C两星体的质量均为m，三角形边长为a.求：

(1)A星体所受合力大小FA；

(2)B星体所受合力大小FB；

(3)C星体的轨道半径RC；

(4)三星体做圆周运动的周期T.

图3　例3图示

分析：(1)、(2)两问是求一个质点受到多个质点的万有引力.解题方法是先用万有引力定律求各个质点的引力大小和方向，再求矢量和.

对A有

对B有

Fx=FC-B+FA-Bcos60°

Fy=FA-Bsin60°

图4

(3)、(4)问是本题的新意所在，由于3颗星体围绕同一圆心做圆周运动.(1)、(2)两问已经可以判断出A,B两个星体的向心力方向，交点D即此题目的圆心O，也是BC边中垂线的中点.由几何关系可得

对任一天体而言，万有引力提供圆周运动的向心力.对C有

困惑：(1)根据本题的示意图(见图3)，三星体的轨道半径很明显是不等的.但经过分析，三星体的实际运行轨道应如图5所示，B和C应在同一圆轨道上.经过查阅相关资料，大多试题中采用是图3.文献[1]中采用的也是图3.若这是命题者故意而为之，作为高考题，笔者以为这样的做法不能被称作新意，配置错误的插图会直接影响学生的作答，影响思维逻辑的展开.若这是试题在传播的过程中出现了错误，那有必要立刻加以改正.(2)题目中“绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动”这个条件该如何理解？这个条件并没有直接指出3个星体都是在做角速度相等的匀速圆周运动，这给学生解题也带来了无意义的思维障碍.

图5

【例4】(2015年高考新课标Ⅱ卷)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图6所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为

A.西偏北方向，1.9×103m/s

B. 东偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.东偏南方向，2.7×103m/s

图6

分析：本题目考查的实为“速度的合成与分解”相关知识，与万有引力的基本规律无太直接的关联.这也正是此高考题的新意所在，考查学生分析问题处理问题的能力.

如图7,根据余弦定理

东偏南方向.

图7

点评：对考生而言，本题的难度可能更多在于对插图的理解.插图上两个方向，应理解为转移轨道与同步轨道交点处卫星的线速度方向.作为高考题插图，不能直观地反映题目想表达的意思，无谓的增加考生思维负担，值得反思.

总结：高考题的创新是建立在课程标准及考纲标准之上的，所以在高三复习的早些时候，依然要重视学生对基础知识的掌握.到复习的后期，可适当地补充习题，拓展学生的知识面.对教师而言，要及时分析高考新题，做到与时俱进.

1章克文.2015年高考万有引力与航天类试题评析.物理教学探讨，2015(9)：45～47

2016-04-01)