巧用圆解决力学问题*

倪守祥　徐逸凡　董芳芳

(盐城景山中学　江苏 盐城　224002)



巧用圆解决力学问题*

倪守祥徐逸凡董芳芳

(盐城景山中学江苏 盐城224002)

通过例题介绍了圆在解决力的合成与分解、运动的合成与分解以及牛顿第二运动定律等问题时的重要应用.巧妙应用圆的知识，可使复杂问题变得简单且易于理解.

圆力学力牛顿第二定律

物理与数学同为科学大家庭一员，互为表里，息息相关.杰出的数学能力往往能帮助我们更快速有效地解决物理难题.而数学中的圆，作为自然界中最美的图形，包含了直线、弧、圆心角、弦切角等丰富的几何内容.我们不妨思考，是否能将如此美丽的图形为我们所用，以解决较为复杂的物理问题呢？今天，我们将让物理邂逅数学，一起探讨圆在高一物理中的运用，主要分为以下3个部分.

1　圆在力的合成与分解中的应用

【例1】将力F分解为F1和F2两个分力，若已知F1和F2的夹角θ为钝角，则当F1,F2大小相等时，它们的大小为______；当F1取最大值时，F2的大小为______.

图1

解析：一力确定，另两力夹角恒定，即F不变而分力F1和F2保持θ角不变，如图1所示，可利用“同弧所对的圆周角不变”在圆中构建变化的闭合矢量三角形，可轻松得出答案.

(1)当F1，F2大小相等时,有

即

【例2】在“互成角度的两个力合成”实验中，用A,B两只弹簧测力计把橡皮条上的结点拉到某一位置点O，这时AO和BO间夹角∠AOB<90°，如图2所示.现保持弹簧测力计A的拉力大小不变，并逐渐减小α角，为了使结点仍被拉到O点，则应调节弹簧测力计B拉力的大小和方向，下列调整方法中，一定不可行的是

A．增大弹簧测力计B的拉力和β角

B．增大弹簧测力计B的拉力，β角不变

C．增大弹簧测力计B的拉力，减小β角

D．B的拉力大小不变，增大β角

解析：以结点O为研究对象，对其受力分析，结点位置不变，说明皮条对结点的拉力不变，这是“一力确定，另一个力的大小确定”问题.利用“圆的半径相等”，以O点为圆心，FA的大小为半径作圆.

图2

因为∠AOB<90°，由图3可知，随着α角的减小，FB的大小不断增大，β角先减小后增大.综上，本题选D.

图3

【例3】不可伸长的轻绳AO和BO下端系一个质量为m的物体，细线长AO>BO，A，B两端点在同一水平线上，开始时两线刚好绷直，BO垂直于AB，如图4所示.现保持A，B在同一水平线上，使A逐渐远离B，在此过程中，细线上的拉力FA，FB的大小随A，B间距离的变化情况是

A．FA随距离增大而一直增大

B．FA随距离增大而一直减小

C．FB随距离增大而一直增大

D．FB随距离增大而一直减小

图4

解析：如图5所示，以结点O为研究对象，对其受力分析，两绳合力与重力等值反向.由题意可知，OA与OB的长度恒定，利用圆解决问题十分简便.以结点O为圆心，分别以OB，OA长为半径画圆，因A，B始终在同一水平线上，由此确定远离过程中A，B端点位置，即确定拉力方向.

最初，FA=0，FB=mg，随着A点远离B点，由图示可知，FA一直增大，FB先减小后增大，所以此题选A.

图5

2　圆在运动的合成与分解中的应用

【例4】已知小船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.要使小船渡河时通过的路程最短，求下列两种情况下小船静水速度的方向与上游河岸的夹角分别为多大.

(1)v1>v2;

(2)v1

解析：(1)当v1>v2时，小船静水速度方向应斜向上游，并使船垂直于河岸航行，则渡河路程最短．设船静水速度的方向与上游河岸的夹角为θ，则v1cosθ=v2，所以

(2)当v1

图6

由图6可知，当船实际航行方向与圆相切时，小船与垂直河岸方向间的夹角最小，渡河的路程最短.此时，v2cosθ=v1，所以

3　圆在牛顿运动定律中的应用

【例5】如图7所示，AD,BD,CD是竖直面内3根固定的光滑细杆，A,B,C,D位于同一圆周上，A点为圆周的最高点，D点为最低点．每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，3个滑环分别从A,B,C处释放(初速度均为零)，用t1,t2,t3依次表示滑环到达D所用的时间，则

A．t1

B．t1>t2>t3

C．t3>t1>t2

D．t1=t2=t3

图7

解析：设任意细杆与竖直方向的夹角为θ，则小滑环的运动路程为s=2Rcosθ，加速度a=gcosθ，则运动时间

因此本题选D.

结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等，像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”.

推论：物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点(如图7中，E，F点)所用的时间相等.

【例6】如图8所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a,b两球分别由A,B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点．则

A.a球最先到达M点

B.b球最先到达M点

C.c球最先到达M点

D.c,a,b三球依次先后到达M点

解析:设圆轨道半径为R，根据“等时圆”理论

B点在圆外

c球做自由落体运动

所以此题选C和D.

图8

【例7】(等时圆拓展)如图9，AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道(假使光滑)，使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？

图9

图10

【例8】(等时圆拓展)在离坡底10 m的山坡上O点竖直地固定一长10 m的直杆AO(即BO=AO=10 m).A端与坡底B间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，取g=10 m/s2，如图11所示，则小球在钢绳上滑行的时间为

图11

解析：如图12所示，以O点为圆心，以R=10 m为半径作圆，则A,B为圆周上的点，AB为弦，故从A到B的时间等于从A沿直径运动到直径另一端点的时间,据“等时圆”可得

故B正确.

图12

小结：“他山之石，可以攻玉”，适时地将各种学科有机结合，将所学的知识互相迁移，灵活运用，不仅可以拓宽我们的思维，提高我们的创新能力，还常常会取得意想不到的效果.

1王中元.单位圆在物理学中的巧妙应用.中学物理，2011(2)：49～50

2单文忠.巧画圆解动态受力平衡问题.物理教师，2012(2)：24～25

倪守祥(1998-)，男，在读高中生.

指导教师：董芳芳(1987-)，女，硕士，中教一级，主要从事中学物理教学与研究.

2016-01-12)

*江苏省中小学教学研究第十一期立项课题，项目编号：2015JK11-L153