考虑局部非线性影响的设备-结构相互作用研究

姜忻良, 张崇祥

(天津大学 建筑工程学院 滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室 (天津大学)，天津　300072)



考虑局部非线性影响的设备-结构相互作用研究

姜忻良, 张崇祥

(天津大学 建筑工程学院 滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室 (天津大学)，天津300072)

针对某些设备在地震时容易破坏的特点，进行考虑设备非线性因素影响的设备-结构动力相互作用体系分析。引入了能考虑局部非线性的混合动态子结构法，并将设备作为非线性二级子结构参与分析，导出了线性与非线性耦合的混合动态子结构方程。应用该方法进行了设备-结构动力相互作用体系三种不同计算模型的地震时程响应分析。研究表明：一般情况下，考虑非线性设备与线性结构相互作用后，结构反应有所减小，设备反应增大，具体结果不仅与结构自身特性有关而且与地震动类型密切相关。提出的该方法具有计算可靠、效率高的特点。

混合动态子结构法；二级子结构；设备-结构；动力相互作用；有限元；局部非线性

现代建筑结构中非结构类构件所占比例越来越多，特别是在生产生活中广泛应用的仪器设备等，从而形成具有独特动力特性的设备-结构相互作用体系。由于设备的易损性特点，即使震后结构性能完好但内部设备可能已发生损坏，影响震后救灾工作。所以近年来，考虑设备-结构相互作用抗震性能研究逐渐引起人们的重视。当前设备-结构动力相互体系的分析方法主要有两种：① 楼面反应谱法，楼面反应谱法发展经历了两个阶段。第一代楼面反应谱法将不含设备的结构楼面反应作为输入，求得具有不同自振周期设备的反应，由于它不考虑设备-结构相互作用，所得到的楼面谱可能有较大的误差；第二代楼面谱，通过不同计算途径考虑设备与结构之间质量比、谐振等相互作用因素影响，计算得到更可靠的楼面谱。秦权等[1-4]应用第二代楼层反应谱法研究了结构上的设备反应情况；② 设备与结构耦合分析方法包括模态分析和时域分析法，LGUSA等[5]采用模态分析方法对二阶系统的进行了地震反应分析。MANOLIS等[6]采用时域子结构分析方法研究不同设备参数下结构地震反应变化。该方法存在主要不足耦合分析产生过多的自由度，特别是当其中一个部件特性发生改变时，涉及到整个二阶系统方程需要重新计算。子结构法[7]是此问题一种很好的解决方法，李杰等[8]应用子结构法研究了空间设备-结构在经典阻尼与非经典阻尼情况下的弹性解，计算的设备动力响应结果与实测结果吻合良好。由于子结构法基于叠加原理，一般只适用于线性分析的情况。地震作用下设备进入非线性状态后，设备-结构相互作用体系的抗震性能将发生变化。姜忻良等[9-10]提出了混合动态子结构法，该方法将有限元法与子结构法相结合能够有效求解局部非线性分析问题。

本文首先引入混合动态子结构法求解考虑局部非线性影响的设备-结构动力相互作用分析问题，能考虑设备-结构相互作用，其中设备作为非线性二级子结构参与分析。然后利用MATLAB编程软件，以某钢框架结构为例，进行设备-结构动力相互作用体系地震时程响应分析，研究考虑设备-结构相互作用对结构与设备反应的影响以及混合动态子结构法在设备-结构相互问题中适用性。

1　设备-结构相互作用计算方法

许多建筑结构设置专门的设备层，以解决诸如精密的仪器、冷却塔、水泵、空调器、热交换机等建筑设备的放置问题，为研究考虑相互作用后的结构或设备抗震性能变化，需要建立完整的结构-设备动力相互作用分析模型。如图1所示框架结构-设备相互作用体系模型，结构由梁柱连接构成，设备固定结构某一楼层，根据设备特点其计算模型可作相应简化。

图1　结构-设备相互作用体系模型Fig.1 Model of structure-equipment systems

1.1计算模型

由于设备易损性特点，地震作用下容易进入非线性状态，此时结构可能仍处于线性状态。根据文献[9-10]提出的求解线性-非线性问题的混合动态子结构法，本文将设备作为非线性二级子结构，结构作为线性子结构，对线性子结构依照势能判据截断准则[11]进行自由度的缩减，并最终与无缩减的非线性子结构进行综合，从而获得整个体系的动态响应。

如图1所示的设备-结构相互作用体系中结构部分较规则，可以将结构部分划成两种子结构形式分别是不含设备的框架层一级子结构f和含设备的框架层一级子结构s，同时将设备划成非线性二级子结构e参与分析。因为一级子结构s需要与二级子结构e合成框架层-设备一级子结构(h)参与计算，所以需要在框架层与设备连接处划分单元节点，而一级子结构f该位置处不需要划分单元节点，这也是一级子结构f与s的区别。各子结构具体形式如图2所示。

图2　混合动态子结构法建模过程Fig.2 Modeling procedure of mixed dynamic substructure method

其中计算关键步骤如下：

步骤1线性子结构与非线性二级子结构计算矩阵的形成。应用固定界面模态综合法根据模态截取准则对线性子结构进行自由度缩减，将其物理坐标转换到模态坐标表示，而非线性子结构保留原有自由度不进行任何缩减。所以设备保留完整计算矩阵形成非线性二级子结构e；

步骤2一级子结构s与非线性二级子结构e进行边界对接。由于固定界面模态综合法实施时具有约束边界模态坐标与物理坐标相等特点，根据一级子结构s与二级子结构e的对接边界的位移协调条件，计算得到两种子结构的边界对接的坐标转换矩阵，然后进行坐标转换合成包含局部非线性二级子结构的一级子结构h；

步骤3一级子结构f-f或f-h的边界对接。两种一级子结构都采用固定界面模态综合法，形成缩减的计算矩阵。根据约束模态综合法特点得到两种子结构坐标转换矩阵，消去不独立的边界模态坐标，逐步形成整体计算模型。

1.2计算方程

上文所述方法具体实施过程中分以下几步建立设备-结构动力相互作用体系的运动计算方程。

1.2.1构建局部非线性二级子结构e运动方程

地震动作用下，设备运动方程如下。

(1)

按内部节点与外部节点将方程分块见式(2)，因二级子结构e是非线性的，其计算矩阵不做模态缩减。其中上标e表示二级子结构名称，下标i表示内部节点，下标b表示边界节点，分块后质量、阻尼、刚度与荷载矩阵见式(3)。

(2)

(3)

非线性二级子结构e的本构模型采用如图3所示的随动强化双折线模型，该双折线模型描述设备的力-变形关系，其中Fy表示设备的屈服荷载，K1表示设备屈服前刚度，K2表示设备屈服后刚度。当二级子结构e进入非线性阶段后，需更新其刚度矩阵，然后重新分块计算。

图3　设备力-变形关系曲线Fig.3 Load-deflection relation of the equipment

1.2.2二级子结构e嵌入一级子结构s中形成一级子结构h

(4)

因为一级子结构s是线性的，需按固定界面模态综合法进行模态缩减。一级子结构s模态缩减矩阵Φs见式(5)，包括主模态与约束模态两部分。

(5)

(6)

(7)

根据式(5)知，固定界面模态综合法中广义边界坐标与物理边界坐标相等，则一级子结构s广义边界坐标见式(8)。

(8)

上式说明固定界面模态综合法中模态变换仅对内部自由度作缩减，边界自由度保持不变。将式(5)代入式(4)中，同时式(4)两边左乘[Φs]T，得到线性一级子结构s广义坐标下运动方程见式(9)，其广义质量、阻尼、刚度和荷载矩阵计算方程见式(10)。

(9)

(10)

(11)

这样就消去不独立的广义坐标，形成一级子结构h运动计算方程见式(12)，其中一级子结构h的质量、阻尼、刚度与荷载矩阵，具体计算方程见式(13)。

(12)

(13)

1.2.3一级子结构f-f或f-h对接

因为一级子结构f-f或f-h之间边界对接条件类似，下面以一级子结构f-h对接为例，说明两者对接计算方法。其中一级子结构f模态缩减方法同一级子结构s，两者区别是保留边界位移不同。根据一级子结构f与h的边界位移协调条件，确定坐标变换矩阵Thf见式(14)。

然后消去不独立的广义坐标形成两种一级子结构f-h综合后计算方程见式(15)，其中mhf、chf、khf、fhf表示一级子结构h与f耦合后的质量、阻尼、刚度与荷载矩阵，计算方程参考式(13)。

(14)

(15)

然后将模型中所有的一级子结构f-f或f-h对接，这样逐步建立设备-结构相互作用整体计算模型，计算方程参考式(16)，其中n1、n2分别表示一级子结构f-h和f-f的对接数量。

(16)

因二级子结构e作为非线性二级子结构参与分析，需将Newmark-β积分方法与Newton-Raphson迭代求解方法相结合，然后根据力或位移收敛准则得到每一步计算的收敛解。下文将应用上述考虑局部非线性影响的混合动态子结构方法计算设备-结构动力相互作用问题。

2　设备-结构相互体系地震时程分析

某高层钢框架设备-结构相互作用体系参考图1，进行地震时程响应分析，结构梁柱材料参数详见表1，其中钢材弹性模量取2.0×1011Pa。结构为9层3跨，跨度均为7.32 m，层高3.56 m。第1～8层包括结构与非结构每层总的抗震质量2.02×105kg，第9层总抗震质量为1.71×105kg。此外，结构内放置的某大型计算设备分为三层，层高0.83 m，每层质量9.05×102kg，抗弯刚度5.48×102kN·m2，抗压刚度8.9×103kN，设备的屈服弯矩31.35 kN·m，设备屈服后刚度与屈服前刚度比值取0.01，其卸载刚度与初始弹性刚度相等。设备初始位置固定在结构顶层。建立该结构动力分析模型，梁柱单元采用Euler-Bernoulli梁单元，阻尼矩阵基于Rayleigh阻尼假定，其中结构阻尼比取0.04，设备阻尼比取0.03，各子结构阻尼矩阵组装方法参考上文1.2所述。采用集中法形成质量矩阵，其中一个单元包括两个节点6个自由度，每个节点有3个自由度分别是横向、竖向与转动自由度。设备简化成同样梁单元形式，质量与阻尼矩阵同样采用上述假定。因设备与结构采用相同单元形式，两者通过连接点位移协调条件形成约束方程，建立设备与结构间连接关系。

表1　梁柱材料参数

为分析考虑设备-结构相互作用对结构与设备反应带来的影响，分三种工况进行分析：(a) 模型1-考虑设备与结构间的反馈作用，即建立设备-结构相互作用的整体模型进行计算分析；(b) 模型2-不考虑设备与结构相互作用，此时计算模型即单一结构模型。该工况下若进行设备的反应分析，按照以下步骤计算：① 首先进行模型2的地震时程响应分析；② 然后将设备与结构连接点(即结构顶层中心处)的绝对加速度响应作为设备输入激励，计算得到设备的时程响应，此时得到设备的响应是设备相对于结构顶层的相对反应；(c) 模型3-设备作为附加质量考虑，将设备质量附加到所在楼层质量中，此时计算模型仅包括结构，仅考虑设备附加质量的影响。各模型采用混合动态子结构计算时子结构划分如下，模型1中子结构划分根据是否含设备划分为两种线性子结构，将1～8层划为一级线性子结构f，第9层划分为一级线性子结构s，设备作为非线性二级子结构e参与计算；模型2、3中结构均不含设备，可划分为一级线性子结构f计算即可，两种模型区别在于结构第9层的质量不同。

2.1选取地震动

图4　地震动加速度时程曲线Fig.4 Acceleration time history curves of earthquake ground motions

本文从PEER强震地震动数据库中(PEER Strong Motion Database)选取适用于Ⅱ类场地分析Kobe波、Taft波与Loma波作为设备-结构相互作用体系加载激励，各地震动的加速度时程曲线如图4所示。按8度中震阶段进行地震分析时，三条地震动加速度调幅到200 cm/s2，本文设计丙类建筑按《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010) 8度抗震性能2的要求即中震下结构完好，附属构件不同程度破坏。同时试算表明结构接近进入非线性状态，设备已处于非线性状态，所以此时将结构作为线性子结构参与分析，设备作为非线性二级子结构参与分析是合理的。由于力与变形控制是结构抗震设计考虑主要因素，所以本文选取结构每层最大水平位移与层间总剪力作为结构分析参考指标，选取设备顶层的位移时程响应作为设备分析的参考指标，其中结构每层位移均是相对地面的位移。

2.2设备-结构相互作用的影响

当前研究设备-结构相互作用分析模型主要有三种，因此本文分别进行三种不同计算模型地震时程分析，比较不同工况下各模型计算结果的差异。包括：① 比较不同地震动作用下结构每层的最大位移与层间总剪力的计算结果变化；② 分析不同地震动作用下设备顶层位移时程响应的差异。

2.2.1各地震动作用下结构反应分析

为说明各模型计算结果的差异，首先分析各地震动作用于不同的计算模型结构反应的差异，然后对比不同地震动作用于模型1时结构反应变化，分析不同地震动的影响。

(1) 各地震动作用于不同模型的计算分析

如图5所示三种模型在Kobe地震动作用下结构每层水平方向最大位移与总层间剪力分布图中看出：结构位移与剪力变化趋势相似，计算结果按从大到小排列依次为模型2、模型3与模型1，其中模型2、3底部剪力相对于模型1分别增大5.3%和2.5%，最大位移变化最大处位于顶层，位移分别增大4.9%和2.7%。Taft地震动作用下结构位移与剪力变化趋势与Kobe地震动作用下相似，计算结果按从大到小排列依次为模型2、模型3与模型1，其中第5层结构最大位移差异明显，模型1的最大位移相对于模型2、3分别减小了9.3%和7.7%；同时结构层间剪力从底层到第5层之间存在较明显的变化，其中模型1底层层间剪力相对于模型2、3分别减小了12.8%和10.4%。而Loma地震动作用下，模型1、3的计算结果均大于模型2计算结果，其中模型1中结构顶层位移和底层剪力相对于模型2分别增大了8.3%和9.8%。

图5　Kobe、Taft与Loma地震动作用下各模型中结构每层最大位移与层间总剪力分布图Fig.5 The maximal floor displacement and total shear under Kobe, Taft and Loma earthquake ground motions

(2) 不同地震动作用于模型1计算结果差异分析

从图6所示模型1在三种不同地震动下结构位移与层间剪力对比图中发现，发现Kobe地震动下结构位移反应最大，其中结构顶层最大位移相对应Taft、Loma地震动作用下分别增大49.9%和34.5%，同时结构底层层间剪力相对于Taft、Loma地震动作用下分别增大8.9%和14.1%。比较发现Loma地震动作用下结构层间剪力最小，与Taft地震动相比较，其位移反应并非总是最小的，其作用下结构6～9层位移反应较大，其他区域结构位移反应最小，说明结构反应不仅与本身的特性有关，而且与地震动类型关系密切。

上述分析表明通常考虑设备-结构的相互作用将减小结构的反应，并且结构反应与地震动类型关系密切。在某些情况下忽略设备-结构相互作用将对结构抗震设计将产生不利的影响，如Loma地震动作用下考虑设备-结构相互作用后结构反应增大，因此为了弄清具有设备的结构动力反应的真实情况，建立完备的设备-结构相互作用的整体分析模型十分必要。

2.2.2各地震动作用下设备反应分析

为更清晰说明各地震动作用下考虑设备-结构相互作用下对设备反应影响，分别计算得到模型1与2中设备顶端的相对于结构顶端中心处的位移时程响应，其中模型1中需要将设备反应与结构顶端中心处的反应相减，得到设备相对于结构顶端中心处反应。从图7所示的不同模型中设备顶端的位移时程响应图以及计算结果表明：Kobe地震动作用下考虑设备-结构相互作用(模型1)时相对于不考虑设备-结构相互作用(模型2)时，设备顶端最大位移增大14.8%，并且从7.5～20 s之间模型1中设备顶端的位移反应均大于模型2的计算结果。Taft地震动下考虑设备-结构相互作用后设备位移反应明显大于不考虑相互影响的情况，其中设备顶端最大峰值位移增大了18.0%。从图中发现Loma地震动作用下，设备位移波动幅度较小，其中模型1中设备顶端的峰值位移相对于模型2中增大了8.3%，而且模型1与模型2中设备顶端位移时程曲线基本重合在一起。

图7　不同模型中设备顶端位移时程响应曲线Fig.7 Top displacement time history curves of the equipment in different models

进一步比较不同地震动作用下，模型1中设备顶端的峰值位移反应，发现Kobe地震动下设备顶端的峰值位移反应相对Taft、Loma地震动下分别增大了40.9%和36.8%，同样说明设备位移反应大小与地震动类型关系密切。

比较是否考虑设备-结构的相互作用的设备位移反应计算结果，表明一般情况下考虑设备-结构相互作用引起设备峰值反应的增大，主要是因为设备与结构之间存在相互作用力传递，此作用力将对设备的反应产生一定的影响。当地震动不同时，设备-结构之间的相互作用也将产生不同的影响结果。因此对于设备而言，为了真实反映设备的反应，建立完备的设备-结构相互作用的整体分析模型同样重要。

2.3适用性分析

结合上文2中所述结构与设备的材料参数，按照有限元方法形成Euler-Bernoulli梁单元刚度与质量矩阵，然后组装成整体杆系模型。计算时电脑安装Win7系统，CPU采用CORE i5四核处理器，内存4 G，硬盘500 G容量。下文对设备-结构相互作用体系(模型1)缩减前与缩减后的动力分析模型进行计算精度分析。以Kobe地震动作用下为例，提取设备与结构顶层的位移时程响应曲线如图8所示。从图中发现，结构与设备缩减前的有限元计算结果与缩减后混合动态子结构法计算结果基本吻合在一起，说明了混合动态子结构法的有效性。

图8　对比模型1缩减前后结构与设备顶端位移时程响应图Fig.8 Comparison of top displacement time history curves of the structure and equipment on reduced and full models

名称自由度数耗时混合动态子结构法(模型1)366.96传统有限元法(模型1) 1209.99传统有限元法(模型2) 1207.81

从表2中两种方法的计算耗时与模型自由度个数对比中发现，与传统的有限元分析方法比较，模型1按混合动态子结构法将设备-结构相互作用体系中线性子结构f保留前12阶模态，使得计算有效自由度数由120缩减到36个，自由度数降低到原来的30.0%，计算时间由9.99 s降低到6.96 s，计算时间减少30.3%。此外混合动态子结构法相应处理需额外时间。按照传统有限元法分别计算模型2与模型1，与模型1相比，模型2的计算时间减小21.8%。因为此时模型2中结构是线性的，只有设备需要非线性迭代计算，但是计算模型2的中间过程需花费较多时间，此外该模型没有考虑设备-结构相互作用。结合上文计算精度分析，应用混合动态子结构法模型1计算结果在保证计算准确的前提下，由于混合动态子结构法采用少量的振动模态代替过多自由度参与计算，使得计算方程数量明显减少，非线性方程迭代数量降低，计算效率明显提高，达到计算可靠高效的目的。

上述分析表明，混合动态子结构法将不易进入非线性阶段的部分划成线性子结构，并采用少量的模态坐标代替过多自由度参与计算，能够减少计算方程的数目，而且不必在整体非线性模型中反复进行迭代计算，最后与非线性子结构的综合来求解整体非线性方程，这样就以极小的计算成本，得到非线性体系的动力解，从而有效提高了计算效率。

3　结　论

考虑设备-结构动力相互作用整体分析模型能够更准确反映设备与结构抗震性能的实际状况，本文引入混合动态子结构法求解考虑局部非线性影响的设备-结构相互作用问题，将设备作为非线性二级子结构参与分析，然后利用MATLAB编程软件建立基于混合动态子结构法的设备-结构动力相互作用模型，对比不同计算模型地震响应分析结果表明：

(1) 考虑设备-结构相互作用对结构与设备反应有不同的影响，具体计算结果不仅结构自身特性有关，而且与地震动类型关系密切。

(2) 考虑非线性设备与线性结构相互作用时能减小结构的反应，因为设备的塑性变形耗散部分地震能量从而使得结构反应有所减小，而相应地导致设备位移反应增大，塑性变形增加，设备的抗震性能将发生明显变化。

(3) 与传统的有限元方法计算相比较，采用混合动态子结构法在保证计算结果准确的前提下，计算效率明显提高。

以上结论主要由中震下“强结构弱设备”情况而得到，然而影响设备-结构相互作用应有诸多因素，因此设备与结构抗震性能变化需要开展更详细的研究。

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The study of equipment-structure interaction considering the effect of local nonlinearity

JIANG Xinliang, ZHANG Chongxiang

(School of Civil Engineering, Tianjin University/Key Laboratory of Coastal Civil Engineering Structure and Safety(Tianjin University), Ministry of Education, Tianjin 300072, China)

Some equipment can be easily damaged in earthquake, it is thus important to analyze equipment-structure interaction with considering the nonlinear effect of the equipment. The mixed dynamic substructure method which considered the local nonlinearity was introduced, and the equipment was simulated as a nonlinear secondary substructure, then the mixed dynamic substructure equation about linear and nonlinear coupling was derived. Time history analysis of equipment-structure systems which involved three calculation models was performed. Results indicate that the structural response decreases in general when the influence of nonlinear equipment and linear structure interaction is considered. Meanwhile, it leads to the larger deformation of the equipment. The results are closely related to the structural characteristics and the types of ground motion. The mixed dynamic substructure method has reliable and efficient characteristics.

mixed dynamic substructure method; secondary substructure; equipment-structure; dynamic interaction; finite element; local nonlinearity

国家自然科学基金资助项目(51478312)；国家自然科学基金项目(51278335)

2015-06-19修改稿收到日期：2015-09-05

姜忻良 男，博士，教授，博士生导师，1951年生E-mail:jiangxinliang@126.com

TU317

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.018