含三体相互作用海森堡链的几何量子失谐

谢玉霞, 刘　晶

(西安邮电大学 理学院, 陕西 西安 710121)



含三体相互作用海森堡链的几何量子失谐

谢玉霞, 刘晶

(西安邮电大学 理学院, 陕西 西安 710121)

研究含三体相互作用和外加匀强磁场时海森堡XX自旋链的几何量子失谐特性，结果发现:对有限温度下的热平衡态，ZZZ型三体相互作用可用来有效增强系统边界量子比特之间的Bures距离量子失谐和Hellinger距离量子失谐，却不能用来增强对应的迹距离量子失谐;不同度量方式的几何量子失谐会给出不同的量子态态序。

几何量子失谐；海森堡链；三体相互作用

量子关联的存在是量子系统区别于经典物理系统的一个最显著特征。量子纠缠一直被作为量子关联的度量方式，是倍受关注的一个研究热点[1]。纠缠并没有完全刻画出量子关联与经典关联的本质区别，如在确定性的单比特量子计算中，纠缠为零，但量子失谐却不为零[2]。量子纠缠态都是非零量子失谐态[3]，反之则不一定成立，故量子失谐是一种比量子纠缠更广泛的量子关联度量方式。

当经典互信息的两种等价表述形式被推广至量子系统时，它们不再等价，其差值可用来刻画量子关联的大小，由此可以得出量子失谐的度量方案[3]。从其他角度也可得出一系列不同的量子失谐度量方案，例如基于相对熵的量子失谐度量[4]和基于各种距离的几何量子失谐度量[5-8]。

在量子信息处理任务，如远程态制备[9]和相干操作下的信息提取[10]之中，量子失谐发挥着重要作用。相关研究涉及众多量子力学基本问题，诸如对量子失谐的计算[11]和阐释[12]、开放系统中的量子失谐鲁棒性[13-17]和量子失谐保持[18]、局域操作下量子失谐的产生[19]和量子失谐与不确定关系[20-21]等。作为实现量子计算的一种潜在物理系统，各种自旋链模型的量子失谐特性[22-23]，以及量子失谐在量子相变研究中的应用[24]也吸引着人们的关注。

本文将讨论含ZZZ型三体相互作用海森堡自旋链边界量子比特间的几何量子失谐特性，并给出对应的量子失谐调控理论方案。

1　几何量子失谐度量

采用迹距离、Bures距离和Hellinger距离度量量子失谐，它们都是很好的几何量子失谐度量函数[6-8]。

考虑量子态ρAB，迹距离量子失谐被定义为它和经典-量子态集合Ω0的最小迹范数[6]，即

其中‖·‖1表示迹范数，其形式为

对于一般的量子态，DT(ρAB)的计算非常困难。但对于双量子比特X态，其解析解为

式中各参数与密度矩阵元的关系为

以Bures距离量子失谐[7]的定义为

其中,Ω0为经典-量子态集合,而

为Uhlmann保真度。

对双量子比特态ρAB，有

其中，λk为算符

按递减顺序排列的本征值，而

采用Hellinger距离的量子失谐度量，由基于密度算子的平方根所定义[8]，即

式中,{ΠA}表示作用在子系统A上的投影算子集合，‖·‖2表示希尔伯特-施密特范数。

对双量子比特态ρAB，DH(ρAB)可简化为[25]

DH(ρAB)=1-λmax(W)。

其中,λmax(W)表示矩阵W的最大特征值。矩阵W的各元素为

2　理论模型

考虑含ZZZ型三体相互作用的开边界海森堡XX自旋链，对应的系统哈密顿量为[26]

式中,J表示相邻自旋格点之间的交换耦合作用强度，B表示沿z轴方向所加的匀强外磁场，α表示三体相互作用的强度。

其中,Z为配分函数，且

在很多量子信息处理任务中，边界量子比特之间的量子关联起着决定性作用，故以下仅考察系统边界量子比特间的几何量子失谐特性，并把两端的自旋格点分别称为量子比特A和B，对应的密度算子记为

ρAB=tr2,…,N-1ρ(T)。

3　结果和讨论

不同量子关联度量函数具有不同系统参数依赖特性。在此主要考察海森堡自旋链中的迹距离、Bures距离和Hellinger距离量子失谐特性，以期找出最佳参数区间，实现系统热平衡态量子关联的有效调控。

考察ZZZ型三体相互作用对系统边界量子比特间迹距离量子失谐的影响。DT(ρAB)对α的依赖关系如图1所示。其中,重标温度kBT=0.5，磁场强度分别为B=0和B=2,从上到下各条曲线依次对应量子比特数N=3,4,…,9。可见，当没有外加磁场时，对于三量子比特热平衡态的特殊情形，DT(ρAB)始终保持常数值0.493，而对于其他数目量子比特的情形，DT(ρAB)则随着α的增大而单调减小。当给系统加上沿z轴方向的匀强外磁场时，DT(ρAB)均随着α的增大而减小，并且减小的速度要快于没有外加磁场时的情形。这意味着,ZZZ型三体相互作用不能用来增强海森堡XX自旋链边界量子比特之间的迹距离量子失谐。

图1　DT(ρAB)对α的依赖关系

考察Bures距离量子失谐对ZZZ型三体相互作用强度的依赖关系。相关数值模拟结果如图2所示。其中kBT=0.5，B=0或B=2,从上到下各条曲线依次对应量子比特数N=3,4,…,9。可见，和迹距离量子失谐不同的是，当没有外磁场时，三量子比特态的DB(ρAB)随着α的增大而单调的趋近于其稳态平衡值0.5;对其他情形,DB(ρAB)则在三体相互作用相对较弱的区间内得到了某种程度的增大。不同总数目量子比特热平衡态所对应DB(ρAB)的增幅并不相同:对图2(a)所选择的系统参数，增幅介于5.6% ～24.8%;给系统加上沿z轴方向的外磁场后，如图2(b)所示，DB(ρAB)转而随着α的增大而单调衰减。这说明，对所考虑的自旋链模型，外加磁场也不利于Bures距离量子失谐的提升。

图2　DB(ρAB)对α的依赖关系

考察ZZZ型三体相互作用对系统边界量子比特间Hellinger距离量子失谐的影响。取kBT=0.5，B=0或B=2，所得数值模拟结果如图3所示，从上到下各条曲线依次对应的总量子比特数为N=3,4,…,9。由此可见，DH(ρAB)在定性上表现出和DB(ρAB)类似的对α依赖关系，即不加外磁场时，DH(ρAB)可以通过引入ZZZ型三体相互作用而得到较为明显的增强。对图3(a)中选定的系统参数，不同数目量子比特热平衡态所对应DH(ρAB)的增幅介于10.7%～76.4%。从图3(b)也可以发现外磁场的加入不利于Hellinger距离量子失谐的提升。

图3　DH(ρAB)对α的依赖关系

综上可知,不同几何量子失谐度量会给出不同的量子态态序。在没有外加磁场时，除三量子比特情形，随着三体相互作用的增强，迹距离量子失谐总是单调的减小，而Bures距离和Hellinger距离量子失谐则会出现一个或两个峰值。实际上，不同量子失谐度量函数会给出不同态序的现象，在研究量子关联动力学问题中也已被发现[14]。

4　结语

利用迹距离、Bures距离和Hellinger距离量子失谐的概念，研究了含ZZZ型三体相互作用海森堡链的量子关联调控问题。结果表明：对有限温度下的系统热平衡态，ZZZ型三体相互作用可作为一种有效的系统参数，来增强系统边界量子比特之间的Bures距离量子失谐和Hellinger距离量子失谐，但不能用来增强对应的迹距离量子失谐；给系统加上沿z轴方向的匀强外磁场，也不利于所考虑各种几何量子失谐的增强；另外，不同度量方式的几何量子失谐会给出不同的量子态态序。

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[责任编辑:瑞金]

Geometric quantum discords in the Heisenberg chain with three-site interaction

XIE Yuxia,LIU Jing

(School of Science, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

Properties of various geometric quantum discords in the Heisenberg XX spin chain with three-site interactions and external magnetic fields is investigated. The results show that for thermal states of the system at finite temperature, the ZZZ type three-site interaction can be used to enhance evidently the Bures distance discord and the Hellinger distance discord, while the trace distance discord can only be decreased. Moreover, different measures of geometric quantum discords can impose different orderings of quantum states.

Geometric quantum discord, Heisenberg chain, three-site interaction

10.13682/j.issn.2095-6533.2016.04.016

2016-05-05

陕西省自然科学基础研究计划资助项目(2014JM1008)

谢玉霞(1980-)，女，硕士，助教，从事量子通信理论研究。E-mail: yuxia1124@163.com

刘晶(1980-)，女，硕士，讲师，从事数值计算研究。E-mail: xingxin909@126.com

TN918; O431

A

2095-6533(2016)04-0083-05