初探问题解决模式在课堂教学中的运用

☉江苏省苏州第四中学 薛荣明

初探问题解决模式在课堂教学中的运用

☉江苏省苏州第四中学 薛荣明

众所周知，数学课堂教学是数学学习的主阵地.从大量教学实践来看，如何提高课堂教学有效性成为新课程数学教学改革的重点，各种各样的教学模式在课堂教学中应运而生，有陶行知先生小先生模式的探索、昌乐二中“3721”训练模式的初探等等，都是根据一定理论、特点实施的教学新模式.

问题解决模式起源于一个口号，上世纪八十年代起源于美国数学教育的一场行动口号，其核心依据是围绕数学问题，数学是一项面向解决实际问题的学科，因此发现问题、解决问题、再发现问题、再解决问题成为这一模式的关键.在美国数学教育开展的问题解决运动中，教育家通过教学实践、思维开拓、动手解决、发现问题等一系列探索，将其总结成立一种以主动探索为载体的新型教学模式，并运用于一些探究式的课堂教学中，取得了一定的成效.

一、问题解决模式的功能目标

问题解决模式的主要目的是通过学习积累发现问题的方法，在学习积累、探索过程中，通过教师的合理设计、学生的积极参与、师生之间的合作解决，将数学基本知识和基本技能、思想方法运用到具体情境的问题中，提高学生通过问题解决、问题发现、再解决、再发现这样的环节中，进而提高数学知识的运用水平.笔者认为，问题解决模式的功能具体可以体现在下列几种能力：

（1）审题：审题是问题解决的第一要素，特别是对于一些反复包装的问题，如何从问题中提炼有用的信息，并将信息转化为合理的数学知识点是一种很重要的数学基本能力.

（2）建模：陌生数学知识的解决是一种转化的问题，即将陌生的问题转化为熟知的知识，俗称模式识别.这种模式识别需要在问题解决过程中积累较多的常见类型，有助于学生数学常规知识的学习和解决.

（3）思想：随着知识解决的深入，更高的知识运用体现在问题解决过程中涉及的思想，通过不断问题解决、再现、再解决，就是要将问题背后更深层次的思想方法学会、领悟，使其能站在更高的角度上学习数学、感受数学.

（4）反思：学习最终还是带着问题结束的，在某些时候这些问题并非必须解决，但是那种思考却带给了学生无限的学习方向、兴趣，将问题解决最终指引了学生更高的追求.

二、问题解决模式的设计

问题解决模式是一种亟需教师课堂设计的教学模式，在课堂教学设计环节需要对问题引入、问题审题、问题解决、问题深入等环节做一系列的设计，这种设计必须依仗教师对于问题难易程度的控制，在控制的基础上进行解决、再现、再解决这一设计过程.

案例1 已知（fx）=ax2+cx，且1≤（f1）≤3，-1≤（f-1）≤1，求（f2）的取值范围（.教材课后习题）

给出正解：（f2）=4x+2y=3（f1）+（f-1），由已知可得，3≤3（f1）≤9，-1≤（f-1）≤1，故而两式相加可得2≤（f2）≤10.

说明：教师从一个教材课后习题给出所需要解决的知识，这个问题是一个经典问题.初学者往往割裂变量之间的联系，而是从变量独自取值的角度出发给予解决，这种错误设计是教师给学生做的一种铺垫，旨在暗示学生这样的解决方式忽略了变量之间的内在联系，而扩大了取值范围.问题的设计从教材问题出发，以误解进行知识的理解，最终从正解中感悟.但是随之而来的问题：f（2）=3f（1）+f（-1）的搭配是否有些唐突，问题解决的本质并未从上述正解中总结出来，因此教师继续设计问题进一步的解决：

从这样的解决方法中形成了二元变量求解问题的一般思路，以形求解可以正确的找到方法的一般性.

图1

图2

图3

图4

说明：上述问题解决的设计可谓非常精妙！读者们可以想一想，线性规划知识最重要的模式在哪里？一般来看，教师从一个教材例题出发，通过问题误解分析、问题解决、问题再现、问题再解决的模式进行了设计，从一个源于教材又高于教材的设计，将二元变量下的取值范围问题进行了整合性的问题解决，学生对于问题解决过程中的数形结合思想也使用得较为熟练，总而言之这样的问题解决模式的案例设计是符合新课程教学设计理念的，既源自教材又高于教材，既围绕问题解决又进行问题思考、问题再现、问题再解决，这种效率较高的教学模式值得新课程教学探索和实践.

三、问题解决思想的渗透

数学思想是数学教学比较高端的部分，但是数学思想的渗透不是一朝一夕形成的.在数学课堂教学中进行思想方法的渗透是必不可少的，但是如何在无形中对思想进行合理的渗透却是教师教学需要掌控和探索的.以新高一学生解决一元二次不等式为例，谈谈问题解决过程中分类讨论思想是如何渗透的：

案例2 求解关于x的不等式x2-2mx-2m-1＞0.

解析：因为Δ=4（m+1）2≥0，

故不等式化为［x-（2m+1）］（x+1）＞0，

所以x1=-1，x2=2m+1，且x2-x1=2（m+1）.

①当m=-1时，不等式为：（x+1）2＞0，解集为｛x|x≠-1｝；

②当m＞-1时，2m+1＞-1，解集为｛x|x＞2m+1或x＜-1｝；

③当m＜-1时，2m+1＜-1，解集为｛x|x＞-1或x＜2m+1｝.

辨析：对于初高中衔接过程中出现的含参一元二次不等式，教师在问题解决过程中要极为注重两方面的引导：其一是含参不等式是否必存在实根，只需通过判别式即可看出，若不可确定则从判别式下手讨论问题；其二，若必定存在实根，则可以通过一元二次函数图像去分类讨论实根之间的大小关系，从此处入手进行分类讨论，将分类讨论思想从初高中衔接开始进行渗透.

问题再现1：解关于x的不等式mx2+（1-m）x-1＞0.

分析：（i）当m=0时，不等式化为x-1＞0，即解集为｛x| x＞1｝.

（ii）当m≠0时，Δ=（1+m）2≥0，

所原不等式可化为（mx+1）（x-1）＞0，

所以x1=-，x2=1，且

②当m=-1时，不等式化为-（x-1）2＞0，解集为⊘；

问题再现2：已知不等式x2-2mx-2m-1＞0的解集为（-∞，-1）∪（15，+∞），求m的值.

解析：由题意可知，-1和15是方程x2-2mx-2m-1=0的根，代入方程解得m=7.

问题再现3：若不等式x2-14x-15＜0的解满足不等式2x2-9x+m＜0，求实数m的取值范围.

解析：由上可知，｛x|-1＜x＜15｝是不等式2x2-9x+m＜0的解集的子集，不妨设f（x）=2x2-9x+m，即只要满足故解得m≤-315.

问题再现4：对于一切实数x不等式mx2-2mx+2m+1＞0恒成立，求m的取值范围.

解析：（1）当m=0，1＞0成立；

综上可知，m≥0.

说明：请读者细细品味教师给出的上述问题解决后的问题再现、问题再解决，从一系列问题的设计，旨在将所设计的思想方法隐藏在问题中，问题再现2体现了函数与方程之间的紧密联系（即方程思想），问题再现3、4的解决将数形结合思想体现其中，清楚地展示了函数图形对于问题解决的便利性，以代数化的分类讨论思想入手，到图形化的数形结合思想结尾，本题的问题解决、问题再现将知识整合性、思想方法的融合性设计的较为合理，值得在复习教学中进行推广.

问题解决模式是课堂教学一种较为高效的学习方式方法，尽管其使用的前提较为复杂，需要教师对问题进行深加工、教材问题的合理细致开发，但是将这样的教学设计和运用多探索、多尝试，笔者以为对于教师上好课、高效课堂教学是大有益处的，更为深入的研究还请读者给出和指正.

1.郑毓信，梁贯成.认知科学建构主义与数学教育［M］.上海：上海教育出版社，2002.

2.方小芹，林德宽.数学问题解决过程中的知识类型分析［J］.数学通讯，2013（8）.