出活题考能力 简约不简单——2016年上海数学试题评析

☉上海市七宝中学 文卫星

出活题考能力 简约不简单
——2016年上海数学试题评析

☉上海市七宝中学 文卫星

2016年上海高考数学试题比较平稳.正所谓“出活题考能力，简约不简单”.理科均分约101分，这样的分数符合正态分布，能有效区分各类考生的实际能力.试题没有偏题、怪题，学生考试过程中心态较好，有利于考生正常发挥，师生反映良好.

一、重视思维考查，降低技巧要求

上海今年数学试题计算量较往年明显减小，虽然考生感觉题目相对容易，但思维容量没有减小，不仅表现在解答题中，客观题也有所体现.

例1（2016年上海卷理13）设a，b∈R，c∈［0，2π），若对任意实数x都有2sin（ 3x-）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为____.

分析：试题形式新颖，容易得到a=2，要求b，c，就要得到关于b，c的等式或方程，于是问题转化为解最简三角方程，这样没有增加运算量，但增加了思维容量.

例2 （2016年上海卷理14）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A（11，0）.任取不同的两点Ai，Aj，点P满足+=0，则点P落在第一象限的概率是________.

图1

5 组：A4，A7；A5，A7；A6，A7；A5，A6；A5，A8，故点P落在第一象限的概率是.

点评：本题考查概率的定义及等价转化思想，答案几乎是可以口算，不像往年的第14题，即使会算，计算量往往较大.

例3（2016年上海卷理18）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.

A.①和②均为真命题

B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题

D.①为假命题，②为真命题

解析：这个题目的文字表述为：三个定义在R上的函数，如果每两个函数之和是增函数，则每个函数都是增函数；如果每两个函数之和是周期为T的函数，则每个函数都是周期为T的函数.

文字表述便于理解题意，容易知道①是错的，反例就是每个函数都是不减的函数，但水平部分不在同一区间内（如图2），这是构造性证明；如果用分段函数解析式表示，则要用较长时间，方法不同能力各异.

图2

②是对的，证明看似容易想到但有也点难：

f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T）；

f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T）；

g（x）+h（x）=g（x+T）+h（x+T）.

由以上三式可得g（x）=g（x+T），所以g（x）是以T为周期的函数，同理可得f（x）、h（x）也是以T为周期的函数.故选D.

点评：本题只是考查函数单调性和周期性的定义，没有考查函数单调性、周期性的相关运算技巧，只有对相关概念透彻理解做起来才会得心应手，没有套路可寻，只有能力展示.

上海数学卷的另一个特点是应用题特别长，今年也不例外，第20题是一道应用题，题目有9行，还有一个图，咋一看挺吓人，实际耐心读完发现并不难，第（1）问考查抛物线的定义（当然有范围限制），第（2）问所求面积可转化为两个梯形面积之和，这只要把点M的纵坐标代入抛物线方程求出横坐标即可，所涉知识点并不多.

这样的试题首先是对心理素质的考查，如果心理素质不好，恐怕连题目都读不完，题目中还给一个未加说明的“面积的‘经验值’”需要理解，解题首先要读懂题目，还要分析题目中的隐含条件（本题中函数的定义域），只有这样才能有效解题，今年上海试卷中有些题目设计较好，对阅读理解有一定要求.

例4（2016年上海卷理21（2））双曲线x2-=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.

解析：可设l的斜率为k，则l的方程为y=k（x-2），代入双曲线方程整理得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0.

再设A（x1，y1），B（x2，y2），然后把各个向量的坐标算出来直接代入已知的向量等式中，再整理成k的方程，计算量较大.

1，其中k=，则计算量更小一些.

点评：看似一个不难的解析几何题，使用方法不同，繁简程度不同，思维水平高低由此可见，命题者可谓匠心独运，值得注意的是，注重思维能力考查的做法还有多处.

二、数列有点“虚”，重在考素养

不少老师认为今年对数列的考查“不到位”，几个试题只是涉及最简单的通项公式和求和公式，估计高中学生毕业若干年后这些公式仍能记得，或者说今年在考查核心素养方面是一个亮点.笔者以为这不影响思维能力的考查，与考查套模式的“能力题”相比，今年的题目更新、更活、更能选拔出思维敏捷的考生，命题难度也更大.当然如果对数列知识考查能再更深入一些则更完美.

例5（2016年上海卷文14题）无穷数列｛an｝由k个不同的数组成，Sn为｛an｝的前n项和.若对任意n∈N*，Sn∈｛2，3｝，则k的最大值为____.

解析：因为对任意n∈N*，Sn∈｛2，3｝，所以a1为2或3. 若a1=2，则后依次是1，-1，0（或依次是1，0，-1，即-1和0可以互换），…，共有4个数，此时k=4；若a1=3，则后面依次是-1，0，1（或-1，1，0，即1和0可以互换），此时k=4、1 或-1，换成其他实数则不行，所以k的最大值为4.

点评：本题没有考查具体的等差、等比数列的性质，表面上看只是考查数列前n项和的定义，实际上这是一个构造性问题，解答需要分类，根据第一项判断后一项取值情况，考生还因容易忘掉0而致误，考查思维的缜密性.解题过程中需要枚举或构造具体例子，平时看似不以为然，但在高考的特定环境中要迅速做对还是很不容易的.本题重在考查逻辑推理，不超纲、不囿本，是一道鲜活的考查能力的好题.

例6（2016年上海卷理11）已知无穷等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，且=S.下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（）.

A.a1＞0，0.6＜q＜0.7 B.a1＜0，-0.7＜q＜-0.6

C.a1＞0，0.7＜q＜0.8 D.a1＜0，-0.8＜q＜-0.7

点评：本题是今年数列中数学味“最浓”的一题，涉及等比数列求和公式、|q|＜1⇔ limqn=0，通过不等式恒成

n→∞立判断a1＜0需要反证法思想，判断q的具体范围需要通过n=1，2等都细致地考查逻辑推理与思维的严谨性.

例7（2016年上海卷理23）若无穷数列｛an｝满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称｛an｝具有性质P.

（1）略；

（2）若无穷数列｛bn｝是等差数列，无穷数列｛cn｝是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn，判断｛an｝是否具有性质P，并说明理由；

（3）设｛bn｝是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*）.求证：“对任意a1，｛an｝都具有性质P”的充要条件为“｛bn｝是常数列”.

分析：第（1）题略.解答第（2）题要发现a1=a5，这个台阶设的不高，但还是有考生不能发现或发现晚了一点，敏锐地发现可以利用的条件也是一种能力（获取和利用信息的能力）.接下来要通过反例否定｛an｝不是P数列，这些都是在“肯定需要证明，否定只需一个反例”的辩证思想指导下实现的.

第（3）题首先运用分析法得到要证｛bn｝是常数列，只要证明｛an｝是常数列，只要证明存在a1，使a1=b1+sina1总成立.对此，一种想法是通过构造设函数f（x）=x-b1和g（x）=sinx，由于f（x）与g（x）的图像总有交点，说明存在a1.另一种想法是构造一个函数f（x）=x-b1-sinx，证明f（x）有零点，取a1为此零点.这时只要取m∈N*，使mπ＞|b1|，从而f（mπ）=mπ-b1＞0，f（-mπ）=-mπ-b1＜0，所以f（x）一定存在零点.

至于结论的书写，可以用分析法，也可以用综合法，还可以反证法（命题组提供反证法）.作为最后一道压轴题，本题计算量不大，但思维容量不小，突出对理性思维的考查，导向非常好.

文科22题第（3）问也是运算量不大、思维容量不小的题目，虽然载体不同，但命题思想和手段一脉相承.今年试题还有一个特点就是最后三个起到区分作用（压轴题）的3个大题的部分小题，或对思维要求较高，或有多种不同的解法，且不同解法之间难易程度不同.这既可以使各种类型的考生得到相应的分数，又能有效地区分各类考生的能力，提高试卷的区分度.

三、一题考遍函数，思想方法网罗

理科第22题、文科第23题都是以对数函数为载体考查函数性质.

例8 （2016年上海卷理22）a∈R，函数f（x）= log+a）.

2

（1）略；

（2）若关于x的方程f（x）-log2［（a-4）x+2a-5］=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设a＞0，若对任意t∈，1］，函数（fx）在区间［t，

t+1］上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.

分析：第（2）题关键是对题设“方程的解集恰好有一个元素”的理解，一般考生可以得到a=3或a=4满足条件. 当a≠3且a≠4时，去掉对数符号得方程（a-4）x2+（a-5）x+1=0，此方程有两解，即=-1和=，这时就要检验真数是否大于0，即+a＞0且+a≤0或+a≤0且+a＞ 0，解得a的范围.

其基本道理是：若loga（fx）=logag（x）（a＞0，a≠1），则（fx）=g（x）＞0.

这些都是从方程的角度看，既有思想又有方法，也可以从形的角度，转化为两个函数图像有一个交点，或转化为二次函数在某个区间有一个零点，但分类讨论及运算比代数法要繁.

解答第（3）题首先要证明f（x）是单调减函数.在得到f（t）-f（t+1）≤1后，可以采用分离变量、可以转化为二次函数在闭区间上的最值、可以用数形结合等方法，每种方法涉及的具体知识点也不同.试题入口宽，学生感到不难，而一旦动手解题，就要面临具体解法的选择，有利于区分考生的能力（当然，有些考生可能只想到一种方法，那根据其所选方法也能看出能力高低，甚至有考生想不到一种方法），能用简单方法做对说明能力强，对问题的本质理解深刻，对方法掌握全面.

点评：本题涉及函数单调性、解方程、解不等式、最值等知识点，主要数学思想有函数与方程、数形结合，主要方法有转化与化归、分类讨论等，一题几乎考遍函数中重要的思想和方法，是一道四两拨千斤的题目.

四、几点感受

（1）希望今年的“出活题考能力，简约不简单，平凡不平庸”的命题风格能保持下去，发挥“高考指挥棒”对教学的指导作用.这不仅是对命题者理念的考验，更是对其能力的考验.高考的目的是选拔、区分各类考生的真实水平，而有些难题大家都不会，甚至命题组的答案不少老师也看不懂，那样的试题不可能有好的区分度.

（2）诚如有些老师所言，今年试题对数列和解析几何的考查还可以“更到位”一点，立体几何对线面关系，尤其是空间想象能力的考查力度也可再大一些，这更能甄别资优考生.

（3）个别试题叙述是否可以再斟酌，避免对题意产生歧义.比如理科第23题的“设｛bn｝是无穷数列”，命题者的本意是“｛bn｝是无穷数列”在前，是事先给定的.而有人（特别是考生）理解是｛bn｝只要是无穷数列就可以，那么对任意a1，构造则可得an=｛a1， n为奇数，即对任意的p∈N*及q=p+2满足a=a，且sina，n为偶数.pq1ap+1=aq+1，即“对任意a1，｛an｝都具有性质P”，但当a1≠0时，｛bn｝并不是常数列，因此必要性不成立.其实，只要在｛bn｝前加上“给定”两字就不会产生歧义.瑕不掩瑜，本题还是很好的试题.当然，后一种理解是否正确，欢迎同行不吝指正.

总之，2016年上海数学试卷是一份难得的好试卷，特别是在以后文理合卷的情况下，能给普通中学和文科的学生以极大的学习数学的自信心.如果高考数学能考出好成绩，当然也有利于学生树立自尊心.