“一次函数”核心概念解读

杨燕华

函数是研究现实世界数量关系及变化规律的重要数学模型，也是处理和解决实际问题的有力工具，具有广泛应用性.下面针对本章概念进行多角度、多层次的分析，便于大家逐步深化认识，帮助大家正确掌握学习函数的基本方法.

一、 本章概念的横向细化

第1节“函数”.大家在初学时会感到比较抽象，不易理解.对于函数概念的学习，刚开始大家往往只关注关系式、自变量的取值范围或函数值这些显性的知识，而忽略了认识问题的变化过程这个隐性的内涵.我们可以通过教科书中的实例“匀速行驶的火车”、“水库的水位变化”、“水滴激起的波纹”感受变量与变量之间的关系，并运用函数的三种表达方式（列表法、图像法和解析式法）揭示实际问题的变化规律.

在学习中，我们要始终围绕“（1） 在上述变化过程中不变的量是什么？（2） 变化的量有几个？（3） 它们之间有什么关系？（4） 当一个变量确定时，另一个变量能确定吗？”这几个问题思考，进而真正理解函数的概念.即“一般地，在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量”.

对于函数的概念，我们要抓住“两个变量之间的对应关系”这个本质.即每个变化的过程中，都有两个变量，并且这两个变量之间相互依存、相互制约.

第2节“一次函数”.通过对生活中一些实例的研究，我们可以从中抽象出一次函数的概念.即“一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.特殊地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数”.

该概念可分为三个层次理解，第一层次：上述一次函数的概念是通过一种表达式给出的，要求我们能够根据具体问题的表达式判断函数是否为一次函数（正比例函数），并能说明理由.第二层次：正比例函数是一次函数的特例，也就是一次函数包含了正比例函数，不能理解为两个单独的概念.第三层次：该表达式揭示了变量与变量间的关系，可根据函数值求与之对应的自变量的值，也可利用待定系数法求出一次函数的关系式.

第3节“一次函数的图像”.我们首先要学会按“列表、描点、连线” 三步来画函数图像的方法，对于一次函数，通常利用与坐标轴的两交点，0、（0，b）来画，其图像是一条直线.在此基础上，进一步感受一次函数图像直线的上升、下降与解析式中k的关系，进而认识其性质，千万不可死记一次函数的性质，我们可以借助图像，利用数形结合的思想方法理解记忆其性质.

第4节“用一次函数解决问题”.一次函数的实际应用是用一次函数的解析式或图像来解决问题，需要我们首先从问题中找到函数解析式或从函数图像直观地找出实际问题中变量之间的关系；其次，将简单的实际问题转化为一次函数的数学问题；最后，用一次函数的知识解决实际问题.

第5节“一次函数与二元一次方程”、第6节“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”.这两节内容主要是研究“一次函数”与“一次方程”“一次不等式”三者之间一般与特殊的关系，它们在某些特定情况下可以相互转换，学习时可以充分借助一次函数图像的直观特点，沟通三者之间的联系，进而解决问题.

二、 本章概念的纵向深化

第1节研究了一般函数的定义、自变量的取值范围、函数的图像及图像的一些直观性质，为第2、3、4节内容的学习铺垫，一次函数属于函数中的一种，一次函数与函数是特殊与一般的关系.所以，建议大家在学习一次函数时可以采用类比、对比的方法，从定义、图像、性质三方面全面认识.利用前后知识的关联，有利于把已学的知识纳入原有知识体系中，整体建构知识框架.这样的研究思路和学习方法，也为我们初二下学期和初三进一步学习新的函数打好基础.

第5、6节的学习，是本章内容的难点，许多同学比较容易厘清知识之间的关系，但到了“运用”阶段，无法理解一次函数与二元一次方程，一次函数与一次方程、一次不等式之间的相互关系，下面我们就对这两个关系作一下分析.

对于“一次函数与二元一次方程”的相互关系，从形式上看，通过移项，可以将一次函数y=kx+b（k≠0）写成kx-y+b=0的形式，因此从左往右看，一次函数可以转化为二元一次方程的形式.反过来，二元一次方程也可以化为一次函数的形式.从一次函数图像上的点与方程的解来看，一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解；反之，二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.二元一次方程和一次函数之间的这种对应关系，便可实现两个一次函数与二元一次方程组在形式与内容上的完美统一，这既是一种解二元一次方程组的新方法，也是一次函数在数学内部的运用，体现了转化思想和方程思想.

对于“一次函数与一元一次方程、一元一次不等式”的相互关系，将一次函数y=kx+b（k≠0）中的y分别取大于0、等于0、小于0的值，就可以得到一元一次不等式和一元一次方程.从图像上看，与x轴交点的横坐标就对应着一元一次方程的解，在x轴上方、下方的点集y的值大于0、小于0，其横坐标对应着一元一次不等式的解集.

三、 本章概念的学习建议

在学习本章内容时，我们一定要有以下几个方面的思考：一是每个概念都不是独立的个体，要把所学的知识点连成线，线状的知识结成块，体会数学知识的完整板块及相互关联，这样学习有利于知识的存储和提取.二是在学习知识或解决问题中及时使用数学的思想方法，这样就有利于我们发现数学的本质.三是善于自主归纳课堂基本知识，积极参与数学学习的全过程，逐步积累数学活动经验.因为本章内容是初中函数学习的起始章，掌握研究函数“定义、图像、性质、运用和应用”的基本思路及“数形结合”等重要的思想方法，有利于今后新函数学习的对比和类比，如果能够做到举一反三，对所学知识及时迁移，就为今后函数的学习打下坚实的基础.

（作者单位：江苏省无锡市新城中学）