几何思维能力培养的教学路径

黄红成

何谓几何思维？简单地说，是指学生在几何学习活动中的形象思维；概括地说，是以几何图形为符号语言，以对几何对象的直接感知为基础，建构几何知识和解决几何问题的思维过程。小学是学生学习成长的起始阶段，也是发展学生几何思维能力的重要阶段。然而，由于教师认识的疏忽与不足，学生几何思维能力的培养和品质的提高并没有得到应有的重视，局限了学生思维能力的最大发展。主要体现在如下两个方面。

一是意识淡薄，操作肤浅。可能受解题需要或教学目标的牵制，在几何知识教学中，“就题讲题”“浮光掠影”的教学现象十分常见，以致成为教学的常态。他们要么狭隘地认为，习题的要求就是教学的要求，习题解答完了教学的任务也就结束了；要么机械地认为，渗透数学意识和提高几何思维能力是多此一举的行为，至于深入研究问题更是一种超越学生认知水平的教学方式。

二是认识偏颇，视听混淆。可以说，在现实的教学环境中，由于教师对小学生几何思维的认识不够全面、深刻，导致对学生几何思维能力的发展重视程度不够，甚至混淆了几何思维与几何直观的概念与作用，将两者混为一谈，分不清两者的区别和关联，错误地认为几何思维是一种发现数学规律和寻找解题思路的方法和途径。教师认识的不足，导致了教学的粗糙和肤浅，也导致了学生的思维能力得不到应有的发展。

那么，如何培养学生几何思维能力呢？

一、 重视分析，在增强思维清晰度中培养几何思维能力

就数学学习来说，强调学生思维的清晰性具有重要而普遍的意义，小学数学教学也不例外。清晰分析出问题中的数量关系，是解决几何问题的前提和基础。所以在解决条件比较隐蔽、关系不够明显的几何问题时，须要重视对问题中条件的分析，理清数量间的关系，增强思维的清晰程度。

例如，教学“长方体和正方体的展开图”时，教材通常都让学生将事先准备的长方体和正方体纸盒剪开，然后观察它们的表面展开图。在观察过程中，由于受前一节课中长方体和正方体特征的影响，教师并没有挖掘展开图中的教学资源，学生通常把观察的重心放在对特征的 “再次确认”上，判断一些类似“哪个面和哪个面是相对的面？它们的大小怎样？”“长方体或正方体的展开图是什么样子的？”等浅显的问题。这样的教学明显存在不足，因为此举仅清晰了展开图中面和面之间的关系，但是边与边的关系被疏忽了。如若这样，学生在求图1中展开前长方体的体积时，不少学生在分析“宽是多少厘米”时存在困难。教学中，缺少了对展开图中边与边位置和长度关系的分析，学生理不清边与边之间的长度关系，不能正确地找出需要的数据，出错是再正常不过的事情了。因此教学时，可以补充展开前长方体的长、宽、高数据，结合展开图（如图2）让学生说一说展开图中各条边的长度及分别是怎么算出来的。有了这样的分析过程，学生对展开图中的边与边、面与面的关系就非常清晰了，这样就能大大降低解决图1中问题的困难，也教给了学生分析几何问题的方法。

二、 加强辨析，在增进思维深刻度中培养几何思维能力

数学思维的深刻性是指数学活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的广度、深度和难度等。深刻性是思维品质的基础，其水平的高低将影响思维品质其他方面的发展水平。几何思维是一类数学思维，也讲求思维的深刻性，其深刻性的水平是衡量学生思维能力高低的重要标尺。教学中，需要结合具体的问题，适时训练学生的几何思维。

例如，学了“多边形面积的计算”后，为了沟通知识之间的联系，增进学生几何思维的深刻性，可以让学生先计算这些图形的面积：（1）平行四边形底12厘米，高8厘米；（2）三角形底12厘米，高16厘米；（3）三角形底24厘米，高8厘米；（4）梯形上底9厘米，下底15厘米，高8厘米。学生算出这些图形的面积，发现这四个图形的面积都相等后，辨析“为什么这些图形的面积是相等的？”“怎样的平行四边形和三角形或梯形的面积相等？”应该说，这样两个问题比较抽象，也存有一定的思考难度。但是因为有了前面的计算过程，有了之前图形面积公式推导的经历，解决这两个问题还是有路可寻的。在讨论和交流之后，学生觉得可以用割补的方法将图形进行等积变形来判断（如图3示意），并且总结出了诸如“一个平行四边形和三角形等底等面积，平行四边形的高是三角形的一半，三角形的高是平行四边形的2倍。”等较为抽象的结论。这样，学生对类似的几何问题就有了更加全面而深入的认识，同时也为解决类似“画一个与已知平行四边形面积相等的三角形或梯形”的几何问题做好了准备。

三、 善于追问，在增大思维拓展度中培养几何思维能力

适度的拓展练习，是课堂教学的必要延伸和补充，可以让学生开阔知识视野，积累数学经验，加深问题认识，发展思维能力。所以，数学教学需要发掘和利用教学资源，适时进行置疑和追问，让学生对数学问题的认识更加全面，进而实现培养思维能力的目的。

例如，在“圆的面积”的练习课中，有这样一个问题：计算边长40厘米的正方形中最大的圆的面积（如图4）。学生计算出面积3.14×（40÷2）2=1256平方厘米之后，随即改变条件：“如果正方形的边长是20厘米，那么其中最大的圆的面积是多少平方厘米？”学生算出3.14×（20÷2）2=314平方厘米。此时，我们不妨追问：“不知道同学们有没有想过，最大的圆面积和正方形面积是不是存在某种特殊的关系？怎样的关系？它们的比是不是相同呢？”富有挑战意味的问题一出，学生开始大胆猜测，然后决定分组算出两个问题中圆和正方形的面积比，发现都是157∶200。“是不是不管正方形的边长有多长，最大的圆与它的面积比都是157∶00呢？如果是，那怎样来证明呢？”有的学生说再举例，只要不出现反例就可以了；有的学生假设圆的半径为a厘米，那么最大的圆和正方形的面积比是（3.14a2）：（4a2）=157∶200，说明他们的比是不变的。通过适度的拓展和适时的追问，学生对“方中有（最大的）圆”这一数学问题的认识更加全面，而且将问题的研究从特殊推向一般的教学方式，拓宽了学生几何思维的宽度，发展了学生的数学思维能力。

四、 加强反思，在增添思维严密度中培养几何思维能力

严谨性是数学学科的基本特点，也是数学教学的要求。小学阶段的几何教学，通常采用直观教学的方式，学生对图形的认识一般靠直觉等方式来感知，很少采用推理、证明的方式来分析，这样很容易出现一些错误的判断，也不利于学生形成正确的认知。所以加强反思，可以提高学生的思维能力，养成良好的思维习惯，甚至有助于学生批判意识的形成。

例如，学生在解决“一个平行四边形两条相邻的边分别长12厘米和8厘米，一条高为10厘米，这个平行四边形的面积是多少？”的问题时，因为学生不能正确选择出对应的底和高，而且缺乏谨慎的态度和反思的意识，以致胡乱选取一个底和一条高错误地计算出图形的面积（甚至有学生把三个数据相乘来算面积）。对此，教学“平行四边形面积”时，可以结合如图5这样的平行四边形，让学生分别量出两组对应的底和高，并且在计算之前，让学生面对图形进行反思：“现在有4个数据，该用哪两个数据计算平行四边形的面积呢？”由于学生在测量过程中会不自觉地思考这样的问题，加之有直观的图形在眼前，所以判断这个问题轻而易举。不过，对问题的思考不能到此就偃旗息鼓，而是继续引导：“4个条件，你们怎么知道要用这两个数据相乘算出平行四边形的面积呢？”“因为可以从图上直接看出，这两个数据是对应的底和高”“你们的意思，是需要借助什么？是谁帮了你们的忙？”“图形。”“想一想，怎样变化可以增加问题的难度？”有的学生说去掉图形，有的学生说再去掉一条高或一个底边。最后按照学生的意见，再分析“选择哪组数据‘完整’的对应条件”计算平行四边形的面积。从中，不难看出，引导的过程其实是学生反思的过程，也是提高学生思维严谨性的过程。在反思的过程中，学生意识到解决类似问题需要找准条件，认识到对应的底和高在数据大小方面的特点，掌握了寻找对应条件解决问题的方法，从而诱发了学生的反思意识，锻炼了学生的数学思维。

总之，几何思维是数学思维的重要组成部分，直接影响学生后继学习的质量，因此，需要我们在教学中善于挖掘和利用教学资源，创造性地使用教材，在不断的辨析和追问中提高学生的几何思维品质，在不断的置疑和反思中培养学生的几何思维能力，为学生的持续发展打好坚实的基础。

【责任编辑：陈国庆】