关于比例尺教学的几点思考

吴良标

北师大版小学数学教材（第4版）将“比例尺”的教学内容放在六年级下册的第二单元“比例”中，在此之前，学生已经学过比的意义、比的化简和比的应用。应该说，我们生活在一个瞬息万变的时代，科学技术日新月异，从数学的角度研究变量和变量之间的关系无疑是十分必要的，让学生从小学阶段开始非正式接触函数，开启一种新的思维方式，将有助于学生更好地认识现实世界。而对于比例尺的知识，学生并不会感到陌生，生活经验比较丰富，如图形的放大与缩小、地图上的比例尺等。尽管如此，比例尺的应用对于学生来说还是比较抽象的，教学中存在不少困惑，值得我们思考。

一、 怎样计算更简便

“比例尺”这节课的教学目标之一确定为：结合具体情境，认识比例尺，能根据图上距离、实际距离和比例尺中的两个量求第三个量。教材中也很明确地给出比例尺的定义：比例尺=图上距离：实际距离。据此可以推导出另外两个计算公式：图上距离=实际距离×比例尺；实际距离=图上距离÷比例尺。那教学中是否也应如此按部就班呢？笔者在实际教学中进行了比较：让学生去识记这三个抽象无味的计算公式无疑会增加学生的记忆负担和学习难度，这样的教法阻扰了学生自由的“呼吸”。鉴于以上情况，在教学比例尺让学生计算实际距离时，只要学生懂得实际距离是图上距离的几倍，可先进行单位的转化，如1：15 000 000，表示图上1厘米相当于实际15 000 000厘米，即15千米，而图上5厘米可直接乘15千米等于75千米。如要计算图上距离时，可用实际距离除以比例尺的后项，这样就能有效地促使学生从繁琐的计算中解放出来，有更多的时间进行更有意义的思考。

二、 是放大还是缩小

在此后的单元测试中出现这样一道题：一种精密仪器长0.5毫米，画在图纸上长是3厘米，你能求出这幅图的比例尺吗？学生解答：3厘米=30毫米，0.5毫米：30毫米=1：60。班级有51名学生，竟有38人这样做，面对这一典型错误，笔者不由得反思是哪个环节出现问题了呢？思索一番后得出以下结论：首先，教材编写中虽明确指出比例尺的定义，但例题中出现的比例尺皆为将实际距离缩小后画在图纸上的，它们的前项是1，因此学生便会先入为主产生负迁移。当然编者也考虑到了这一问题，因为在此课后面又安排了一份阅读材料——“你知道吗”：说明在生产、科技研究中，有时由于机器零件比较小，需要把实际距离扩大一定的倍数以后，再画在图纸上。但这一补充因为笔者在教学中的疏忽而未能达到预期的目的。其次，教师在教学中，对于比例尺这一抽象概念的解析不到位，导致学生的一知半解。因此，在教学前教师得做足功课：比例尺是表示一幅图上图上距离和实际距离的比，可分为放大比例尺和缩小比例尺两种。其中，放大比例尺的后项一般是1，用于设计图纸，缩小比例尺的前项一般是1，用于地图。在课堂上还应设计相应的练习让学生有针对性地训练，从而有效突破思维定势，正确认识比例尺。其实深入分析后，便可得知：比例尺的后项为事物原来的实际大小，而前项则为画在图上的大小，如2∶1便是将实际放大2倍画在图上，而3∶4则是将实际缩小四分之三画在图上等。此外，还可适当介绍比例尺的三种表示方法：数字式、线段式、文字式，增加学生对比例尺相关知识的了解，进一步体会数学与日常生活的密切联系。

三、 先算长度还是面积

教学比例尺后，相信很多教师都会碰到这样的情况：

例题1：一块长方形水田，在比例尺1∶2 000的平面图上，量得它的长25厘米，宽15厘米，这块水田的实际面积是多少公项？学生列式计算：25×15=375cm2 375×2 000=750 000cm2=0.0 075公项。而正确的列式应为：25×2 000=50 000cm=500m 15×2 000=

30 000cm=300m 500×300=150 000m2=15公项

学生出现错误的原因是先计算图上面积，再用图上面积×比例尺的后项，对于这种思维偏差，很多教师的通常做法是强调：一定要先计算出实际的长和宽（或底和高），再计算实际的面积。除此之外，好像别无他法，然后学生下次再碰到这种类型的题目，老毛病又犯了……笔者以为，这一错误资源具有一定的典型性，有进一步挖掘的价值。可以出示正误两种方法让学生进行辨析，为什么计算的结果不一样呢？引导学生观察：如果例题中的0.0075公项再乘2 000就会等于15公项，说明先算出图上面积也可以，但还要再乘一次比例尺的后项，这是为什么呢？引导学生思考：比例尺表示的是长度之间的比，如果是面积，那么它们的比就发生了变化啦。

四、 要不要写单位名称

在教学比例时，还有一种情况也让教师比较纠结——比值要不要写单位名称？查阅相关资料后明白了所谓的“值”在数学上指的是演算所得结果：如数值、比值、函数值。而“比值”指的是两数相比所得的值。比的概念是由同类量的比较而来的，如一个数是另一个数的几倍，但现在比的概念已扩充到不同类的量相比。比的定义则趋向采用比较广义的解释，如小学阶段比被定义为‘两数相除又叫两数的比”。因此，比在表示同类量比时比值不带单位，类似于倍数关系，如比例尺便是此种情况；比在表示不同类量的比时，其结果（比值）是要带单位的，且常常为复合单位。如一辆轿车3时行驶180千米，这时路程和时间的比值产生了一个新的量，即速度。单位是千米/时。因为小学阶段没有强调复合单位，我们往往只写成“千米”。除此之外还有“总价与数量”的比是“单价”、“工作总量和工作时间”的比是“工作效率”……在此处我们可进行模糊处理，不必非此即彼、锱铢必较。

以上关于比例尺教学的思考虽力求追本溯源，但此中真意因才疏学浅只能算浅尝辄止，权当抛砖引玉，如能引起大家的思索，那就更有意义了。

【责任编辑：陈国庆】