正倒向随机微分方程的数值解及其在金融中的运用分析

王闻达

【摘要】随着社会经济的快速发展，金融产品日渐丰富，为了有效分析金融市场交易，数理模型得到了广泛的应用。正倒向随机微分方程属于随机微分方程的一种，其在数理金融方面扮演着重要的角色，它有效解决了金融的相关问题。本文分析了正倒向随机微分方程的概况，阐述了正倒向随机微分方程的数值解在金融中的运用，旨在推动我国金融市场的健康、稳定与有序发展。

【关键词】正倒向随机微分方程 数值解 金融

一、引言

近几年，金融市场不断扩大，各异的、多元的金融产品，吸引了大量的投资者，为了满足不同投资者的投资需求，金融市场日渐完善、金融产品愈加丰富。新时期，金融市场的发展状况得到了人们的普遍关注，为了有效、准确地分析金融市场，以此减少金融危机的影响，各种分析方法与数理手段被引入，如：马科维茨现代投资组合理论、期权定价公式及新型的金融数学分析等。自20世纪，倒向随机微分方程在金融领域的应用逐渐增多的，同时，非线性倒向随机微分方程的解的唯一性问题也得到了解决，并且将倒向随机微分方程和金融问题进行了有机结合，在此基础上，促进了金融数学问题的有效解决。

二、正倒向随机微分方程的概况

在20世纪，国内外数学家均十分关注正向随机微分方程理论，通过研究，推动了概率论与应用数学的发展。在1973年，Bismut提出了倒向随机微分方程，此后相关的学者也对其进行了研究，但其理论与应用仅体现在线性倒向随机微分方程问题的解决；在1978年，Bismut提出了非线性倒向随机微分方程的唯一性定理与比较定理。本文主要以正倒向随机微分方程为研究对象，它又称为全耦合正倒向随机微分方程，是指与正向随机微分方程相耦合的倒向随机微分方程，即：一个正向与倒向的随机微分方程相联，二者构成随机微分方程组[1]。

三、正倒向随机微分方程的数值解在金融中的运用

（一）正倒向随机微分方程在金融中的运用

1.资产定价问题。在利用正倒向随机微分方程分析金融问题时，应掌握相关的理论，并借助金融模型展开探讨。对于典型的金融数据模型而言，主要是指资产定价问题，此问题的特点为时间具有连续性，同时总资产是由不同资产所构成的，可以表示为n+1种资产，其中含有一种无风险资产，如：债券，此时可以表示为P0，短期利率为rt，此时的方程为dP0t=P0trtdt，其余资产均为风险证券，如：股票，此时的资产表示为Pi，其线性随机微分方程为

■

假设：短期利率、股票回报率、波动率矩阵均为可料有界过程，此时的可料有界过程向量为θ，称其为风险偏好，在此情况下，市场属于动态完备市场。

案例分析：以小投资者为研究对象，经正倒向随机微分方程分析可知，其财富过程为■，此时的策略为自融资策略，其投资行为与投资策略均未对金融市场造成影响，即：股市及债券市场的价格无变化。对于小投资者而言，其自融资是指在投资开始时，投入一定数量的资金，此后，不投入新的资金，仅利用有限的初始投资进行运作，在金融市场中，对自身资产进行随意的分配与组合。

2.期权定价问题。在金融市场中，期权定价模型具有常见性，此模型根据收益的性质将金融市场进行了划分，具体包括确定性收益与不确定性收益两种金融市场，前者有债券市场、银行利率等，后者有股票市场。在股票市场中，投资者的投资受不确定因素的影响，具有一定的波动，为了保证投资者的权益，应积极解决金融期权定价问题，以此明确现有时刻期权的价值。

案例分析：以某投资者为研究对象，其根据定价要求注入初始资金，通过期权定价模型分析可知，其收益分为确定性与不确定性收益。为了掌握现在时刻的期权价值，在市场完备的情况下，利用线性倒向随机微分方程，便可以解决此问题[2]。

3.大投资者的金融问题。上述两种情况讨论的对象均为小投资者，其投资规模相对较小，投资决策未影响金融市场，股票、债券价格未随着其投资组合而出现变化。但随着金融市场的发展，大投资者所占的比重不断加大，其投资策略的影响相对较大，为了保证金融市场的健康发展，需要利用正倒向随机微分方程，以此明确此类投资者的非线性投资策略。

案例分析：以大投资者为研究对象，根据研究可知，大投资的金融模型的随机微分方程为：

■，

■

经整理，可获得正倒向随机微分方程，如下：

■，

■。

（二）正倒向随机微分方程的数值解法

根据上述随机微分方程相关理论在金融中的运用可知，正倒向随机微分方程的应用价值显著，但在求解过程中，其难度较大，特别是倒向随机微分方程的数值解始终缺少精准性。根据国外学者的研究可知，倒向随机微分方程可利用θ格式进行处理，但正倒向随机微分方程的数值解研究尚无。

根据正倒向随机微分方程可知，其解具有唯一性，其中涉及的记号应包括时间步长与最大时间步长，同时要选用相应的推倒公式，以此解决正倒向随机微分方程的倒向随机微分方程，目前此部分处理可借助欧拉格公式完成，此后对正倒向随机微分方程进行离散，并且借助Mente-Carlo方法、N叉树方法估计条件数学期望与数学期望。通过实例，比较二叉树、三叉树与四叉树所解方程的误差可知，后两种的误差较小，因此，借助多叉树进行计算，其精度相对较高[3]。

四、总结

综上所述，在金融市场快速发展过程中，金融交易方式与金融产品愈加丰富，进而促进了社会资源的合理分配，但受金融危机的影响，制约着金融市场的发展，随之生成了新的交易方式与金融产品，但目前，金融市场发展仍面对诸多的问题，如：资产定价问题、期权定价问题等，为了有效解决上述问题，正倒向随机微分方程得到了学者的广泛关注，将其应用于金融之中，为金融市场的健康、稳定与有序发展奠定了坚实的基础。

参考文献

[1]张微.非耦合、弱耦合正倒向随机微分方程的高阶数值方法及误差估计[D].山东大学，2014.

[2]隋圆圆.正倒向随机微分方程的数值方法及其在金融与双曲型方程柯西问题中的应用[D].山东大学，2013.

[3]许振宇.Girsanov变换在倒向随机微分方程和亚式期权定价中的应用[D].山东大学，2012.