波尔共振实验中值得探讨的两个问题

张改平，李智强，闫明宝

(空军工程大学，陕西 西安　710051)



波尔共振实验中值得探讨的两个问题

张改平，李智强，闫明宝

(空军工程大学，陕西 西安710051)

从实验原理出发，计算相位差的不确定度，并对由公式计算的φ理值与实际测得的φ测值进行比较，发现二者之差最大可达到4.2°。分析了受迫振动相频特性曲线的变化规律，对部分论文中出现错误的相频特性曲线进行讨论，最后得出结论：随着驱动力频率的增大，振幅与驱动力之间的相位差应是逐渐减小的。

共振，相位差，不确定度

波尔共振仪可实现自由振动、阻尼振动和受迫振动三种振动。大部分高校都开设有这一实验项目。然而本实验的实验原理较难，物理量的推导过程复杂，实验数据较多，这些问题导致学生并不能完全理解振动的特性，甚至出现学生已做完实验，但对实验原理仍然没有完全掌握。而且对于受迫振动的相频特性研究，部分老师也并未完全理解相位差与驱动力频率之间的变化关系，甚至出现了错误的结论。本文就相位差的不确定度计算及相频特性曲线的变化规律进行重点讨论，在对相频特性的讨论中，一方面，从实验原理分析曲线的变化规律，并绘制出曲线图，另一方面，通过实例验证实验原理。通过理论分析和实验验证的手段，使学生深刻理解受迫振动的特性。

1　实验原理

1.1受迫振动方程建立及相关物理量导出

(1)

(2)

当mcosωt=0时，式(2)即为阻尼振动方程。

方程(2)的通解为它的一个特解加上齐次方程的通解[3]：

θ=θ1e-βtcos(ωft+α)+θ2cos(ωt+φ)

(3)

上式第一项表示一个减幅振动，反映受迫振动的暂态行为，经过很短的时间衰减至消失，第二项表示与驱动力频率相同的稳定的简谐振动。当第一项衰减为零后，受迫振动可以表示为：

θ=θ2cos(ωt+φ)

(4)

对上式求一阶和二阶导数，得：

(5)

(6)

将(5)和(6)式代入(2)式，得：

θ2(ω02-ω2)cosφ-2βθ2ωsinφ=m

(7)

θ2(ω02-ω2)cosφ-2βθ2ωsinφ=0

(8)

由(7)和(8)式，可得振幅与驱动力之间的相位差φ为：

(9)

且可得振幅

(10)

1.2稳定受迫振动三种共振的条件

(1)位移共振

(2)速度共振

由(5)式可得受迫振动的速度

(11)

(3)加速度共振

由(5)式可得受迫振动的加速度

(12)

2　对两个问题的探讨

2.1对φ的测量不确定度分析

对φ的测量结果见表1。

表1　对φ的测量

2.2对受迫振动相频特性曲线的描绘

对受迫振动特性研究中，在查阅资料的过程中发现，部分论文对于受迫振动相频特性曲线的描绘是不正确的，出现了随着ω的增大φ也增大的变化规律[6,7]，然而这一变化规律与实验原理是相矛盾的。从实验原理来看，由(9)式可知，相位差φ的表达式为一复合函数，为了分析φ随ω的变化规律，本文采用Matlab绘图软件描绘φ随自变量ω的变化图像，如图1所示。

图1　φ函数图像

从图像便能直观的看到φ随ω的变化规律。很明显，随着驱动力频率ω的增大，振幅与驱动力之间的相位差φ是逐渐减小的。为了更进一步验证这一结论，本文测量了各个周期下的φ值，数据如表2，此项阻尼旋钮置于11mm处，并绘制出φ随ω的变化规律，如图2所示。由图可知,φ随ω的变化规律与从实验原理分析的结果是一致的。因此，本文特别提出这一问题，对部分论文中出现的错误的相频特性曲线进行纠正，以免误导学生。

表2　 受迫振动相频特性曲线测量

图2　受迫振动相频特性曲线

2　结　　论

波尔共振实验是我校开设的大学物理实验中相对较难的一项实验，大部分教材对该实验的原理未做详细推导，对方程中出现的各个物理量的物理意义未加说明，对三种共振的条件并未区分，这就导致学生在学习该部分内容时并不能完全理解其物理含义。本文在原理部分对位移共振、速度共振和加速度共振三种共振做了详细的分析，最后得出共振的条件。在讨论部分分析了相位差的不确定度，并详细讨论了受迫振动的相频特性曲线，通过理论分析+实例验证的手段纠正部分论文中出现的错误相频特性曲线。

[1]程守洙,江之永.普通物理学[M].北京：高等教育出版社,1998(5):27-31.

[2]马文蔚,解希顺,周雨青.物理学[M].北京：高等教育出版社,2006(5):23-28.

[3]全红娟,潘渊,朱婧，等.波尔共振实验的不确定度分析[J].大学物理实验,2014,27(5):100-112.

[4]周开红.共振的条件及特点[J].云南师范大学学报,2011,31(4):69-73.

[5]王斌科,李晔,王翠香,等.大学物理实验[M].西北大学出版社,2013,1:11-12.

[6]张锐波.基于受迫振动实验中几个问题的理论推导[J].大学物理实验,2014,27(4):57-65.

[7]李越洋,刘存海,张勇.受迫振动特性研究[J].化学工程与装备,2008,7:19-26.

Study of Two Problems of the Pohl Resonator Experiment

ZHANG Gai-ping,LI Zhi-qiang,YAN Ming-bao

(Air Force Engineering University,Shaanxi Xi’an 710051)

Beginningfromexperimentalprinciple,itcalculatestheuncertaintyofthephasedifference,andcomparewiththetheoreticalvalueandthecalculatedvalueofthephasedifference,andthenobtainaresult:themaximumdifferencebetweenthetwois4.2°.Then,itanalysisthechangeregulationofthephase-frequencycharacteristicsoftheforcevibration,discussthemistakeofthephase-frequencycurveofapartofpaper,thelast,havearesult:thephasedifferencebetweenamplitudeanddrivingforceisgraduallydecreasewithenlargementofdrivingforcefrequency.

resonance；phasedifference；uncertainty

2016-01-31

国家自然科学基金资助项目(61501502)；陕西省自然科学基金资助项目(2015JM6277)

1007-2934(2016)04-0018-03

O321

ADOI：DOI:10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.004.006