浅谈中职数学中用数形结合求概率

曾钦

【摘要】随着中职教学改革不断深入，尤其在中职数学的教育方面，本着适宜为主、够用为度的教学原则调整了相应的教学方式和教学任务，特别是在概率教学方面采用了数形结合的教学方式来加强学生对概率的理解能力和解算能力，对中职学生提高数学的学习热情有着非常重要的积极作用。本文对数形结合思想的优点进行了一定的分析，同时对数形结合方法应用于概率教学的具体情况进行了针对性阐述。

【关键词】中职数学 数形结合 概率

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）19-0086-02

1.前言

长期以来，如何提高我国中职数学教学质量一直是中职数学教师关注的问题，在中职数学的实际教学过程中囊括了诸多解题思想，主要包含了归化思想、分类讨论思想、数形结合思想等，其中，数形结合思想由于具有一定的形象性、直观性等特点，被广泛应用于抽象化的教学内容中。

2.数形结合思想的优点分析

第一，具备一定的变通性。数形结合实质上就是数与行相结合灵活运用于实际数学教学过程中，特别是具有一定难度的函数问题、几何问题以及概率问题，数与形之间的灵活转变改变了以往数学解题枯燥单调的缺点，使得解题过程更富有趣味性，提高了学生的解题兴趣。

第二，具备一定的简化性。在实际解题过程中，通过适宜地运用数形结合思想能够有效地将复杂题型简单化，促使抽象问题具体化，这对减少解题难度，提高学生解题效率有着至关重要的积极作用。

第三，具备一定的发散性。数形结合思想从表层来看，是数与形的有效结合，但从更深层面来看，实质体现了思维上的逻辑与形象的有效结合，在思维方面有着一定的发散性，在数形结合的实际运用中，能够很好地增强学生自身发散性思维的有效发展。

3.数形结合思想在概率教学中的应用

概率作为中职数学的主体内容之一，与现实生活的关系极为密切，但其内容抽象，不容易理解，特别是对于初学者来说很难掌握。如果将数形结合思想适当地应用到概率中，可使复杂的问题简单化，轻松地解决问题。

3.1平面直角坐标系在求解概率问题上的应用

通常情况下，对于几何概型来说，可以将平面直角坐标系作为辅助手段来求解概率问题。具体表现如下：

例1：在长度为1的线段上任意取非端点的两点，将线段分成三段，求这三段线能够构成一个三角形的概率？

分析：假设其中任意两段线的长度为a、b，第三段线的长度为1-（a+b），由题意得0

解：设其中任意两段线的长度为a、b，第三段线的长度为1-（a+b），由题意可得0

例2：甲、乙两人打算于19时到20时之间在学校门口见面，同时约定好先到的一方要等候对方15分钟，若15分钟过后对方还没来就可以离开，则两人能够碰面的概率是多少？

解析：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达学校所需的时间，则两人能够碰面的充要条件是|x-y|≤15，如图2所示。（x，y）存在的全部可能结果由图2中所示的边长为60的正方形区域表示，能够碰面的时间由图2中的阴影部分表示， 将“两人能碰面”标记为事件A，所以，两人见面的概率P（A）= = 。

通常情况下，两个符合条件的独立事件若能够采用二元关系式来表达，则这一类的概率题大部分能够采用此方法，那就是以两个独立事件的结果当作平面直角坐标系的横纵坐标， 两个独立事件满足的条件如能用二元关系式来表达， 发生的概率大多能用类似的方法， 即用两个独立事件的结果（ 数字） 分别作为坐标系的横、纵坐标， 其坐标上的点所构成的有序数对所标记的点对应整个事件结果的所有可能，标出可能区域及满足某条件区域，因为全部结果都是等可能发生的，所以所求概率即是区域间的量比值。

3.2树形图在求解概率问题上的应用

一般来说，针对超过两步的随机事件发生概率，采用树形图来求解事件的发生概率。画树形图的重点在于层数的确定以及每层分叉个数的确定。具体表现如下：

例3：用红、黄、蓝三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，分别求三个矩形颜色均相同和颜色均不同时的概率。

解析：由树形图（用R，Y，G分别代表三种不同的颜色）知：

在该题中共有27个基本事件，由于对3个矩形进行涂颜色时，颜色是随机选择的，因此27个基本事件是等可能事件。

（1）将“3个矩形颜色均相同”标记为事件A。由图3可知，事件A中含有的基本事件有3个，故P（A）= = 。

（2）将“3个矩形颜色均不同”标记为事件B。由图3知，事件B中含有的基本事件有6个，故P（B） = 。

例4：三人传球游戏，每人均等可能地传给另两人，不存在自传现象，如果按照A发球开始算，求经过4次传球后回到A中的概率？

分析：由于这是一个实际生活问题，若仅凭单纯想象，一般解题是没有头绪的，所以要借助形象的树形图来辅助思考和解题。

解：将三人分别标记为A、B、C，因此4次传球全部可能可采取树形图一一列出，如图4所示。每个分支表示一种传球方案，基本事件一共为16，4次传球后回到A中的事件数为6，因此P= = 。

由上述例题可知，以树形图作辅助手段来促使具有一定复杂性、难度的概率问题简易化，提高学生对概率题的整体理解能力，实现有效解题的目的。当然，值得注意的是，学生在解题过程中要按照题目所给的条件和数据正确画出树形图，接着根据树形图的直观形象性解题，给予严谨的推理过程。

3.3韦恩图在求解概率问题上的应用

对于概率论而言，随机试验在一定程度上是一个集合，基本事件与集合中的子集一一对应。所以，可采用集合论中的部分记号、术语来表述基本事件之间的运算关系，比如韦恩图。对基本事件相关概率问题也可采用韦恩图来辅助理解，从而将抽象问题具体化、复杂问题简易化。

例5：任意安排甲、乙、丙三人在3天假日中轮流值班一天，求甲排在乙之前的概率？

解析：由题意知，甲、乙、丙三人在3天假日中的值班顺序数即为3个不同的元素在3个不同位置上的排列数共有A 种，具体表现如图5的韦恩图所示。

在以上6种事件结果中，甲排在乙之前的事件结果有3种，故其概率为P= = 。

4.结语

数形结合方法实质上就是以解决实际数学教学和解题过程中出现的抽象难题为目的，以相应的准确性为原则，将数与形相结合并灵活运用于实际数学教学和解题过程中。一方面，数与形之间的灵活转变改变了以往数学解题枯燥单调的缺点，促使抽象化的问题具体化、复杂化的问题简易化，提高学生解题的热情。另一方面，数形结合充分发挥了数和形的双重优越性，且以数形结合方式作为解题的辅助手段，利用其思想的变通性、简化性、发散性等特点来解决具有一定难度的、复杂的、抽象化的数学问题，特别是概率问题，这对于增强学生的解题能力、提高学生的解题效率以及促进学生发散性思维全面发展有着至关重要的积极影响。

参考文献：

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[2]阙俊杰.例谈中职数学中用数形结合求概率[J].内江科技，2011，（12）.

[3]耿春智.恰当运用数形结合思想解题[J].教师，2010，（4）.