一种基于局域共振的低频超宽带隙瓣状声学超材料

陈琳，吴卫国，周榕



一种基于局域共振的低频超宽带隙瓣状声学超材料

陈琳，吴卫国，周榕

(江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江212013)

针对低频声波的衰减问题，设计了一种基于局域共振(Local Resonance，LR)机理的带瓣型结构的声学超材料，并运用COMSOL 有限元软件MULTIPHYSICS 4.3计算分析了所设计的结构元胞带隙特性及其振动特性，研究表明，所设计的声学超材料比无瓣型声学超材料带隙更宽，并且仅用单层结构同种元胞组合就可以在一定频率下形成较宽的多个完全带隙，而不需要通过不同种元胞组合或是多层结构的复合而达到一定带隙特性。在此基础上，进一步对所设计的声学超材料的几何尺寸进行了优化。

声学超材料；局域共振；声波带隙

1 引言

低频噪声因其超强的穿透能力，一直是噪声控制领域的难点之一，传统的被动隔声设备对500 Hz以上的中高频噪声有较好的隔声效果，对于低频噪声由于受质量定律的限制，其隔声效果不太理想，如对于300 Hz以下的低频噪声，根据质量定律，隔声部件的厚度达到1 m才能满足隔声部件尺寸与声波波长处于同一数量级，起到隔声效果。这样的隔声部件太笨重，难以满足航空、军事、高速列车中隔声设备小巧高效的要求。1993年Kushwaha M S和Halevi P[1]等人提出了声子晶体，文献[2]表明声子晶体能带结构有带隙存在，在带隙范围内可以产生很好的隔声效果，但这些研究工作仍然没有打破质量定律，其低频减振降噪效果仍不够理想，一般在1~4 kHz范围内效果较好。2000年，Liu[3]等人提出了局域共振机理，其设计的声学结构可以控制波长大于晶格尺寸两个数量级的声波，实现了毫米级结构对大波长低频声波的有效控制。

近年来研究者们设计了多种基于局域共振机理的声学超材料结构，包括一维膜型[4]，二维二组元膜型[5]或是板型[6-7]，二维三组元膜型[8]，三维三组元体型[3]，二维Helmhotz腔型[9]，一维超材料梁型[10]，以及二维膜型和腔型的结合[11]等。这些结构在一定频率范围内都可以产生禁带，但是这些声学超材料结构如果仅凭借一种元胞而组成隔声装置其带隙并不是很宽，相对带隙(∆f/f)也仅为15%左右，很多都是通过多层结构堆叠或是改变元胞组成元素从而形成复合元胞达到较宽带隙的[8,12]。本文提出了一种基于局域共振机理的瓣型声学超材料微结构，并研究其元胞的带隙特性以及带隙优化规律。

2 模型的建立

本文设计的模型如图1所示，模型设计借鉴了向内弯曲的花瓣受到外力时产生较大的弹性曲率，能量从而减小，花朵振动进而保护花蕊的机理。图1(a)是本文设计的一个超材料元胞的模型，由半球、“瓣”、薄膜、栅格支架四部分组成。元胞为隔声装置中阻隔低频噪声的最小声学超材料单元，图1(b)是元胞背面和栅格；图1(c)是元胞阵列后的超材料结构；图1(d)是阵列后的背面结构图。其中，栅格支架由正方形格子沿方向和方向周期性延拓而成，起着固定支撑的作用，使得其上的质量有能力振动。中间的弹性薄膜相当于“弹簧-质量”系统中的弹簧，半球和“瓣”相当于质量块。

(a)       (b)

(c)        (d)

图1 “瓣”状结构的声学超材料模型

Fig.1 Schematic of the petal-like acoustic metamaterial model

3 数值计算及分析

由于该声学超材料是周期性的，本文首先计算了一个元胞的特征频率及带隙特性。所研究元胞结构尺寸为：半球半径的范围为2.6~3.4 mm，“瓣”的厚度统一为0.5 mm，薄膜厚度为0.4~0.7 mm，刚性支架长度也就是晶格常数为9~14 mm，支架高度和厚度分别为1 mm和0.75 mm。粘贴于弹性薄膜的半球是金属钨，弹性薄膜是硅胶，刚性支架是硬质塑料。材料参数：硅胶密度=1300 kg/m3；弹性模量=0.1175 MPa；泊松比0.469；塑料密度=1190 kg/m3；弹性模量=2.2 GPa；泊松比0.375；钨密度=17800 kg/m3；弹性模量=360 GPa；泊松比0.27。

3.1 能带结构计算

本文采用的元胞尺寸为=3.4 mm，=10 mm，=0.6 mm，元胞四周的边界均设置为Bloch周期性边界条件，其他边界为自由边界，本文利用有限元软件COMSOL MULTIPHYSICS 4.3对元胞的整个不可约布里渊(Brillouin)区边界---进行扫描得到元胞的能带图，如图2所示。从图2中可看出，在相同尺寸、相同材料下，有“瓣”和无“瓣”[13]元胞的带隙特性相差很大，对比图2(a)和图2(b)可知，有“瓣”模型产生的完全带隙的个数和带宽都比无“瓣”模型要优越，有“瓣”模型可以产生3条完全带隙，而无“瓣”模型只产生很窄的一条完全带隙。图2(a)中黄色区域是包括弯曲波[13]带隙在内的第一条带隙，用(1)表示，蓝色区域表示以“平带”[7]为上边界的第二条完全带隙，用(2)来表示，绿色区域为最宽的以“平带”作为下边界的第三条完全带隙，用(3)来表示。由图2中的能带图可计算出瓣型结构产生的带隙宽度是无“瓣” 模型的16倍([(305-140)+(92-76)]/(57-46)=16.4)，并且在400 Hz以下有三条完全带隙，带隙宽度达254 Hz，占作用总频率的65%，相对带隙(∆f/f)高达到60%。

(a)有“瓣”元胞

(b)无“瓣”元胞

图2 有“瓣”和无“瓣”元胞的能带图

Fig.2 Sonic band structures of the metamaterial cell: a. with "petals" and b. without "petals"

3.2 结构模态分析

由图2可见，瓣型结构比较宽的带隙，尤其是第三完全带隙(图中用(3)表示)的形成与其结构的振动模态特性密不可分。图3所示4张图分别为图2(a)所示能带图中曲线A、B、F、G对应固有频率在点的振动模态图。图3(a)对应图2(a)中曲线A在点的振动模态，对应于元胞结构的第一阶模态，固有频率为62 Hz，从图中可以看出半球和瓣都沿方向振动，而四周框架几乎保持静止。这表明，硬质塑料框架可以看做刚性基础，起到隔离每个元胞的作用，使每个元胞的振动都局域化，该阶模态与文献[6]中的“elongation”模态相对应。图3(b)对应图2(a)中曲线B在点的振动模态，对应于元胞结构的第二阶模态，固有频率为 76 Hz，半球和花瓣在水平方向或方向振动。由于曲线C在点的的振动模态与曲线B在点的相似，都是半球和花瓣在水平或方向振动，故只用图3(b)代表元胞的第二阶振动模态。由于结构在方向和方向的对称性，结构在方向和方向的振动也相似，只是方向不同，所以曲线B、C在远离点处几乎是重合的，曲线D、E在远离Γ点处也几乎是重合的，该模态与文献中的“shear”模态相对应；图3(c)对应图2(a)中曲线F在点的振动模态，对应于元胞结构的第三阶模态，固有频率为146 Hz，从图中可以看出半球和瓣绕着几何对称轴做扭动。曲线F代表“平带”，其值不随波矢的改变而变化，该模态与其“breath”模态相对应。最后，图3(d)所示模态与曲线G对应，对应于胞元结构的第四阶模态，固有频率为332 Hz，只有瓣的水平相向振动，半球保持不动。

(a)

(b)

(c)

(d)

图3 图2(a)中点A、B、F、G对应的振动模态

Fig.3 The vibration modes corresponding to the points of A, B, F, G shown in Fig.2

从结构模态分析可以看出，前三种振型都是框架保持不动，只有半球、瓣和薄膜振动。这样，当整个结构受到振动干扰时，塑料框架不动，薄膜与其上的结构振动耗散能量，从而达到减振的效果；当结构受到来自空气的垂直入射声波激励时，如果激励频率与结构的固有振动频率接近时，则声波与结构发生强烈的耦合作用，从而达到降噪的效果。图3(d)所示模态与曲线G对应，只有瓣的水平相向振动，半球保持不动，该振型特征是超宽带隙形成的主要原因之一。

3.3 结构参数优化研究

由图2(a) 和2(b) 的对比得知，瓣型模型比无“瓣”模型的带隙特性优越。但是，有“瓣”不是产生优越带隙特性的充分条件，元胞中各结构几何尺寸在一定范围内满足相互匹配才能达到最佳效果。

(a) 晶格常数对带隙特性的影响

首先分析晶格常数对带隙特性的影响，计算中薄膜厚度=0.6 mm和半球半径=3.4 mm都保持不变，晶格常数分别取9、10、11、12、13、14 mm时，计算的能带结构如图4所示。

从图4(a)~4(f)可以看出，随着晶格常数的逐渐变大，能带结构中(3)区域宽度越来越小，从232 Hz逐渐减小到8 Hz，当晶格常数达到12 mm时，(3)区域消失，而(2)区域从无到有再到无，(1)区域宽度基本不变，带隙中心频率逐渐降低，具体变化数量及趋势如图5所示，图中主要标注了第三完全带隙的宽度，第一、二完全带隙宽度变化不大，都在25Hz以下，图上没有标注。

(a)=9 mm

(b)=10 mm

(c)=11 mm

(d)=12 mm

(e)=13 mm

(f)=14 mm

图4 超材料晶格常数变化时结构的能带图

Fig.4 The sonic band structures of the metamaterial cells with different lattice constants

(b) 薄膜厚度和半球半径对带隙特性的影响

半球在元胞结构中相当于质量块，半球半径的大小等价于质量块质量的大小。弹性薄膜在结构中相当于缓冲振动的弹簧，薄膜的厚度影响着薄膜的弹性，所以也会对结构带隙特性产生一定影响。在“弹簧-质量”系统中，弹簧和质量任何一方发生改变，其振动特性就会受到影响，固有频率就会有所变化，对应元胞的能带结构就会发生变化。本文在保持晶格常数=10 mm不变的前提下，分别计算了薄膜厚度和半球半径变化时元胞的带隙特性。计算结果如图6所示，从图6(a)中可看出，随着薄膜厚度的增加，(3)区域宽度和中心频率都逐渐增大，(1)、(2)区域宽度基本保持不变，其中心频率均随薄膜厚度增加而逐渐增加。

从图6(b)中可看出，(3)区域宽度随半球半径R增大变化较大，从9 Hz迅速变到141 Hz；(2)区域宽度基本不变，其中心频率反而逐渐降低；(1)区域宽度基本不变，中心频率逐渐升高。

由以上的分析知，要得到最宽的带隙，就要优先考虑(3)区域(第三完全带隙)的宽度，因为(3)区域占总完全带隙的比例(86%)最大，从(3)区域宽度变化趋势来看，就要尽量减小晶格常数，增大薄膜厚度，增大半球半径。但是，缩小晶格常数和增大半球半径是两个矛盾的过程。因为半球半径增大，附属在其外的瓣范围也将扩大，有可能超出晶格常数的范围，所以必须找到最合适半球半径和晶格常数的搭配，才能得到最优带隙特性。本研究中结构尺寸为=9 mm，=3.4 mm，=0.6 mm时(3)区域达到最宽(232 Hz)，如图4(a)所示。此时晶格常数较小，瓣形所占空间比相对增大，瓣对带隙的影响随之增大，故禁带增宽也在预料之中。

(a)带隙随薄膜厚度的变化

(b)带隙随半球半径的变化

图6 薄膜厚度和半球半径对带隙特性的影响

Fig.6 The relationships of bandwidth with (a) film thickness and (b) hemisphere radius

4 结论

本文设计了一种基于局域共振(LR)机理的带瓣型结构的声学超材料，模型设计借鉴了向内弯曲的花瓣受到外力时产生较大的弹性曲率能量从而减小花朵振动进而保护花蕊的机理。通过COMSOL计算研究表明本文所设计的声学超材料比无瓣型声学超材料带隙更宽，并且仅用单层结构同种元胞组合就可以在一定频率下形成较宽的多个完全带隙，而不需要通过不同种元胞组合或是多层结构的复合而达到一定带隙特性，在此基础上进一步对所设计的声学超材料几何尺寸进行了优化，当结构尺寸为(=9 mm，=3.4 mm，=0.6 mm)时(3)区域达到最宽(232 Hz)，此时晶格常数较小，瓣形所占空间比相对增大，瓣对带隙的影响随之增大。

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A petal-like acoustic metamaterial structure based on local resonance with ultra-wide sonic band gap in low frequency range

CHEN Lin, WU Wei-guo, ZHOU Rong

(,212013,,)

This paper proposes a petal-like acoustic metamaterial structure based on local resonance to solve the low-frequency acoustic attenuation problem. The band structures and vibration characteristics of the designed material cell are analyzed with COMSOL MULTIPHYSICS 4.3. It is shown that the proposed petal-like metamaterial structure can generate band gap much wider than that of the structure without petals in low frequency range. Furthermore, the structure can produce several complete band gaps by only one kind of cell of a single layer rather than different cells and several layers. The paper also studies the problem on size optimization of the acoustic metamaterial structure.

acoustic metamaterial; local resonance; sonic band gap

O422.7

A

1000-3630(2016)-03-0222-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.03.007

2015-11-13;

2016-02-13

镇江市科技支撑项目(GY2013052)

陈琳(1988－), 女, 甘肃定西人,硕士, 研究方向为声学超材料、低频噪声控制。

吴卫国, E-mail: wuwg@ujs.edu.cn