求解时谐涡流问题T-ψ有限元迭代算法

王帅，姚俊义，陈涛，康彤

(1.中国传媒大学 理工学部，北京 10024；2.河北省石家庄市长安区食安办，石家庄 050019)



求解时谐涡流问题T-ψ有限元迭代算法

王帅1，姚俊义2，陈涛1，康彤1

(1.中国传媒大学 理工学部，北京 10024；2.河北省石家庄市长安区食安办，石家庄 050019)

介绍麦克斯韦方程组在时谐涡流场的边界条件，给出所要求解的T-ψ格式. 然后，提出全离散的耦合T-ψ有限元算法和解耦T-ψ有限元迭代算法.最后，进行数值实验，验证两种算法的可行性和收敛性.

麦克斯韦方程组；T-ψ方法；有限元；迭代法；耦合；解耦

1　全离散的耦合、T有限元算法和解耦、T有限元迭代算法的提出

本文将研究如下麦克斯韦方程组

(1)

其中E是电场强度，H是磁场强度，B是磁通密度，Je是涡流电流密度，Je是源电流密度。

因此，麦克斯韦方程组(1.1)可以写成如下T-ψ格式：

我们定义Ls()(s>1)是一个s可积空间，其范数定义为‖·‖Ls()。 在s=2的情形中，L2()也就是通常所说的平方可积函数的Hilbert空间，其内积与范数分别定义为(u，v)：=∫u(x)v(x)dx，‖u‖：=(u，u)

定义Hm()：={v∈L2()：Dξv∈L2()，0<|ξ|≤m}及其范数‖其中，m非负整数，ξ是一个非负的三元组指标。我们用粗体符号来表示向量值性质，例如L2()：=(L2())3。 设Ls(∂)(s>1)表示定义在边界∂上的s可积函数空间，它的范数是‖·‖Ls(∂)。 定义在Г的∂内积写作(u，v)：=∫Гu·v。 对于e，e也可以类似于上面所定义的那样去定义，设(e)：={v∈H1(e)：v×n∈L1+α(∂e)，0<α≤1，v·n=0在∂e上}于是，我们就可以定义一个Banach空间，它的内积为((p，φ)，(Q，φ))v：=(P，Q)H1(e)+(▽Q，▽φ)L2()它的范数可以用如下的和形式来定义‖(Q，φ)‖v：=(‖‖▽φ空间V的对偶空间是V。

设Jh是上的标准四面体剖分，网格尺寸为h0。 我们定义

Wh：={φh∈H1()：φh|κ∈p1，∀κ∈Jh}

1.1全离散的耦合T-ψ算法

抽取市售豆奶饮料30批次，配料表明示均以大豆为主要原料。取豆奶饮料40 mL置于50 mL离心管中，10000 r/min离心5 min，弃上清，取沉淀80 mg于2mL离心管中，按照试剂盒说明书操作提取基因组DNA。若单次离心沉淀较少，再次取样，重复离心1～2次。以提取的DNA为模板，分别进行RT-PCR和ddPCR反应，检测CaMV35s、NOS、Lectin基因。

对于任意的(Q，φ)∈V，求(T，ψ)∈V，满足下面的等式

iω(μ(T+▽ψ)，Q+▽φ)L2(e)+iω(μ▽ψ，▽φ)▽φ)L2(e)-iω(μHs，▽φ)L2(e)

(3)

1.2全离散解耦有限元迭代算法

D((Q，φ)，(Q′，φ′))=iω(μ(Q+▽φ)，Q′+▽φ′)L2(e)+iω(μ▽ψh，▽

它的权范数模为

(5)

两种算法解的存在唯一性都可以由强制性和连续性证得，解耦中迭代法的收敛性也是可以证明的。

2　数值实验

本节是对两种算法进行数值实验，验证了两种算法的收敛性和可行性。解耦相对于耦合算法有些误差，但是影响不大，并且在相同计算资源的配置下，所用时间和内存，解耦算法均小于耦合算法。图1中给出了所研究的模型图，这个模型是类似于TEAM Workshop Problem 7建立的，其中导体上的电导率σ=3.526×107西门子/米，在整个区域上磁导率×10-7亨利/米。 图2和图3给出了磁通量B在z方向的分量结果图，图4将耦合和解耦的下磁通量B在z方向的分量进行对比，在模型上取y=0.126，z=0.019这条直线的点值。

图1　

图2　

图3　

图4　

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(责任编辑：马玉凤)

T-ψ Finite Element Method with Iteration for a Aarmonic Eddy Current Problem

WANG Shuai1，YAO Jun-yi2，CHEN Tao1，KANG Tong1

(1.Science School，Communication University of China，Beijing 100024；2.Food Security Office，Chang’anDistrict，Shijiazhuang，Hebei Province，Shijiazhuang 050019)

we present the boundary conditions of Maxwell’s equations in a harmonic eddy current problem，and give the desiredT-ψscheme. Then，we give finite element method of full discrete coupledT-ψscheme and the iteration method for the fully discrete decoupledT-ψscheme. Finally，the numerical experiments verify the algorithms and convergence.

maxwell’s equations；T-ψmethod；finite element；iteration method；decoupled；coupled

2015-07-14

王帅(1989-)，女(汉族)，河北承德人，中国传媒大学硕士研究生.E-mail：634699705@qq.com

O241.82

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1673-4793(2016)01-0017-05