I型超导体全离散T-ψ有限元法的误差估计

韩青青，陈涛，康彤，王然

(中国传媒大学信息工程学院，北京100024)



I型超导体全离散T-ψ有限元法的误差估计

韩青青，陈涛，康彤，王然

(中国传媒大学信息工程学院，北京100024)

采用将磁场H进行T-ψ有限元分解的方法来解决I型超导的问题，其中带有奇异核的卷积项是误差估计的关键.首先我们要给出T-ψ具体形式，以及变分形式和相关的函数空间；其次，给出全离散格式，并证明其变分问题解的存在唯一性；最后，进行稳定性研究和误差估计。

I型超导体；奇异；全离散T-ψ方法；误差估计

1　引言

为了给出本文要研究的数学模型，先从简化的麦克斯韦方程组入手

(1)

其中B表示磁通量，E表示电场，H表示磁场，J表示电流密度。

.接下来定义Hilbert空间

H(curl，c)：={v∈L2(c)：▽×v∈L2(c)}

H0(curl，c)：={v∈H(curl，c)：v×n=0on∂c}

((P，φ)，(Q，φ))v：=(P，Q)H1(c)+(▽φ，▽φ)Lz()

在本节我们将给出几个重要的估计式.

(1.2)

(k0★h1，▽×h2)≤Cε‖h1‖2+ε‖▽×h2‖2，∀h1∈L2()，h2∈H0(curl，)

(1.3)

定义1.1对于所有的(Q，φ)∈V存在(T，ψ)∈H1((0，T)，V)，使得下式成立

(1.4)

2　全离散

设Th是标准四面体剖分，下面我们定义有限元空间

全离散解的存在唯一性用Lax-Milgram定理容易得到.下面定义分片插值函数

因此(2.1)式的弱形式如下

=0∀(Qh，φh)∈Vh

(2.2)

3　稳定性和误差估计

定理 3.1对于j=1，2，…，n，存在两个常数τ0和C，使对于任意的0<τ<τ0，有

定理3.2设(1.4)的弱解(T，ψ)和初值(T0，ψ0)满足

(T，ψ)∈L2((0，T)，H2(C)×H2())，(T0，ψ0)∈H1(C)×H2()

则全离散问题满足如下的误差估计

合并整理，运用Gronwall不等式，定理得证。

4　结论

本文通过将磁场H进行T-φ有限元分解，以及之后的误差估计和稳定性研究，从理论上证明了T-φ有限元方法解决Ⅰ型超导问题的可行性。

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(责任编辑：王谦)

Error Estimate of A Fully DiscreteT-ψfinite Element Method for Type-superconductor

HAN Qing-qing，CHEN Tao，KANG Tong，WANG Ran

(School of Sciences，Communication University of China，Beijing 100024，China)

This paper is devoted to the study of a fully discreteT-ψfinite element method based on H-decomposition to solve a nonlocal parabolic model for Type-I super-conductors. We first design a nonlocal scheme for approximation in suitablefunction spaces. Then，we suggest a fully discrete scheme and prove the convergence of the nonlocal scheme. Finally，derive itserror estimate.

type-I superconductor；singular；fully discreteT-ψfinite element method；error estimates

2015-07-14

韩青青(1990-)，女(汉族)，山西晋中人，中国传媒大学硕士研究生.E-mail：1244919106@qq.com

O241.82

A

1673-4793(2016)01-0056-05