一类具有非线性发生率的生态-流行病模型分析

刘宣亮，江文超

（华南理工大学数学学院，广东广州　510640）

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一类具有非线性发生率的生态-流行病模型分析

刘宣亮，江文超

（华南理工大学数学学院，广东广州510640）

对仅在捕食者中传播且具有非线性发生率的一类生态-流行病进行了研究.考虑了系统解的有界性、边界平衡点与正平衡点的存在条件及稳定性；利用分支理论与方法讨论了正平衡点的Bogdanov-Takens分支产生的条件，得到了相应的鞍结点分支曲线、Hopf分支曲线和同宿分支曲线；对正平衡点的Hopf分支，讨论了分支的方向及稳定极限环的存在性.

生态-流行病模型；非线性发生率；稳定性；分支

【引用格式】刘宣亮，江文超.一类具有非线性发生率的生态-流行病模型分析［J］.北华大学学报（自然科学版），2016，17（3）: 281-289.

1　引　言

近几十年来，种群动力学和传染病动力学得到了广泛的研究，作为种群生态学与传染病动力学的一种结合，考虑疾病在相互作用的种群之间传播的生态-流行病模型也引起了人们越来越多的关注［1-9］.文献［2-3］对疾病仅在食饵中传播，且疾病发生率为双线性的情形进行了研究；文献［4］进一步考虑了疾病发生率为非线性的情形，研究了其丰富的动力学性质.本文研究如下疾病仅在捕食者中传播，只有易感捕食者捕食食饵，且疾病发生率为非线性的一类捕食者-食饵模型:

其中:S，I分别表示捕食者中易感者和染病者的密度；x表示食饵的密度；r表示食饵的内禀增长率；k表示食饵种群的环境容纳量；mxS为功能性反应函数；ε为转化率；d表示捕食者的死亡率；b0I2S表示疾病的非线性发生率；c表示染病者的自然死亡率.所有参数都为正常数.

2　解的有界性

（ⅰ）若X（t）≥1对任意的t≥0都成立，则当t→+∞时，（X（t），S（t），I（t））→（1，0，0）；

（ⅱ）若存在一个t0≥0使得X（t0）＜1成立，则当t＞t0时，有X（t）＜1成立；

（ⅲ）如果X（0）＜1，那么对任意的t＞0，有X（t）＜1成立.

（ⅰ）若X（t）≥1对任意的t≥0都成立，从系统（2）中的前两个方程可以得到

于是当X（t0）＜1时，对t＞t0，有X（t）＜1成立.

（ⅲ）当X（0）＜1时，利用（ⅱ）的证明过程可知对任意的t＞0，有X（t）＜1成立.证毕.

引理2存在一个M＞0，使得当t充分大时，系统（2）的初值位于内的任一解（X（t），S（t），I（t））满足

0≤Y（t）≤exp（-min｛a2a3，a4｝（t-t*））Y（t*）+M［1-exp（-min｛a2a3，a4｝（t-t*））］，而上式右端当t→+∞时极限为M，所以系统（2）的所有从中出发的解是最终正向有界的.证毕.

3　平衡点及其稳定性

3.1边界平衡点及其稳定性

由系统（2）容易得到以下边界平衡点E0（0，0，0），E10（1，0，0），E20（a3，a0（1-a3）/a1，0）.系统（2）在平衡点E0处的特征值为a0，-a2a3，-a4，因此E0为不稳定的.在平衡点E10处的特征值为-a0，a2（1-a3），-a4，当a3＞1时，E10是局部渐近稳定的；当a3＜1时，E10是不稳定的.当a3＜1时，在内E20存在，系统（2）在E20处的特征方程为

其特征值皆为负实部，故E20是局部渐近稳定的.

定理2当a3＞1时，平衡点E10在内除坐标平面X=0外是全局渐近稳定的.

证明:当a3＞1时，系统（2）在内只有E0，E10两个平衡点.取0＜ε＜a3-1，对初值位于内且不在坐标平面X=0上的解（X（t），S（t），I（t）），由引理1知，存在T＞0，当t＞T时，0＜X（t）＜1+ε，则，于是=0.故系统（2）的极限方程为

对于极限方程的解（X（t），I（t））（注意到X（t）＞0），当t→+∞时，有（X（t），I（t））→（1，0）.于是由极限系统理论［1］，当t→+∞时，有（X（t），S（t），I（t））→（1，0，0）.故平衡点E10在内除坐标平面X=0外是全局渐近稳定的.证毕.

3.2正平衡点及其稳定性

容易得到正平衡点（X，S，I）的I坐标满足方程:

由于f（0）＞0，因此方程f（I）=0必有一负根I1.当a3≥1时，方程（3）无正根，下设a3＜1.记

则有

当a0＜a*0时，f（Ib）＞0，方程f（I）=0无正根；当a0=a*0时，f（Ib）=0，方程f（I）=0有一个正根（二重根）I0=Ib；当a0＞a*0时，f（Ib）＜0，方程f（I）=0有两个正根I2，I3，不妨设I2＜I3，即0＜I2＜Ib＜I3.

在ℝ3+内，当a3＞1时或当a3＜1，a0＜a*0时，系统（2）没有正平衡点；当a3＜1，a0=a*0时系统（2）有唯一的正平衡点当a3＜1，a0＞a*0时，系统（2）有两个正平衡点

关于M2（X2，S2，I2）的稳定性有如下结论:

定理3当a3＜1，a0＞a*0时，系统（2）在正平衡点M2（X2，S2，I2）处是不稳定的.

证明:系统（2）在M2（X2，S2，I2）处的特征方程为

4　正平衡点的分支

本节讨论在正平衡点处的Bogdanov-Takens分支和Hopf分支.由于计算较繁琐，计算过程中使用了数学软件Maple.

4.1Bogdanov-Takens分支

当a3＜1，a0=a*0时，系统（2）有唯一的正平衡点M0（X0，S0，I0）.记

在条件a0=a*0，a4=a*4下，容易得到系统（2）在正平衡点M0处有两个零特征值.下面利用文献［10］中的方法来讨论在M0附近的Bogdanov-Takens分支.

我们选取a0，a4为分支参数来研究.将系统（2）记为

其中Z=（X，S，I）T，U=（a0，a4）T.记Z0=（X0，S0，I0）T，U0=（a*0，a*4）T，则F（Z0，U0）=0，DF（Z0，U0）的特征值为0，0，-b1，其中

记矩阵

又设P-1=（q1，q2，q0），则

其中

从而利用文献［10］中的公式和记号，经计算得到

其中

最后利用文献［11］中关于Bogdanov-Takens分支的结论，可得:

（ⅰ）有鞍结点分支曲线:SN=｛（λ1，λ2）:4aβ1-β22=0｝；

（ⅱ）有Hopf分支曲线:H=｛（λ1，λ2）:β1=0，β2＜0｝；

（ⅲ）有同宿轨分支曲线:HL=｛（λ1，λ2）:25aβ1+6β22=o（β22），β2＜0｝.

相应分支曲线为

4.2Hop f分支

当a3＜1，a0＞a*0时，系统（2）有两个正平衡点M2，M3，其中M2不稳定.下面讨论系统（2）在M3处的Hopf分支.

令v1=X-X3，v2=S-S3，v3=I-I3，则系统（2）可写为

其中

矩阵A1的特征方程为

其中

由于2a*0I30=a1a2a4，又a0＞a*0，I3＞I0，可知γ=X3S3（2a0I33-a1a2a4）＞0，故方程（7）必有一个负根.如果特征方程（7）有纯虚根iω0（ω0＞0），将λ=iω0代入方程（7）中，可得αβ-γ=0，即Δ≡a0a1a2X23S3+ a0a24X3-2a24I23-a20a4X23=0.设有a*1＞0，当a1=a*1时，Δ=0，β＞0，即当a1=a*1时，方程（7）有一对纯虚根 ±iω0，ω0=又设λ=μ（a1）+iω（a1）为方程（7）的一个复根，代入方程（7），可得

方程（9）两边对a1求导，利用μ（a*1）=0，ω（a*1）=ω0，可得

如果μ'（a*1）≠0，则产生Hopf分支的横截性条件满足.

下面讨论Hopf分支的方向.

其中

通过变换z=y1+i y2，y3=u，把方程（10）变为复数形式

其中

不妨设方程（11）在原点附近的中心流形可以表示为

其中

利用一阶Lyapunov系数的计算公式［11］:

可以得到一阶Lyapunov系数l1（0）.由于一般参数下l1（0）的表达式太长，不易讨论其正负，我们略去l1（0）的具体表达式，下面取一组特定参数值来讨论原系统的Hopf分支的方向.

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【责任编辑：伍林】

Analysis of an Eco-Epidemiological Model with a Nonlinear Incidence Rate

Liu Xuanliang，Jiang Wenchao
（ School of Mathematical Sciences，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China）

An eco-epidemiological model with a nonlinear incidence rate in the predator is considered.We analyze the boundedness of solutions and stability of equilibria.By using bifurcation methods and techniques，we study the Bogdanov-Takens bifurcation near a positive equilibrium，and obtain a saddle-node bifurcation curve，a Hopf bifurcation curve and a homoclinic bifurcation curve. The direction of Hopf bifurcation and the existence of a stable limit cycle near a positive equilibrium are also discussed.

eco-epidemiological model； nonlinear incidence rate； stability； bifurcation

O175.14

A

1009-4822（2016）03-0281-09

10.11713/j.issn.1009-4822.2016.03.001

2016-02-26

国家自然科学基金项目（11572127）.

刘宣亮（1965-），男，博士，副教授，主要从事动力系统及其应用研究，E-mail:liuliang@scut.edu.cn.