电势的多级展开与对称性的关系

张晓秋艳　徐　岩　宋仁刚　王学水

(山东科技大学电子学院应用物理系，山东 青岛　266590)



电势的多级展开与对称性的关系

张晓秋艳徐岩宋仁刚王学水

(山东科技大学电子学院应用物理系，山东 青岛266590)

研究电荷分布在小区域内的情况时，常用多级展开的方法.本文研究了对称分布的带电体的电势场与电多极矩的关系，并用图像的方法说明了电势的各级展开多电荷势的物理意义和叠加形式.从电多极矩的公式出发，分析了有对称性的带电体的电势场与电多极矩的关系，并给出了对称变换的正交矩阵.可以通过电荷分布的对称性，迅速判断多级展开的各级近似是否为零，并进而得到简化的多级展开式.这对加深电多极矩展开内容部分的学习理解和具体计算十分有益.

多级展开；电偶极矩；电四极距；对称性

1　多级展开的物理思想

研究电荷分布在小区域内的情况时，可以用多级展开的方法，将它在远处某点的电势表示成各级多电荷势的叠加形式，求出电势的近似值.下面用电势多级展开图像来说明.

图1　多级展开图像

现在用○表示等量的正、负电荷±q重合在一起，⊕表示正电荷+q，⊖表示负电荷-q.如图1(a)为一带电体，设O点为带电体的几何中心，而带电体的电中心偏离几何中心，在这种情况下，电荷系统才能做多电极展开[1].如图1(a)所示的电荷系统可以分解为(b)+(c).(b)的电中心与几何中心重合，相当于一个点电荷，(c)是一个电偶极子，其电中心与几何中心不重合.用同样的方法，(c)所示的电荷系统可以分解为(d)+(e).(d)为电中心与几何中心重合的电偶极子，(e)为电中心与几何中心不重合的电四极子.(e)所示的电荷系统可以分解为(f)+(g).(f)为电中心与几何中心重合的电四极子，(g)为电中心与几何中心不重合的电八极子.电八极子也可以继续分解.

依此类推，在不同近似取项中只有最后一个多极子的中心点不在原点上.但随着取项的增加,最后多极子的中心点将更加靠近多极展开的中心(O点)，对应着φ(x)的计算精度越来越高[2].如图2，带电体(a)可以看做点电荷(b)加电中心与几何中心重合的电偶极子(d)加电中心与几何中心重合的电四极子(f)加电中心与几何中心重合的电八极子(h)….

图2　各级近似叠加

由此可见，电多极矩展开的实质是把一个中心不在原点的电荷体系在远处某点产生的电势，看作一个中心位于原点的点电荷在该处产生的电势与一系列电中心与几何中心重合的电多极子产生的电势的叠加.

2　电势的多级展开

已知真空中电荷密度ρ(x′) 激发的电势为

(1)

(2)

把上式代入式(1)得

(3)

则式(3)可写为

上式是电荷体系激发在远处的多级展开式.具体的推导过程详见电动力学教材[3]，这里不再赘述.

3　多级展开与电势场的对称性的关系

对带电体产生的电势多极矩展开的意义，主要是为了得到一种求电势的方法，特别是在带电体电荷分布具有某种对称性时，多级展开不失为一种行之有效的方法.

我们可以通过电荷分布的对称性，迅速判断多级展开的各级近似是否为零，并进而得到简化的多级展开式.

哪些对称性与电势的多级展开有关？下面讨论各级展开与对称性的关系.

1) 电势的一级近似

2) 电势的二级近似

电偶极矩表达式为p=∫Vρ(x′)x′dV′，当电荷分布过原点对称(对称1)时，有ρ(-r)=ρ(r)，于是rρ(r)dV′+(-r)ρ(-r)dV′=0，得到p=0.在三维情况下，电荷坐标分布的中心反演的正交变换可以写成

所以当带电体电荷分布对原点对称时，p=0，电势的二级近似φ(1)=0.

3) 电势的三级近似

电四极矩表达式为

三维情况下，带电体电荷坐标分布对x轴对称的正交变换可以写成

关于y轴对称的正交变换

关于z轴对称的正交变换

式中：u,v∈{1,2,3}表示T1、T2和T3之间任意两个时段的索引，Tu和Tv可以相同也可以不同；PEi,u表示电动汽车i在分时电价体系下Tu时段的充电需求；PEi(t)为在基本时间间隔t内的充电功率；ρv表示Tv时段内的分时电价价格；和分别表示非分时电价体系下的电动汽车各时段充电需求和电价，其中

在平面情况下，由式可知当x2=y2时，即电荷分布相对对称轴l:x=±y对称时(对称3)Dij=0.

在三维情况下，满足x2=y2=z2时，由D11+D22+D33=0得，Dij=D11=D22=D33=0.

下面分析满足x2=y2=z2的空间对称操作.

当电势场分布对称性分别满足上面对称2且满足对称3或者对称3′时，电四极矩为零Dij=0，即电势的三级近似φ(2)=0.

4　电势场对称性的应用

可以用上面总结的电荷分布的几种对称性，快速判断出电势的多级近似值.

例1球对称分布的电荷系的电势

例2一均匀带电环，电荷量为q，半径为a.环外为真空.试求它在离环心为r(r≥a)处产生的电势.

图3　(例2)

例3[4]长为a的正方形的4个顶点上各有一个点电荷，它们的电荷量依次为q,-q,q和-q，如图4所示，对于r≥a的区域来说，这4个点电荷构成一个平面电四极子.试求这平面电四极子在P点(P点与平面电四极子在同一平面内)产生的电势φ.

图4　(例3)

例4均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a，半短轴为b，带总电荷Q.

可以得到以下基本结论：D33=0，可以推定带电体是球形的；D33>0，可以推定带电体为长旋转椭球形;D33<0，可以推定带电体为扁椭球形； |D33|的值越大，带电体偏离球形越远. 因此，在原子核物理中，电四极矩是重要的物理量，它能够反映原子核偏离球形形变的大小[3].

5　结语

本文研究了有对称性的带电体的电势场与电多极矩的关系，并给出了对称变换的正交矩阵.从带电体电多极矩的展开公式出发，给出了用图像求解的方法来形象直观地说明带电体电势的各级多电荷势的物理意义和叠加形式.这样，可以通过电荷分布的对称性，迅速判断多级展开的各级近似是否为零，并进而得到简化的多级展开式.在论文中给出了在带电体系具备3种对称性时如何快速写出多级势，论文的研究内容对加深电多极矩

展开内容部分的学习理解和具体计算十分有益.

[1]陈义成.电动力学及其计算机辅助教学[M].北京：科学出版社，2007：73-75.

[2]蒋德瀚.电势多极展开的物理图像[J].甘肃高师学报，2004(02):12-15.

[3]郭硕鸿.电动力学[M].北京：高等教育出版社，2008：63-67.

[4]林璇英，张之翔.电动力学题解[M].北京：科学出版社，2007:233-236.

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THERELATIONSHIPBETWEENMULTIPOLEEXPANSIONOFTHEELECTRICPOTENTIALANDTHESYMMETRYOFELECTRICFIELD

ZhangXiaoqiuyanXuYanSongRengangWangXueshui

(DepartmentofAppliedPhysics,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao,Shandong266590)

Onthestudyofthechargedistributioninthesmallregion,weoftenusemultipoleexpansionmethod.Therelationshipbetweenthesymmetryofchargedistributionandtheelectricmultipolemomentisinvestigatedinthispaper.Methodofimageisusedtodescribethephysicalmeaningandsuperpositionformofmultiplechargepotentialinthemultipoleexpansionofelectricpotential.Startingfromtheformulaofelectricmultipolemoment,therelationbetweenthesymmetryofchargedistributionandtheelectricmultipolemomentisanalyzed,andtheorthogonalmatrixforsymmetrytransformispresented.Wecanquicklyjudgewhethertheapproximationsofthemulti-stageexpansionsequaltozerothroughthechargedistributionofsymmetry,andthensimplifythemulti-stageexpansion.Thismethodisveryusefulforlearningandunderstandingofthecontentoftheelectricmultipolemomentexpansion.

multipoleexpansion;electricdipolemoment;electricquadrupolemoment;symmetry

2015-05-24;

2015-09-13

山东科技大学教学研究项目(GJ201304，qx2013129，JG201506)和山东科技大学研究生教育创新项目(KDYC13026)资助课题.

张晓秋艳，女，山东科技大学电子学院应用物理系12级本科生.779090424@qq.com

引文格式: 张晓秋艳，徐岩，宋仁刚，王学水. 电势的多级展开与对称性的关系[J]. 物理与工程，2016，26(3)：78-81，86.