复合函数知识的设计

杨林，赵绚，李国娟运城职业技术学院基础部；运城师范高等专科学校数计系

复合函数知识的设计

杨林1，赵绚2，李国娟1
1运城职业技术学院基础部；2运城师范高等专科学校数计系

摘要：一般高职高专关于高等数学中复合函数知识的讲解，都是先给出定义然后应用，本文对高等数学中复合函数知识进行设计。根据学生学习实际情形，采取一些相应方法、措施，目的是使学生能够很好地理解复合函数的内容，为后面微分学、积分学知识打下坚实的基础。作为高等数学中底层必选、必学的内容-----即常识性的知识教育的必然性，我们从结构决定功能的原理出发，过滤、重构高等数学知识体系.

关键词：底层必选；过滤；重构；启发；创新

引言

结合我院的培养目标及各专业的要求，我们认为数学课程的教学力求以应用为目的，以“基本够用”为度，在方法、方式上，高等数学教学方法与手段改革的两个方向需同时进行。我们在教学过程中，不仅使学生理解所学知识，而且使其了解知识的发现和形成的脉络，更重要的是这些常识来源于解决实际问题之中，掌握这些常识最终回归于解决实际问题，这样以来，就能够加强学生学习高等数学有用性的认识，从而对基本常识知识学习的积极性。本文坚持“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，从目前高职学生的实际基础和实际需要出发，在内容的取舍和阐述方法上做了大胆的探索。在分层、分类、分专业高职数学改革的思想指导下，在知识层面上，采取底层必选(高数必备知识)，中层限选(按专业方向限选)，高层自选(按学生发展方向)方式进行组织教学。主要是满足底层必选的“应用数学”部分，也有可供选择的部分。在分层、分类、分专业高职数学改革的思想指导下，在知识层面上采取底层必选(高数必备知识)，中层限选(按专业方向限选)，高层自选(按学生发展方向)的方式组织教学。

1、问题驱动

[问题驱动]购买婴幼儿服装

到了谷子孕婴专卖店，首先服务员先问家长，孩子多大，身高多少，然后根据实际情况，建议家长买什么服装。

[启发引导][回归问题]

假设孩子的年龄是x岁，身高是h厘米，在根据国家规定，可以得出孩子穿多大范围的服装。

由问题驱动我们可以给出复合函数的定义。

2、复合函数定义

定义已知函数y=f(u)和函数u=g(x)，若u=g(x)的全部或部分函数值在y=f(u)的定义域中，则y能通过u写出x的函数y=f[g(x)]，称为由y=f(u)和u=g(x)复合而成的复合函数。

说明：（1）y=f(u)中u为自变量；u=g(x)中u为函数值；y能通过u写出x的函数y=f[g(x)]中的u为中间变量；

（2）复合函数的定义类似于神秘的盒子，即

u=g(x)，y=f(u)

（3）复合函数可以由两个以上的函数复合而成，即复合函数可以有多个中间变量。

（4）研究复合函数的复合结构非常重要，微积分中要用到.

（5）一般地，我们分析复合函数的复合过程时，应由外层向里层逐一拆成基本初等函数或其代数和的形式。

分析:从x到y的对应中，u,v都是中间变量，利用复合函数的定义求解；

例2、y=sin2x由哪些函数复合而成？

分析：要考虑复合函数的定义域，且利用函数的拆分方法可求解；

解:y=sin2x是由y=u2,u=sinx复合而成的。这个复合函数的定义域为(-∞,+∞)，它也是u=sinx的定义域；

分析：此题就是复合函数，根据从外层向里层逐层进行变量代换，直到成为基本初等函数或其四则运算时结束；

[思考]：y=lnu与u=-x能否复合？

注：由基本初等函数知识可知，这两个函数不能复合；

通过上面例题及复合函数的定义，我们对此定义做如下解释。

解释：（1）、不是任意两个函数都可以复合而成一个复合函数；

（2）、复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构上的特点；

（3）、两个函数复合后函数的定义域可能发生变化；

3、复合函数应用

例4、俄罗斯套盒

分析：大家都知道俄罗斯套盒，就是一个大盒子套一个比它稍小的盒子，稍小的盒子在套一个比他稍小的盒子，以此类推，就形成了套盒；

解：俄罗斯套盒就类似于复合函数，由复合函数的定义可以知道:

[师生互动]两个（或三个、更多的）函数盒能不能套子一起？

分析：这个类似于俄罗斯方块，即复合函数内容，但是都知道复合函数主要考虑的是定义域。

由复合函数的定义求解；解题过程由师生共同完成，由于篇幅有限，这里不做详解。

4、结论

本文从问题驱动引出复合函数定义，在对复合函数的具体复合过程给以具体讲解，可以得出对于高等数学知识体系来说，过滤、重构知识很重要,文章采取启发引导、发现知识、归纳知识、揭示知识形式的奥秘，不断重塑学生的自信心和培养学生的创新思想。这样可以让教师讲解轻松，学生学习容易，达到教学培养目标。并使学生学会用所学知识解决实际问题，使他们摆脱数学难学、厌学的思维罐式。

参考文献：

[1]张春杰.高职高等数学分层教学探究[J].吉林师范大学学报（自然科学版）.2006.（2）

[2]杨林，赵绚.积分学中原函数问题的课堂探讨[J].科学中国人2014.10（下）

[3]王马英，樊娟华，杨林.应用高等数学（文）[M].大连理工大学出版社，2014

[4]王马英，樊娟华，杨林.应用高等数学（工）[M].大连理工大学出版社，2014

基金项目：2012年山西省高等学校教学改革项目（高职）重点项目JG2012059。

作者简介：杨林，男，山西运城芮城；研究生，助理讲师。