飞行器纵向非线性动力学建模对稳定性的影响

叶柳青, 叶正寅

(西北工业大学 翼型叶栅空气动力学国家重点实验室, 陕西 西安 710072)



飞行器纵向非线性动力学建模对稳定性的影响

叶柳青, 叶正寅

(西北工业大学 翼型叶栅空气动力学国家重点实验室, 陕西 西安 710072)

飞行器的稳定性分析与建立的动力学分析模型密切相关。传统的稳定性分析方法是基于小扰动假设建立线性化模型，当飞行状态中非线性特征明显时,其结果误差会带来多大的影响是人们关心的问题。通过建立飞行动力学非线性模型和气动力非线性模型,采用时间推进方法对两类非线性问题进行了比较系统的研究。数值计算结果表明,飞行动力学非线性模型与线性模型相比,周期增大、幅值减小、衰减率增大;而非线性气动力模型对周期几乎没有影响,但对幅值有一定的影响。

非线性方程; 非线性气动力; 飞行动力学; 稳定性

0　引言

动力学模型中一类重要的非线性问题是气动力非线性。气动力非线性主要由气体粘性产生,如激波与附面层相互作用、流动分离、不稳定涡流等均会引起气动力非线性[1]。高超声速飞行器通常是钝头前缘,并伴随大迎角飞行,气动力非线性现象严重,即使在小迎角下飞行,气动力也是非线性的[2];另外,小展弦比机翼的翼尖涡会提供明显的非线性升力,升力系数曲线斜率会增大,当展弦比较大时,斜率会随着迎角减小[3];亚声速联翼布局的飞机在一定的迎角下,前翼绕流发生分离,影响后翼绕流流场,引起后翼气动效率降低,导致全机俯仰力矩随迎角发生非线性上仰[4]。因此,研究动力学模型中气动力非线性对飞行器的稳定性影响很有必要。

除此之外,高超声速飞行器的高度非线性、参数时变及通道间强耦合、飞行环境变化剧烈等特点使得自身稳定性较差[5]。根据传统线化方法对高超声速飞行器进行稳定性分析得到的动力学特性与真实值存在偏差。另一方面,飞行器在空中飞行时出现动不稳定,但是地面静、动态风洞实验测量(及数值模拟)结果是动稳定的[6]。因此,想要提高高超声速飞行器的稳定性以及探索天地不一致的影响因素,建立非线性动力学模型来研究飞行器纵向稳定性,并研究动力学模型中的非线性对飞行器稳定性的影响是很有意义的。

在稳定性分析中,大多数文献将六自由度直接简化为单自由度或双自由度进行研究,或是只有定性分析并没有定量结果,或在应用非线性动力学模型对飞行器稳定性分析方面的研究并不全面。本文在此动机下,针对方程的此类线化处理对飞行器纵向稳定性的影响程度以及气动力局部线化表示的影响程度试图进行定量分析。首先推出了基于刚体假设的六自由度非线性动力学方程,依次分别对气动力和方程进行线化,构造非线性气动力模型,并将对应的非线性动力学模型进行数值仿真。将结果与小扰动线化稳定性分析结果进行对比,得到非线性动力学模型对飞行器稳定性的影响,对飞行器总体设计及稳定性分析具有一定的参考价值。

1　飞行器纵向运动模型

将飞行器视为质量固定不变的刚体,忽略地球曲率和自转的影响。选定飞行器的状态变量为:V,γ,q,α及θ,并且将方程的纵向和横向解耦,运用牛顿运动定律导出飞行器纵向非线性动力学方程组为:

(1)

相关气动力和力矩的计算参见文献[7]。

2　飞行器纵向稳定性分析方法

上节导出的方程组是变系数、非线性的,一般无法求得解析解,只能数值求解。因此,传统的稳定性分析方法一般是基于小扰动假设将方程进行线性化处理。

2.1方程的线化与气动力的线性表征

方程的线化:将非线性动力学方程在基准点处泰勒展开,略去二阶及二阶以上的高阶量。

气动力线性表征为:

ΔT=TVΔV+THΔH+TδPΔδP

(2)

ΔD=DVΔV+DHΔH+DαΔα+DδeΔδe

(3)

ΔL=LVΔV+LHΔH+LαΔα+LδeΔδe+

(4)

MqΔq+MδeΔδe

(5)

式中:令操纵量Δδp=0,Δδe=0来讨论飞行器纵向自由扰动运动的稳定性。不计扰动运动中高度变化引起的外力和力矩的影响。

2.2本文研究策略

(1)讨论非线性气动力对稳定性的影响

①在方程和气动力都进行线化后的线性模型中,分别减小升力线斜率CLα,增大俯仰力矩线斜率Cmα,将得到的结果与之前得到的结果进行对比;

②方程线化,气动力采用构造的非线性模型表示,将此非线性模型的求解结果与线性化模型的求解结果进行对比;

③方程非线性,即直接采用式(1),并且气动力也采用构造的非线性模型,求解此非线性模型并将求解结果与线性模型的求解结果进行对比。

(2)讨论非线性方程对稳定性的影响

将气动力进行线化,方程非线性,求解此非线性模型并将求解结果与线性模型的求解结果进行对比。

3　仿真结果及分析

3.1非线性气动力对稳定性的影响

3.1.1气动导数CLα和Cmα对稳定性的影响

对于非线性气动力条件下的飞行动态特性分析,目前仍然采用的是线化的处理方式,为了适应对于非线性气动力问题分析的需要,只是用非线性状态下的气动导数来替代线性状态下的气动导数。因此,气动导数的选取对于稳定性的分析很重要。本节的研究思路是基于线性模型,分析气动导数的变化对飞行器纵向稳定性的影响。

由于想要找到数据较为全面的有关高超声速飞行器的算例比较困难,因此本文以某低马赫数的运输机为算例。采用文献[7]提供的某型通用航空飞机的飞行参数,对采用线性模型求得的解析解进行分析，并采用Matlab软件进行数值仿真验证。数值仿真的初始瞬时给定扰动Δα=1°,时间间隔为0.01 s。

解析解计算结果显示:CLα从4.44减小到0.24,一直得到两对共轭复根,说明周期性振荡衰减运动的性态没有改变;随着CLα的减小,短周期和长周期的特征根实部绝对值呈线性减小,对应的半衰期增大,表明收敛速度随着CLα减小而变慢。表1针对最大与最小的CLα得到的特征根和模态运动参数进行了对比。从表1中可看出,短周期和长周期的半衰期分别增大了61.31%和7.55%,可见CLα的变化对短周期的影响较大,但绝对改变量都在数秒量级,表明CLα的减小对收敛速度的影响很小。

表1　响应模态结果对比Table1　Comparisonofresponsemodes

图1为在不同CLα下速度的时间响应曲线。在本文所有的数值仿真中,Δα,Δq，Δθ和ΔV的定性变化规律相同,只是改变量有所差异,所以大多数只给出速度的时间响应曲线。从图1中可见,随着CLα的减小,收敛速度变化不大,并且振荡周期会变小,振荡幅值会增大，这与解析解结果一致。

图1　不同CLα条件下的速度对比Fig.1　Comparison of velocities on different CLα

图2和图3为特征根分布情况。从图2和图3中可见,Cmα从-0.683增大到0.140时,长周期和短周期的复数特征根都向实轴靠拢,短周期首先蜕化为实根。短周期和长周期在蜕变为实根前,实部变化很平缓,说明收敛速度几乎不变。复根蜕化为实根后,分别向正、负实轴发展,随着Cmα的增大,长周期也蜕化为实根并首先出现正实根,运动发散。

图2　短周期特征根分布Fig.2　Characteristic root distribution of short-period

图3　长周期特征根分布Fig.3　Characteristic root distribution of long-period

图4为不同Cmα条件下的速度对比曲线。由图4可见,Cmα在开始变化时,收敛速度基本不变,这与解析解分析一致。随着Cmα的增大,振荡周期增大,振荡幅值减小,但各个飞行参数增大的量值又不尽相同。当Cmα增大56%时,ΔV,Δα,Δq和Δθ分别减小了30%,64%,45%和39%。

图4　不同Cmα条件下的速度对比Fig.4　Comparison of velocities on different Cmα

3.1.2基于线性方程气动力非线性的影响

当气动力的非线性特征明显时,必须建立非线性气动力模型。考虑升力系数与俯仰力矩系数随迎角的二次方非线性变化,构造了相应的非线性升力与非线性俯仰力矩模型,如式(6)～式(8)所示。

式(6)为针对CLα随α不断增大而增大构造的非线性升力数学模型。

(6)

式中:ε为非线性升力在全部升力中所占的比重,ε越大,非线性升力所占比重越大。ε分别取0,2,4,其中两种特殊情况为ε=0和ε=4,分别表示升力完全用线性表示和非线性升力部分接近线性升力。下文中的ε含义相同,只是数值不同。

图5给出了各个飞行参数在非线性升力条件下的时间响应曲线。

图5　仿真结果(针对式(6))Fig.5　Simulation results(for formula(6))

从图中可以看出,ΔV,Δα,Δq和Δθ的定性变化规律相同;非线性升力对周期几乎没有影响,而对幅值有一定的影响;随着非线性升力的增大,幅值增大;当非线性量接近线性量时,ΔV,Δα,Δq和Δθ分别增大了约63.3%,64.4%,61.9%和63.0%。

式(7)为针对CLα随α的增大而减小构造的非线性升力数学模型。

(7)

图6为式(7)对应的数值仿真结果。从图中可以看出,非线性升力对周期几乎没有影响,而对幅值有一定的影响。ε增大,周期不变,幅值减小。当非线性量接近线性量时,ΔV,Δα,Δq和Δθ分别减小了29.3%,29.3%,28.9%和29.2%。

图6　仿真结果(针对式(7))Fig.6　Simulation results(for formula(7))

式(8)为针对Cmα随α的增大而增大构造的数学模型。

(8)

图7为式(8)对应的数值仿真结果。由图7可见,非线性俯仰力矩对周期也几乎没有影响,而对幅值有一定的影响。随着非线性俯仰力矩的增大,幅值减小。当非线性量接近线性量时,ΔV,Δα,Δq和Δθ分别减小了50.8%,50.4%,50.7%和50.8%。

图7　仿真结果(针对式(8))Fig.7　Simulation results(for formula(8))

3.1.3基于非线性方程气动力非线性的影响

在非线性方程中,非线性气动力不能再用增量表示,而应该采用状态量。构造非线性气动力模型如式(9)～式(11)所示。初始条件和时间间隔的设定值不变,直接对式(1)中的纵向非线性方程进行时间推进求解。

式(9)为针对CLα随α的增大而不断增大构造的非线性升力数学模型。

(9)

图8为式(9)对应的数值仿真结果。从图8中可以看出,在考虑非线性方程的基础上,非线性升力对周期几乎没有影响,而对幅值有一定的影响。随着非线性升力的增加,幅值增大。当非线性量接近线性量时,ΔV,Δα,Δq和Δθ分别增大了约8.26%,7.77%,8.10%和7.98%。

图8　仿真结果(针对式(9))Fig.8　Simulation results(for formula (9))

式(10)为针对CLα随α的增大而不断减小构造的非线性升力数学模型。

(10)

图9为式(10)对应的数值仿真结果。从图9中可以看出,非线性升力对周期几乎没有影响,而对幅值有一定的影响。随着非线性升力的增大,幅值减小。当非线性量接近线性量时,ΔV,Δα,Δq和Δθ分别减小了约9.64%,9.10%,9.77%和9.51%。

图9　仿真结果(针对式(10))Fig.9　Simulation results(for formula(10))

式(11)为针对Cmα随α增大而不断增大构造的非线性俯仰力矩。

(11)

图10为式(11) 对应的数值仿真结果。从图10中可以看出,非线性俯仰力矩对周期几乎没有影响,而对幅值有一定的影响。随着非线性俯仰力矩的增大,幅值增大。当非线性量接近线性量时,ΔV,Δα,Δq和Δθ分别增大了9.57%,7.77%,9.54%和9.19%。

图10　仿真结果(针对式(11))Fig.10　Simulation results(for formula(11))

从仿真结果可以看出,在非线性方程中考虑非线性气动力的影响比在线性方程中考虑非线性气动力的影响要小。

3.2方程非线性的影响

对文献[8]中的一架FAR23运输机进行稳定性分析,通过时间推进的数值方法对式(1)中的非线性方程进行求解并且只考虑纵向,气动力模型采用线化数学模型,得到各个运动参数的时间历程曲线,将其与小扰动线化理论得到的线性结果进行对比,如图11所示。图中,u,v分别为飞行器在机体轴系中沿Oxb,Ozb方向的速度分量。

图11　仿真结果的比较Fig.11　Comparison of simulation results

由图11可见,考虑方程非线性的非线性动力学模型的稳定性与基于线性扰动运动模型的稳定性分析结果存在差异,具体表现为周期增大、幅值减小、衰减率增大。

4　结束语

本文系统地研究了飞行动力学非线性方程和非线性气动力对飞行器纵向稳定性的影响,得到以下结论:

(1)方程的非线性引起幅值减小、周期增大、衰减率增大;

(2)CLα减小引起收敛速度变慢、振荡周期变小、振荡幅值增大;Cmα增大引起振荡周期增大、振荡幅值变小;

(3)气动力的非线性对振荡周期几乎没有影响，对幅值有影响,并且非线性气动力在线性飞行动力学方程中的影响比在非线性方程中大。

从仿真结果来看,动力学模型中的非线性对飞行器稳定性影响较小,这与本文采用的算例以及简化过程有很大的关系。对于非线性特征非常明显而且耦合严重的高超声速飞行器来说,即使小量的非线性也会对稳定性结果有较大影响。下一阶段的工作将把这一研究思路与方法用于具体的高超声速飞行器,并且考虑相互耦合的情况,具体研究非线性动力学模型对高超声速飞行器稳定性的影响。

[1]陈予恕,郭虎伦,钟顺.高超声速飞行器若干问题研究进展[J].飞航导弹,2009(8):26-33.

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(编辑：姚妙慧)

Influence of longitudinal nonlinear dynamic model on stability of vehicle

YE Liu-qing, YE Zheng-yin

(National Key Laboratory of Aerodynamic Design and Research, NWPU, Xi’an 710072, China)

Stability analysis of aircraft is closely related to the dynamics analysis model, the traditional stability analysis method is to establish a linear model based on small disturbance assumption. When the nonlinear characteristics are very obvious in a flight state, people often care about how much effects the errors between the calculated value and the true value will bring. On the basis of establishing nonlinear flight dynamics model and nonlinear aerodynamic model, this paper uses the time marching method to study two nonlinear problems systematically. The results show that the cycle increases, the amplitude decreases and the attenuation increases when the model of nonlinear flight dynamics equation is compared with linear model. The results also show that the nonlinear aerodynamic force has no effect on the cycle,but a certain influence on amplitude.

nonlinear equation; nonlinear aerodynamic force; flight dynamics; stability

2015-11-17;

2016-04-28; 网络出版时间:2016-04-29 08:32

叶柳青(1993-)，女，湖北黄冈人，硕士研究生，研究方向为飞行力学。

V212.12

A

1002-0853(2016)04-0019-05