对称约化对完整系统数值积分的影响

刘世兴　邢　燕　刘　畅　郭永新

1. 辽宁大学物理学院， 沈阳 110036； 2. 辽东学院机械电子工程学院， 丹东 118001；† 通信作者， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn



对称约化对完整系统数值积分的影响

刘世兴1邢燕1刘畅1郭永新2，†

1. 辽宁大学物理学院， 沈阳 110036； 2. 辽东学院机械电子工程学院， 丹东 118001；† 通信作者， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

研究对称约化对完整系统数值积分的影响。通过数值实验发现， 对称约化对完整系统的数值积分结果没有本质的影响， 但是在约化后的系统下进行数值积分可以有效地减少程序编写的难度和计算时间。对于复杂的动力学系统， 可以先对其进行对称约化， 以获得较少自由度的动力学系统， 然后在约化系统下进行数值计算， 间接地研究原系统的动力学性质。

完整系统； 对称约化； 数值积分

北京大学学报（自然科学版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）doi: 10.13209/j.0479-8023.2016.077

自20世纪末期， 对称约化理论提出以来， 一直是几何动力学领域的热门课题之一， 并广泛应用于力学、物理学和工程科学等多个领域， 如固体力学、流体力学、场论、量子力学和广义相对论等［1］。对称约化的主要目的是利用系统的对称性消除动力学系统的部分局部坐标变量， 从而简化实际的动力学系统。对称约化的思想最早源于 Routh［2］于 1884 年利用循环坐标对系统进行化简， 这种化简理论对应于现代的 Lagrange 约化理论。现代约化理论始于 20 世纪六七十年代 Arnold［3-4］和Smale［5］的重要工作， Arnold开展了Lie群约化方法，Smale 引入动量映射概念。Marsden 等［6］在前人工作的基础上， 利用等变动量映射开展辛流形上的约化理论， 使现代约化理论走向成熟， 并得到广泛应用［7-8］。目前， 完整约束力学系统的几何动力学约化理论已经非常成熟， 大体上包括: 辛约化［9］、Poission 约化［1］和 Lagrange 约化［1，10］。对称性约化理论在研究约束系统几何动力学及应用以及约束系统的保结构算法中发挥着非常重要的作用， 为研究约束系统几何数值积分的几何不变性质提供了新的途径。但是， 在现有的少量研究工作中， 对称约化理论在约束力学系统几何数值积分的研究中， 还没有发挥其应有的作用。较复杂的动力学系统经过对称约化得到一个简单的新的动力学系统， 系统方程的性质发生了变化， 变量所代表的物理含义有时也发生改变， 那么约化系统与原系统的内部联系， 特别是一些重要的性质是否能够很好地得以保留， 对原系统和约化后的系统分别做数值积分， 对称约化对数值积分的结果是否会受到影响？ 本文就这一问题展开探讨， 通过数值实验验证对称约化对数值积分的影响。首先， 简要介绍完整约束系统的辛约化理论； 然后， 简要介绍完整约束系统的数值积分方法， 并应用数值积分方法计算约化前和约化后系统的动力学方程， 比较约化前后动力学变量的数值结果； 最后得出结论。

1　完整约束系统的辛约化

完整约束力学系统总可以表示为 Hamilton 形式。定义 Hamilton 系统为这里是辛流形， Ω是辛 2-次型， H是定义在流形M上的Hamilton函数。系统的运动微分方程可以表示成如下形式:

这里#dH表示 Hamilton 矢量场。辛流形在 Lie 群G的作用下， 可以表示为或者，对任意的gG∈和xM∈， 映射φ可以局域的表示为

如果对于任意一个gG∈， Lie群G在辛流形（，）MΩ上的作用φ满足如下等式:

则该作用gφ是辛的。

定义（辛约化）辛流形（，）MΩ的辛约化是M的子流形（或侵入子流形）N到辛流形的侵没满射: :πNP→， 满足如下方程:

辛约化满足 Marseden-Weinstein-Meyer 辛约化定理［2，6］。取点，xMμ*∈∈G是辛流形M和 Lie 代数上*

G的点， 其在对称性Lie群G作用φ下的轨迹分别为Gx·和μO， 它们对应的迷向群分别为xG和Gμ， 对应的 Lie 代数分别为xG和μG， 则可以得到如下的辛约化定理。

定理设Lie群G作用在辛流形（，）MΩ上， 并且该作用有一个等变动量映射

如果存在正则值

且存在伴随余迷向子群

则Gμ自由而正常的作用于

上； 如果存在内映射

和正则投影映射

则一定存在具有辛结构ˆμΩ的商流形

满足

并且存在一个侵入映射φ使得

是/MG的一个子流形。这里/MG由自然投影映射

确定。定理证明参见文献［2，6］。

2　完整约束系统的辛几何算法

完整约束系统总可以表示为 Hamilton 正则方程（1）的形式， 如取 Hamilton 函数H为2n个变量（p1， …， pn； q1， …， qn）的可微函数， 并令

则方程（1）可以表示成如下坐标形式:

这里τ是时间步长， 还可以在此基础上构造具有更高精度的差分格式， 如4阶辛差分格式［12］。

3　数值算例和结论

众所周知， 平面 Kepler 问题是典型的二体问题， 且满足机械能守恒和角动量守恒。令为该二体问题的广义坐标， 并取

则可以得到系统的Hamilton函数:

从而得到系统的Hamilton方程:

这里， 1/，ur=r 和θ是对应的极坐标系下的坐标，且满足

在Lie群变化下， 方程（8）可以约化为一维谐振子的运动方程:

是系统的角动量，

这里，

是原二体系统的机械能。从而得到方程（9）对应的Hamilton方程:

取如下初始条件:

从而系统的总能量

总角动量我们采用上面的辛差分格式（式（6））， 并取步长h=0.001， 分别计算方程（8）和（11）， 并比较数值结果。图1给出系统的总能量和能量误差， 图2给出系统的总动量和动量误差。

从图 1和 2 可以看出， 虽然在原体系框架下计算得到的总能量没有在约化后的体系中得到的结果好， 但是总动量的数值结果却优于约化体系中的数值结果。因此， 在约化前体系下和约化后体系下的数值结果并没有本质上的区别。并且， 我们求得的系统的总能量和总动量都在数值计算的误差允许范围内， 数值结果都很好地保持了原有系统的守恒量。区别在于， 我们在约化后的体系下进行数值研究， 由于体系的自由度减少， 从而减少了编程计算的难度， 同时也减少计算机机时。因此， 对于完整系统， 无论是在原体系框架下， 还是在约化后的系统中， 都可以得到满意的数值结果， 但在约化体系下， 可以获得简洁的计算机程序， 并减少计算机工作时间。这对于复杂的完整动力学系统来说， 对动力学系统进行对称约化， 以减少动力学系统的自由度数， 可以有效地进行数值计算， 从而在约化系统下间接地研究原系统的动力学性质。

［1］ Marsden JJ E， Ratiu T SS. Introductionn to mechanicss and symmmetry. 2nd ediition. New Yoork: Springer--Verlag， 19999

［2］ Routh EJ. AdvancedRigid Dynammics. London:: MacMilliann， 1884

［3］ Arnold VI. Mathematical methodss of classicall mechanics. New York: Sppringer-Verlag，1978

［4］ Arnold V II. Dyanmical ssystems Ⅲ. Berlin: Springer--Verlag， 19888

［5］ Smale S. TTopology andmechanics. In v Math， 1970，11: 45-64

［6］ Marsdden J E， Weinsstein A. Reducction of symplectic manifoolds with symmetry. Rep Math Phys， 19744， 5: 121-130

［7］ KoonW S， Marsdden J E. Opptimal controlfor holonomic and nonnholonomic mmechanical systems with ssymmetry andLagrangian rreduction. SIAAM J Controol and Optim， 11997， 35: 901-929

［8］ Weinstein A. A univversal phase space for particlees in Yang-MMills fields. Lett Math Phys，1978， 2: 417-4420

［9］ Libermmann P， MarleC M. Symplectic geometricc and analytical mechanicss. Dordrecht: DD Reidel Publisshing Company，1987

［10］ Holm D DD， Marsden J EE， Ratiu T S.Euler-Poincaré models ofideal fluids wiith nonlinear diispersion. Physs Rev Lett， 11998， 349: 41733-4177

［11］ 冯康， 秦孟兆. 哈密尔顿系统的辛几何算法. 杭州::浙江科学技术出版社， 20003

［12］ Hairer E， LLubich C， Wannner G. Geometric numerical integrationn: structure-preserving algorithms for ordinary differrential equatioons. Berlin: Sppringer-Verlag，2002

The Affection of Symmetry Reduction to the Numerical Integration for Holonomic System

LIU Shixing1， XING Yan1， LIU Chang1， GUO Yongxin2，†

1. College of Physics， Liaoning Universtiy， Shenyang 110036； 2. School of Mechatronics Engineering， Eastern Liaoning University，Dandong 118001； † Corresponding author， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

This paper researches the effection of symmetry reduction to the numerical integration for holonomic system. Through numerical experiment， there is not essential effection for numerical integrator when system is reduced to lower dimension. But under the reduced system， it can effectively decrease the difficulty of writing program and the time of computation. So for the complicated dynamical system， it should be firstly reduced by symmetry methods and obtain the dynamical system with less degree of freedom， then the dynamical nature of system can be researched under the reduced system.

holonomic system； symmetry reduction； numerical integration

O316

国家自然科学基金（11472124， 11572145， 11301350）和辽宁省博士启动基金（20141050）资助

2015-10-09；

2016-03-01； 网络出版日期: 2016-07-12