Lagrange方程应用于连续介质力学

冯晓九　梁立孚

1. 常州大学环境与安全工程学院， 常州213164； 2. 哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院， 哈尔滨 150001；† 通信作者， E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn



Lagrange方程应用于连续介质力学

冯晓九1梁立孚2，†

1. 常州大学环境与安全工程学院， 常州213164； 2. 哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院， 哈尔滨 150001；† 通信作者， E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn

如何将Lagrange方程应用于连续介质力学， 一直是学术界关注的理论课题。应用变导的概念和运算法则， 研究Lagrange方程中的求导的性质， 进而将Lagrange方程应用于线性弹性动力学和非线性弹性动力学， 并且给出相应的算例。结果表明， 借鉴变积分学来解决将Lagrange方程应用于连续介质力学的问题是可行的。

连续介质力学； Lagrange方程； 变导； 线性弹性动力学； 非线性弹性动力学

北京大学学报（自然科学版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

1755年Lagrange的著作《Mecanique Analytique》（分析力学）问世［1］（1788 年首次正式出版）， 力学发展史上出现了与牛顿的矢量力学并驾齐驱的一个力学体系。Lagrange 力学体系的特点是用对能量和功的分析代替对力和力矩的分析。1834 年 Hamilton［2-3］建立了Hamilton原理和正则方程， 进一步发展了分析力学， 从而形成Lagrange体系和Hamilton体系。

如何将经典分析动力学应用于连续介质力学，一直是各国学者关注的研究课题。

我国 1958 年出版的第一部分析力学专著《分析动力学》［4］， 注意到将分析力学从质点刚体力学扩展到连续介质力学、从离散系统扩展到连续系统的问题。2015年影印的《Classical Mechanics》［5］仍然研究连续体分析动力学。一些学者成功地将Lagrange方程应用于机构动力学分析［6-9］、振动系统［10］、防护工程［11］、电器系统和机电系统［12］等领域， 也有学者研究如何将Lagrange方程应用于非惯性系统［13-15］， 以及弹性力学的 Lagrange 形式、弹性介质的 Lagrange 动力学和精确 Cosserat 弹性杆动力学的分析力学方法［16-18］。另有一些学者研究完整系统三阶 Lagrange 方程、状态空间 Lagrange函数和运动方程［19-20］以及关于 Birkhoff 方程和Lagrange方程分析力学问题［21］。

在一定的意义上， Lagrange 方程和 Hamilton原理都涉及变分学， 而Lagrange 作为变分学的奠基人之一， 研究的就是基于变分学的基本理论，所以借鉴变分学或许是一条可行的途径。Liang等［22］提出变分的逆运算变积概念， 建立变积方法，然后应用变积方法， 建立一般力学三类变量的广义变分原理［23］。刘高联先生充分肯定了变积方法的首创性［24］。以上研究使微积分学中的积分、微分和导数在变分学中有了对应的概念——变积、变分和变导， 初步地将变分学扩充为变积分学。

本文基于陈滨［25］关于 Lagrange 力学完整的叙述， 应用变导的概念和运算法则， 研究 Lagrange 方程中求导的性质， 逐步将Lagrange方程应用于线性弹性动力学， 进而应用于非线性弹性动力学， 并且给出相关的算例， 对理论研究进行验证。

1　Lagrange方程中的导数的性质

首先， 明确变导的概念。设有定积分形式的泛函为

边界条件为

其中， （）yx为自变函数， x为自变量。对式（1）进行变分运算可得

应用分部积分:

将式（4）代入式（3）， 考虑到边界条件（式（2））， 整理得

由于δy的任意性， 式（5）可以变换为

在微分学中， 函数的微分表示为dy， 自变量的微分表示为dx， 微商表示为又称导数。在变分学中， 泛函的变分表示为δV， 自变函数的变分表示为δy， 变商表示为， 又称变导。

经典分析动力学中的Lagrange方程表示为

其中， （）tq=q为广义坐标， 一般分析动力学中均将其处理为广义坐标列阵:

在变分学中， 基本上存在三级变量——自变量、可变函数和泛函。简单函数和泛函的区别在于， 简单函数是自变量的函数， 而泛函是可变函数的函数， 独立自主地变化的可变函数称为自变函数。从不独立的可变函数也是自变函数的函数的角度看问题， 不独立的可变函数也是泛函， 可称其为子泛函。明确变分学中的三级变量， 对区分微积分中的导数和变积分学中的变导很有帮助。对自变量求导为微积分中的导数， 对可变函数的求导则为变积分中的变导。

Lagrange 已经注意到微分符号用d而变分符号用δ， 而且应用了符号， 所以变导的概念已经隐含在其著作中。例如， 在文献［1］中， Lagrange 方程表示为

变积分学中变导与微积分学中导数的运算法则， 有时相同， 有时不同， 在后面研究具体问题时可以明显地表现出来。

2　Lagrange方程应用于线性弹性动力学

2.1一类变量Lagrange方程应用于线性弹性动力学

线性弹性动力学的动能表示为

线性弹性动力学的势能表示为

其中， a为刚度系数张量， u为位移矢量， f为体力矢量， T为面力矢量， n为外法向矢量， ▽为Hamilton算子， ρ为质量密度， Sσ为力学边界面， Su为位移边界面， V为空间体积域。为弹性体的应变能； U2=为外力势能。

位移边界条件为Lagrange方程表示为

推导计算Lagrange方程中的各项:

势能变导项的推导比较复杂:

由于

应用Green定理:

将式（19）和（20）代入式（18）， 则得

将相关各式代入Lagrange方程， 可得

去掉积分号， 可得弹性动力学方程:

先决条件为式（13）。

2.2两类变量Lagrange方程应用于线性弹性动力学

两类变量 Lagrange方程表示为

弹性动力学的动能表示为

弹性动力学的势能表示为

其中， ε 为应变张量， v 为速度适量，1U=为弹性体的应变能，2U=为外力势能。先决条件为

推导计算Lagrange方程中的各项:

势能变导项的推导比较复杂:

考虑到

利用刚度系数张量的对称性， 则有

应用Green定理， 并考虑到式（36）， 可得

将式（38）代入式（37）， 则得

将相关各式代入Lagrange方程， 可得

去掉积分号， 可得弹性动力学方程:

先决条件为式（28）， （29）和（30）。

2.3算例

弹性平板是工程结构中的重要构件， 亦可以单独组成一个工程结构。将 Lagrange 方程应用于弹性平板的动力学比较有代表性。这里讨论线性弹性平板的动力学问题。

弹性平板的动能表示为

弹性平板的势能包括两部分。第一部分为板的应变能:

第二部分为横向分布载荷的势能:

总势能为

设为四边简支矩形板， 位移边界条件为

力学边界条件为

其中， w 为板的挠度， D 为板的抗弯刚度， h 为板的厚度， μ

为泊松比， ρ为质量密度， q 为分布载荷。

Lagrange方程表示为

推导计算Lagrange方程中的各项:

势能的变导项的推导比较复杂:

由于

应用Green定理:

将式（54）～（59）代入式（53）， 考虑到式（47）和（48）， 则

将相关各式代入Lagrange方程， 可得

去掉积分号， 可得弹性动力学方程：

位移边界条件为式（47）， 力学边界条件为式（48）， 都是强制边界条件。当然， 也可以将力学边界条件处理为自然边界条件， 这需要通过变导运算获得。

3　Lagrange方程应用于非线性弹性动力学

3.1一类变量Lagrange方程应用于非线性弹性动力学非线性弹性动力学的动能表示为

非线性弹性动力学的势能表示为

位移边界条件为

Lagrange方程表示为

推导计算Lagrange方程中的各项:

势能变导项的推导比较复杂:

由于

应用Green定理， 并考虑到式（65）， 可得

将式（71）和（72）代入式（70）， 则得

将相关各式代入Lagrange方程， 可得

去掉积分号， 可得弹性动力学方程:

先决条件为式（65）。

3.2两类变量Lagrange方程应用于非线性弹性动力学

非线性弹性动力学的动能表示为

非线性弹性动力学的势能表示为

其中， E为Green应变张量， u为位移矢量， f为体力矢量， T为面力矢量， v为速度矢量， ρ为质量密度， （）AE为应变能函数， n为法向矢量， ▽为Hamilton算子， Sσ为力的边界， Su为位移边界， V为空间体积域。

Lagrange方程表示为

推导计算Lagrange方程中的各项:

势能变导项的推导较为复杂:

考虑到

则有

应用Green定理， 并且考虑到

可得

将式（88）和（90）代入式（86）， 则得

将相关各式代入Lagrange方程， 可得

去掉积分号， 可得弹性动力学方程:

3.3算例

非线性弹性直梁也是工程结构中的重要构件，亦可以单独组成一个工程结构。将 Lagrange 方程应用于非线性弹性直梁的动力学问题， 也具有一定的代表性。这里讨论非线性弹性Bernoulli直梁的动力学问题。

非线性弹性直梁的动能表示为非线性弹性直梁的势能包括三部分。第一部分为梁的应变能:

第二部分是轴向拉力的势能， 包括拉伸应变能和拉弯耦合势能:

第三部分为横向分布载荷的势能:

总势能为

其中， w为梁的挠度， u为梁的轴向变形， E为梁的弹性模量， A为梁的横截面积， I为梁的抗弯截面系数，ρ 为质量密度， q 为分布载荷。

设为悬臂梁， 位移边界条件为

Lagrange方程表示为

推导计算Lagrange方程中的各项:

势能的变导项的推导比较复杂:

式（108）和（109）可以进一步表示为

应用Green定理:

将式（112）～（116）代入式（110）和（111）， 根据边界条件（式（101））， 并且考虑到在lx=处取定值， 可得

将相关各式代入Lagrange方程， 可得

去掉积分号， 可得弹性直梁的动力学方程和自然边界条件:

式（121）和（122）是域中的控制方程， 式（123）～（125）是力的边界条件。

［1］ Lagrange J L. Mécanique analytique. Paris: Ve Courcier， 1811

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Lagrange Equation Applied to Continuum Mechanics

FENG Xiaojiu1， LIANG Lifu2，†
1. School of Environmental and Safety Engineering， Changzhou University， Changzhou 213164； 2. College of Aerospace and Civil Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001； † Corresponding author， E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn

How to apply the Lagrange equation to the continuous medium mechanics has been a theoretical issue of academic circles. Using variational derivative concepts and operational rules， the properties of variational derivative in Lagrange equation are studied. The Lagrange equation is applied to linear elastic dynamics and nonlinear elastic dynamics， and some corresponding numerical examples are given. The result shows that it is a feasible way to solve the problem of the application of Lagrange equation to the mechanics of continuous media by using the variational integral calculus.

continuum mechanics； Lagrange equation； variational derivative； linear elastic dynamics； nonlinear elastic dynamics

O313

10.13209/j.0479-8023.2016.076

国家自然科学基金（10272034）资助

2015-10-23；

2016-04-02； 网络出版日期: 2016-07-14