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初中数学课堂反例的应用

2016-08-26方小龙

中学课程辅导·教学研究 2015年24期
关键词:反例推理作用

方小龙

摘要:在初中阶段,逻缉推理能力是学生学习数学时非常重要的一种能力。所以,我们在要求学生写证明题时必须做到每一步都要有理由,但是有时候在证明一些命题时,我们没有办法找到证明的理由,特别是在说明一个命题是否正确时,就需要我们在课堂上找到反例来帮助说明。反例就是解决这个特殊问题的,其实反例就是我们课堂所举的那些只能满足题目的条件,但不能满足题目结论的例子。(即命题条件与其命题的结论相互矛盾的例子)。当我们要证明某个命题正确时,就要说明当满足它的条件时,它的结论都是正确的。而我们要说某个结论不对,只要找一个结论不正确,可是却满足命题条件的例子。像这样的例子就叫做反例。

关键词:反例;推理;满足;作用

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2015)12-0088

数学中的反例就是一个例子,它的作用就是拿来说明某个结论是错误的。它只能满足命题的条件,却不能满足命题的结论。这样的例子叫做反例。比如说,有这样的一个命题:我们班所有的同学都喜欢上数学课。那么我们应该怎样说明这句话是错误的呢?怎样去寻找说明这句话是错误的反例呢?我们只需要找一个班上的同学,但他又不喜欢上数学课的同学。也就是“一个不爱上数学课的班上同学”成为这个命题的反例,在学生进行数学几何证明过程中,举反例的方法和证明的方法都是我们平时常用的两种方法,举反例是我们正面无法证明时很好的一种补充方法。证明就是用一句正确的话,去推出另一句话也是正确的。但是,反例是用一句正确的话,去说明另一句话是错误的。事物和事物之间的联系都能用这两种方法来推理。美国数学家盖尔鲍姆说过,不断提出证明和举出反例的过程就是学习数学的过程,它决定了数学发展的两个主要方向。

在数学课堂上要想让学生学得好,除了正面的证明,也要使用举反例的方法帮助学生从另一个方面进行正确理解。它也是我们平时教学过程中经常用到的方法,它可以让学生很轻松地理解书本所学知识。可以更好地解读性质、定理,掌握好数学,提高学生的解题能力。

接下来,我们将从反例的组成、反例在数学课堂的应用、反例对学生推理能力培养、举反例要关注的问题来进行说明。

一、反例的组成

我们只有经过严密的推理论证,才能说明一个结论是正确可靠的;但是要说一个结论是错误的,只要找到举一个反例就可以了。平时在课堂上,我们可直接举一个符合该命题的反例,就可以说明这一句话是错误的,不要通过繁杂的证明过程,从而更容易理解该结论。

那反例怎么找呢?是不是随便找一个例子都是反例呢?这就要求所找到的例子必须一个符合命题的反例,也就要求学生必需经过很多的思考,还有以往经验的积累,反例不是很容易就能出现的。要想得到反例,分析命题的条件是必须的。例如:相等的角是对顶角,这个命题的条件是什么呢?两个相等的角,从而引导学生发现,所有相等的角当中未必都是对顶角。

在初中数学学习中,我们要学习很多概念。若给出一个概念的定义,然后判断它对不对,我们常常需要从命题的条件入手分析来寻找反例。反例是一种简单又好用的判断命题错误的方法,同时它也可以提高学生逆向思维,又能帮助学生正确理解定义、性质。反例是我们在证明过程中完美的补充,它也是一种数学证明方法。

二、反例在数学课堂中的应用

在我们初中数学课堂上,利用反例对我们数学课堂教学有什么帮助呢?

1. 帮助我们正确全面地理解数学概念

当我们解读某个数学的概念给学生听时,除了进行正面的理解外,有的时候还要从反过来,找到一个合适该数学概念的反例来帮助说明概念的含义,让学生更容易地理解此概念。

例1. 在学习函数的概念时,有一小部分学生是这样想的:只要有变化而变化,这种关系就是函数关系,如何让学生正确理解函数的概念呢?我们可以提出以下两个问题:

(1)人的身高与体重成函数关系吗?

(2)若y=x2,则y是x的函数吗?

笔者认为很多学生会认为人的身高与体重构成函数关系。因为人长大了,体重也就增加了。所以,人的身高与体重有关系,只要有关系那就是函数关系。此时,我们可以问学生,当你13岁这一年中,你的体重是不是都不变呢?你能确定吗?通过这样的反例,让学生发现,虽然人的身高和体重有关系,但是当人体重确定时,人的身高有可能不唯一,即当自变量(人的体重)发生变化时,因变量(身高)没有完全唯一的值和它对应,因此不符合函数的定义。从而加深了对函数的认识。而(2)中学生会说:y不是x的函数,因为当x=±1时,y=(±1)2=1,因变量y不随x的变化而变化(当时,y值都是1),此时我们可以问学生当确定时,唯一吗?其实对每一个给定x的值,当x变化时,虽然y的值有时不变。但还是有唯一确定的值和它对应,由此认识到y是x的函数,并非一定要求y随x的变化而变化,而是对每一个给定x的值,y都有唯一值和它对应。什么是函数关系?通过所举两个反例的学习,他们就掌握了函数关系的本质。

课堂上,当我们在教学生学习概念、定理、公式一时,经常发现学生对一些关键句不够理解,而是强行记忆概念、定理、公式,并没有真正地理解。结果遇到与概念、定理、公式有点相似的,就容易造成混淆。

例2. 对于矩形、菱形、正方形的判定它们内容很相近,这就容易让他们搞不清楚。因此,在数学课堂教学中,我们可以让他们相互多举一些这样反例,以便更好地强化对判定的理解。

例3. 当我们在学习矩形、菱形、正方形时,它们之间有很多性质,而且它们之间既有区别,同时又有联系。 这时学生就很容易发生错误 例如把矩形的性质说成对角线互相垂直这样的错误等等。当我们碰到这种情况时,我们可以先让学生上黑板画一个长方形(非正方形),然后叫他们用尺子比一比,看看它们的对角线是否互相垂直。通过这样的反例,学生很容易就能发现这是不对的。从而使他们全面、深刻地理解所学知识。因此,当所学相关知识较多时,我们可以通过让学生举一些反例帮助理解。

3. 培养思维的发散性

在数学课堂上,可以利用反例大大丰富课堂教学。因为反例的组成不是唯一的,所以我们可以充分调动学生多多地举出反例。从而调动了数学课堂氛围,充分展开想象,同时也让学生的发散性思维得到充分发挥和训练。

反例经常用于否定错误的命题。在平面几何学习中,我们往往通过对比来发现一些错误的命题,这就需要用到反例来否定这些错误的命题。

例14. 我们可能会把“所有的正方形都会相似”的结论移植到矩形中,误认为“所有的矩形都会相似”。此时就可以构造反例:一个矩形长为3,宽为2;另矩形长为4,宽为5,显然两个矩形长和宽不会成比例。可见,所有的矩形都会相似这句话是错误的。

四、举反例要关注的问题

反例虽然在我们数学课堂上广泛运用,但在课堂教学中,运用反例时还要注意一些小问题:

1. 注意主次。在正常的上课过程中,我们学习概念、定理和法则,一般是以书本上的证明为主。而举反例的方法只是一种辅助方法,只要能运用它否定错误的命题就可以了,不必要学太深。2. 注意适当。反例的选择不是随随便便的,它既要合适又能说明问题。不要花很多时间找来一大堆无效的反例。这样不仅没用,又容易让学生产失败感。不一样的知识点,所用到的反例也不一样,要求也不一样。总之,合适的反例才是最好的反例。

总之,对于中学生来说,解题是他们必须掌握的数学能力。通过解题,可以考查他们对知识的掌握情况。而反例能很好地帮助学生解题。它很好地辅助了我们的课堂教学。因此,我们在引导学生做数学题时,除了让他们学会从正面寻找解题的出路,也要让他们学会用反例的方法来证明,从而更好地提高学生的综合解题能力。

参考文献:

[1] 王知人.浅谈反例的教学功能[J].教学研究,2000(23).

[2] 郭要红.反例的来源与潜在功能[J].数学教学,2003.

[3] 罗增儒.学解题引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2003.

[4] 李文铭.初等几何教学研究[M].西安:数学史陕西师范大学出版社,2003.

[5] 郭天印.教育科学研究[J].教育科学研究,2003(2).

(作者单位:福建省福鼎十七中 355209)

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