初中数学课堂反例的应用

方小龙

摘要：在初中阶段，逻缉推理能力是学生学习数学时非常重要的一种能力。所以，我们在要求学生写证明题时必须做到每一步都要有理由，但是有时候在证明一些命题时，我们没有办法找到证明的理由，特别是在说明一个命题是否正确时，就需要我们在课堂上找到反例来帮助说明。反例就是解决这个特殊问题的，其实反例就是我们课堂所举的那些只能满足题目的条件，但不能满足题目结论的例子。（即命题条件与其命题的结论相互矛盾的例子）。当我们要证明某个命题正确时，就要说明当满足它的条件时，它的结论都是正确的。而我们要说某个结论不对，只要找一个结论不正确，可是却满足命题条件的例子。像这样的例子就叫做反例。

关键词：反例；推理；满足；作用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）12-0088

数学中的反例就是一个例子，它的作用就是拿来说明某个结论是错误的。它只能满足命题的条件，却不能满足命题的结论。这样的例子叫做反例。比如说，有这样的一个命题：我们班所有的同学都喜欢上数学课。那么我们应该怎样说明这句话是错误的呢？怎样去寻找说明这句话是错误的反例呢？我们只需要找一个班上的同学，但他又不喜欢上数学课的同学。也就是“一个不爱上数学课的班上同学”成为这个命题的反例，在学生进行数学几何证明过程中，举反例的方法和证明的方法都是我们平时常用的两种方法，举反例是我们正面无法证明时很好的一种补充方法。证明就是用一句正确的话，去推出另一句话也是正确的。但是，反例是用一句正确的话，去说明另一句话是错误的。事物和事物之间的联系都能用这两种方法来推理。美国数学家盖尔鲍姆说过，不断提出证明和举出反例的过程就是学习数学的过程，它决定了数学发展的两个主要方向。

在数学课堂上要想让学生学得好，除了正面的证明，也要使用举反例的方法帮助学生从另一个方面进行正确理解。它也是我们平时教学过程中经常用到的方法，它可以让学生很轻松地理解书本所学知识。可以更好地解读性质、定理，掌握好数学，提高学生的解题能力。

接下来，我们将从反例的组成、反例在数学课堂的应用、反例对学生推理能力培养、举反例要关注的问题来进行说明。

一、反例的组成

我们只有经过严密的推理论证，才能说明一个结论是正确可靠的；但是要说一个结论是错误的，只要找到举一个反例就可以了。平时在课堂上，我们可直接举一个符合该命题的反例，就可以说明这一句话是错误的，不要通过繁杂的证明过程，从而更容易理解该结论。

那反例怎么找呢？是不是随便找一个例子都是反例呢？这就要求所找到的例子必须一个符合命题的反例，也就要求学生必需经过很多的思考，还有以往经验的积累，反例不是很容易就能出现的。要想得到反例，分析命题的条件是必须的。例如：相等的角是对顶角，这个命题的条件是什么呢？两个相等的角，从而引导学生发现，所有相等的角当中未必都是对顶角。

在初中数学学习中，我们要学习很多概念。若给出一个概念的定义，然后判断它对不对，我们常常需要从命题的条件入手分析来寻找反例。反例是一种简单又好用的判断命题错误的方法，同时它也可以提高学生逆向思维，又能帮助学生正确理解定义、性质。反例是我们在证明过程中完美的补充，它也是一种数学证明方法。

二、反例在数学课堂中的应用

在我们初中数学课堂上，利用反例对我们数学课堂教学有什么帮助呢？

1. 帮助我们正确全面地理解数学概念

当我们解读某个数学的概念给学生听时，除了进行正面的理解外，有的时候还要从反过来，找到一个合适该数学概念的反例来帮助说明概念的含义，让学生更容易地理解此概念。

例1. 在学习函数的概念时，有一小部分学生是这样想的：只要有变化而变化，这种关系就是函数关系，如何让学生正确理解函数的概念呢？我们可以提出以下两个问题：

（1）人的身高与体重成函数关系吗？

（2）若y=x2，则y是x的函数吗？

笔者认为很多学生会认为人的身高与体重构成函数关系。因为人长大了，体重也就增加了。所以，人的身高与体重有关系，只要有关系那就是函数关系。此时，我们可以问学生，当你13岁这一年中，你的体重是不是都不变呢？你能确定吗？通过这样的反例，让学生发现，虽然人的身高和体重有关系，但是当人体重确定时，人的身高有可能不唯一，即当自变量（人的体重）发生变化时，因变量（身高）没有完全唯一的值和它对应，因此不符合函数的定义。从而加深了对函数的认识。而（2）中学生会说：y不是x的函数，因为当x=±1时，y=（±1）2=1，因变量y不随x的变化而变化（当时，y值都是1），此时我们可以问学生当确定时，唯一吗？其实对每一个给定x的值，当x变化时，虽然y的值有时不变。但还是有唯一确定的值和它对应，由此认识到y是x的函数，并非一定要求y随x的变化而变化，而是对每一个给定x的值，y都有唯一值和它对应。什么是函数关系？通过所举两个反例的学习，他们就掌握了函数关系的本质。

课堂上，当我们在教学生学习概念、定理、公式一时，经常发现学生对一些关键句不够理解，而是强行记忆概念、定理、公式，并没有真正地理解。结果遇到与概念、定理、公式有点相似的，就容易造成混淆。

例2. 对于矩形、菱形、正方形的判定它们内容很相近，这就容易让他们搞不清楚。因此，在数学课堂教学中，我们可以让他们相互多举一些这样反例，以便更好地强化对判定的理解。

例3. 当我们在学习矩形、菱形、正方形时，它们之间有很多性质，而且它们之间既有区别，同时又有联系。 这时学生就很容易发生错误 例如把矩形的性质说成对角线互相垂直这样的错误等等。当我们碰到这种情况时，我们可以先让学生上黑板画一个长方形（非正方形），然后叫他们用尺子比一比，看看它们的对角线是否互相垂直。通过这样的反例，学生很容易就能发现这是不对的。从而使他们全面、深刻地理解所学知识。因此，当所学相关知识较多时，我们可以通过让学生举一些反例帮助理解。

3. 培养思维的发散性

在数学课堂上，可以利用反例大大丰富课堂教学。因为反例的组成不是唯一的，所以我们可以充分调动学生多多地举出反例。从而调动了数学课堂氛围，充分展开想象，同时也让学生的发散性思维得到充分发挥和训练。

反例经常用于否定错误的命题。在平面几何学习中，我们往往通过对比来发现一些错误的命题，这就需要用到反例来否定这些错误的命题。

例14. 我们可能会把“所有的正方形都会相似”的结论移植到矩形中，误认为“所有的矩形都会相似”。此时就可以构造反例：一个矩形长为3，宽为2；另矩形长为4，宽为5，显然两个矩形长和宽不会成比例。可见，所有的矩形都会相似这句话是错误的。

四、举反例要关注的问题

反例虽然在我们数学课堂上广泛运用，但在课堂教学中，运用反例时还要注意一些小问题：

1. 注意主次。在正常的上课过程中，我们学习概念、定理和法则，一般是以书本上的证明为主。而举反例的方法只是一种辅助方法，只要能运用它否定错误的命题就可以了，不必要学太深。2. 注意适当。反例的选择不是随随便便的，它既要合适又能说明问题。不要花很多时间找来一大堆无效的反例。这样不仅没用，又容易让学生产失败感。不一样的知识点，所用到的反例也不一样，要求也不一样。总之，合适的反例才是最好的反例。

总之，对于中学生来说，解题是他们必须掌握的数学能力。通过解题，可以考查他们对知识的掌握情况。而反例能很好地帮助学生解题。它很好地辅助了我们的课堂教学。因此，我们在引导学生做数学题时，除了让他们学会从正面寻找解题的出路，也要让他们学会用反例的方法来证明，从而更好地提高学生的综合解题能力。

参考文献：

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[5] 郭天印.教育科学研究[J].教育科学研究，2003（2）.

（作者单位：福建省福鼎十七中 355209）