针对主瓣波动的阵列赋形方向图设计

王 旭 朱永杰

(西安电子工程研究所西安710100)

总体工程

针对主瓣波动的阵列赋形方向图设计

王 旭 朱永杰

(西安电子工程研究所西安710100)

赋形方向图设计在阵列雷达中有重要应用，本文针对现有方法所设计波束主瓣存在波动的情况，提出一种最大匹配误差最小化的方向图设计方法。首先基于方向图匹配模型，从优化的角度对迭代FFT方法进行了分析;建立了方向图最大匹配误差最小化模型，并采用序列二次规划对发射权向量的相位进行优化;最后对余割平方的赋形方向图和展宽波束进行了实验仿真，对相控阵体制和MIMO体制下设计的方向图进行了比较，以迭代FFT所设计的方向为初始点，然后采用最大匹配误差最小化的方法对波束主瓣波动进行抑制。仿真结果说明了算法的有效性。

赋形方向图;波束展宽;主瓣波动;序列二次规划;迭代FFT

0 引 言

由于阵列天线较易实现高增益窄波束、特定的赋形波束以及波束扫描方式灵活等特点，在雷达、通信等领域具有广泛应用［1－6］。发射方向图直接关系到目标信号的强度、杂波与干扰的抑制，也决定了雷达的威力，从而影响雷达系统资源利用率。另外，在不同场景中，通常需要不同特性的波束，比如对于三坐标雷达的搜索的模式，通常需要余割平方的赋形波束;而对于较大规模阵列，需要对波束进行适当展宽，以提高数据率，因此阵列发射方向图设计在雷达中具有重要作用。

在雷达系统中，要求发射方向图具有一定的主瓣宽度、低旁瓣电平和特定的主瓣形状等［1－3］。对于低旁瓣方向图综合，Dolph－Chebyshev方法可以显式的确定副瓣电平和主瓣宽度，Taylor综合法可以在约束最大副瓣电平的条件下，得到逐渐衰减的外旁瓣［6］。对于赋形方向图综合，目前主要包括三类方法:解析方法、智能优化算法和基于优化理论的方法。解析方法，Woodward法，Fourier法等具有计算量小的特点，但局限于某些方向图或性能有限［1－3］。对于某些方向图综合问题，可以将转化为凸优化问题，从而可以基于优化理论进行求解，获得全局最优解［4－5］。以上方法，一般需要对权系数的幅度和相位同时进行优化，然而为了保证发射机效率最大化，对于发射赋形方向图设计，需要保证权系数幅度恒定，即只对其相位进行优化。智能优化方法，如遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等通过构造优化代价函数，对方向图的权向量进行优化以逼近期望的赋形方向图，一般具有全局最优的性能，但需要较大的计算量，而且需要合适的参数设定，对于大规模阵列，可能难以应用［2－3，7－8］。此外，交替投影、迭代 FFT 方法［9－13］采用迭代的方式进行方向图综合，可以对方向图逐渐调整，达到较理想的结果。

现有算法对主瓣形状控制的考虑较少，因此设计的发射方向图主瓣通常存在较大波动，主瓣波束的波动，不仅会影响雷达的探测威力，也会对雷达系统中目标特性引入不必要的波动，影响其参数测量精度及跟踪性能。针对此问题，本文对均匀线阵的赋形方向图设计进行了研究，提出一种最大匹配误差最小化的方向图设计方法，该方法基于方向图最大匹配误差最小化模型，采用序列二次规划对发射权向量的相位进行优化。由于该问题非凸，容易收敛至局部最优解，因此受初始权向量的影响较大。迭代FFT方法可以对恒定幅度的权向量进行优化，并且具有求解效率高，因此本文先利用迭代FFT方法优化得到较理想的初始权向量，再利用最大匹配误差最小化的方向图设计方法，进一步减小主瓣区域的波动。集中式MIMO雷达作为相控阵雷达的扩展，是阵列雷达的一种发展趋势。MIMO雷达由于更高的发射自由度，在方向图综合方面有优势，本文所提方法可以扩展至MIMO雷达方向图设计。仿真实验包括了余割平方的赋形方向图设计和波束展宽，仿真结果说明了该方法的有效性。

2 方向图综合问题描述

考虑一均匀线阵如图1所示，包含M个阵元，阵元间距为d，导向矢量可以定义为a(θ)=［1，ej2πd/λsinθ，…，ej2πd/λ(M－1)sinθ］T，θ表示角度，λ 表示发射信号波长。发射权向量表示为

为了最大化雷达发射机的工作效率，发射机通常工作在饱和状态，因此有xm=cejφm，其中c为信号幅度，φm为信号相位。

图1 阵列模型

设期望方向图为Pd(θ)，则优化权系数逼近期望方向图的模型可以表示为

其中{θk}为离散角度，wk为对θk方向匹配误差的权重，K为离散角总个数，α为尺度因子。问题式(2)是关于x的四次函数，较难求解。

对于均匀加权的情况，通过引入辅助变量yk，可以将式(2)转化为如下问题

其中A=［a(θ1)，…，a(θK)］表示导向矢量矩阵，式(3)中y可以看成是理想的空间信号。对于d=λ/2，导向矢量可以表示为a(θk)=［1，ejπsinθk，…，ejπ(M－1)sinθk］T，当θk按如下方式进行采样时

导向矢量可以表示为

定义IFFT矩阵为

式(3)仍然非凸，因此采用一种循环迭代的方式进行求解。

A.给定x和α，求解y:

B.给定y和α，求解x:

由于式(3)的目标函数

因此有

其中z=F*y，即可以对y进行FFT求得。

通过式(7)和式(8)，可以看出，x和y的求解与尺度因子α无关，因此对式(3)的求解过程中取α=1。循环迭代进行步骤A和步骤B，直至达到终止条件(前后两次目标函数值下降量Δfk≤ε)。在两步求解过程中，式(3)的目标函数值一直非递增，也保证了算法的有效性。另外由于主要计算量为FFT/IFFT操作，运算效率较高。基于式(7)和式(8)的循环迭代过程，其实与迭代FFT方法一致，因此也从优化的角度对迭代FFT方法给出了解释。

式(3)中限定期望方向图的约束|yk|2=Pd(θk)，可能由于约束太强，导致优化性能不理想，因此可以改为

此时，x的解仍然为式(8)，而y的解变为

利用不等式约束替换等式约束，对期望方向图进行了松弛，但是限定了其波动范围，可以对主瓣波动进行抑制。

3 最大匹配误差最小化的方向图设计

以上通过方向图匹配模型的分析和进一步转化，从优化的角度对迭代FFT方法进行了说明。该算法运算效率高，但是主瓣仍然存在较大波动。因此考虑采用如下模型

其中ek表示方向图匹配误差，Θ表示考虑的角度集合。各表达式与式(3)中一致。式(11)即通过最小化最大的方向图匹配误差，实现方向图逼近。

引入辅助变量t，可进一步写为

式(12)是一个非线性规划问题，可以采用序列二次规划求解(Sequential Quadratic Programming，SQP)，具体该问题可以采用MATLAB中的优化函数fminimax进行求解。该模型可以有效的抑制主瓣波动，但是该算法对初始点较为敏感。因此可以采用迭代FFT算法优化得到一个性能较好的发射信号权系数，再通过最大匹配误差最小化的方向图设计，得到主瓣波动较小的方向图。

4 MIMO雷达方向图设计

对于如图1所示的MIMO雷达，发射信号可以表示为

其中L表示发射的信号长度。问题(3)可以扩展为如下形式

s.t. |xml|=c，m=1，…，M;l=1，…，L‖yk‖2=Pd(θk)，k=1，…，K

步骤A和步骤B可以分别写为

其中Z=F*Y，即可以对Y进行FFT求得。此外，对于MIMO雷达，模型(12)及其求解方法可以直接应用。

5 仿真实验

本节通过仿真实验说明算法的有效性。主要包括两个部分:余割平方的赋形方向图设计和波束展宽。考虑的半波间距的均匀线阵，不失一般性，假设各阵元发射功率为。迭代FFT的终止阈值为。由于优化权系数的问题非凸，可能由于不同初始点收敛至性能较差的局部解，为了克服此问题，根据多组随机产生的初始权系数进行优化，从优化结果中挑选性能较理想的，在利用最大匹配误差最小化的方向图设计对主瓣波动进行抑制。

5.1 余割平方的赋形方向图

对于阵元数为M=48的阵列，考虑期望方向图如图2所示，其中为等功率0°～9°，9°～40°为余割平方。图3为假设的两种单阵元方向图，为角度θ的余弦函数。通过迭代FFT方法，其所设计的方向图如图4所示，与初始方向图相比，可以看出经过优化后的方向图在较好的逼近期望方向图，但是在波束主瓣上存在较大的波动。采用软约束，其优化结果如图5所示，与图4相比，其主瓣波动及旁瓣电平均有一定程度的降低。以迭代FFT优化的权向量为初始点，采用模型(12)对发射权向量进行优化，得到的方向图如图6所示。在高角度处，旁瓣电平抬高较大，但此区域一般为高空，因此对雷达系统影响较小。主瓣区域电平波动明显减小。另外低角度旁瓣电平有一定程度的抬高，其抑制方法需要进一步研究。另外，以图5中方向图的权向量为初始点，优化得到的结果与图6很接近。对于MIMO雷达，考虑码长为20，其所设计的方向图如图7所示，可以看出MIMO雷达方向图可以获得更优的方向图逼近性能。

图2 期望方向图

图3 单阵元方向图

图4 迭代FFT优化的方向图

5.2 波束展宽

对于阵元数为M=256的阵列，以导向矢量构造的权向量形成的方向图如图8所示，波束宽度约为0.4°。窄波束可以提高探测距离、回波SNR、测角精度，适用于目标跟踪场景，但是对于目标搜索，需要对整个空间进行搜索，太窄的波束导致数据率太低，影响目标的跟踪性能，而且还会减少可积累的脉冲数，导致速度分辨率降低，影响杂波抑制性能。因此在对于大规模阵列，对于搜索状态，需要对波束进行展宽，下面考虑将波束分别展宽为2.5°和5°。

图5 迭代FFT(软约束)优化的方向图

图6 最大匹配误差最小化设计的方向图

图7 MIMO雷达方向图

图8 窄波束

a.波束展宽为2.5°

采用传统相控阵雷达波束的主瓣作为期望方向图，如图9和图11中虚线所示。随机产生多组权向量作为初始点，采用迭代FFT方法，优化结果如图9所示，可以看出所设计方向图可以较好的逼近期望主瓣，然而主瓣存在约2dB的波动。采用最大匹配误差最小化方法设计的结果旁瓣有抬高，但主瓣波动明显抑制。图10为考虑了单阵元方向图后发射方向图。

图9 优化结果

图10 合成方向图

图11 优化结果

b.波束展宽为5°

对于期望波束宽度为5°的情况，采用迭代FFT方法，优化结果如图11所示，所设计方向图可以较好的逼近期望主瓣，而且远区旁瓣较低，主瓣存在约2dB的波动。采用最大匹配误差最小化方法设计的结果旁瓣有抬高，但主瓣波动明显抑制。图12为考虑了单阵元方向图后发射方向图。对于MIMO雷达，考虑码长为20，其所设计的展宽波束如图13所示，可以看出MIMO雷达可以获得更低的旁瓣，而且主瓣波动小。

图12 合成方向图

图13 MIMO雷达方向图

6 结束语

赋形方向图设计在阵列雷达中有重要应用，如对空情报雷达通常采用的余割平方波束，大规模阵列中的展宽波束等等。本文对阵列赋形方向图设计进行了研究，首先基于方向图匹配模型，从优化的角度对迭代FFT方法进行了分析。针对现有方法所设计波束主瓣存在波动的情况，提出一种最大匹配误差最小化的方向图设计方法，建立了方向图最大匹配误差最小化模型，并采用序列二次规划对发射权向量的相位进行优化。对余割平方的赋形方向图和展宽波束进行了实验仿真，以迭代FFT所设计的方向为初始点，然后采用最大匹配误差最小化的方法对波束主瓣波动进行抑制，同时对比仿真了MIMO雷达方向图设计，仿真结果说明了算法的有效性。然而，在抑制主瓣波动时，方向图副瓣有一定程度的抬高，在方向图副瓣电平可控的情况下对主瓣波动进行抑制是进一步研究的工作。

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Design of Array Shaped Pattern Aiming at Mainlobe Fluctuation

Wang Xu，Zhu Yongjie
(Xi’an Electronic Engineering Research Institute，Xi’an 710100)

Shaped pattern design plays an important role in array radar.A pattern design method with pattern maximum matching and minimized error is presented on basis of fluctuation existing on the design beam main lobe by using available method.Firstly，on basis of pattern matching model，iteration FFT method is analyzed from optimizing point of view;a model with pattern maximum matching and minimized error is set up，and sequential quadratic programming is employed to optimize phase of tramsmitting weight vector;and finally，the pattern and strech beam shaped with consecant squared is simulated;and the pattern in phased array and MIMO system are compared，taking direction designed with iteration FFT as initial point，then employment of pattern maximum matching and minimized error method to supress beam mainlobe fluctuation.The simulation result shows effectiveness of algorithm.

shapped pattern;beam strecth;main lobe fluctuation;sequential quadratic programming;iteration FFT

TN952

A

1008-8652(2016)04-021-06

2016-06-12

王 旭(1987－)，男，博士研究生。研究方向为雷达系统、信号处理和发射波形设计。