分类讨论之后，还需验证取舍——以2015年苏州卷压轴题为例

潘海波



分类讨论之后，还需验证取舍
——以2015年苏州卷压轴题为例

潘海波

分类讨论思想方法是中考试卷必考方法，旨在考查同学们思维是否缜密.然而有些考题分类讨论之后，却又面临着取舍关要过，这是怎么回事呢？请看苏州卷压轴题.

（2015·苏州，10分）如图1，在矩形ABCD中，AD=a cm，AB=b cm（a＞b＞4），半径为2 cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切.现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动.已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）.

（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了_______cm（用含a、b的代数式表示）；

（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2 s到达B点，继续移动3 s，到达BC的中点.若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5 s时间内圆心O移动的距离；

（3）如图②，已知a=20，b=10.是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由.

图1

【思路讲解】（1）根据矩形性质可以很快得出答案为a+2b.

（3）主要是分两种情况讨论，即⊙O首次到达⊙O1的位置，⊙O在返回途中到达⊙O1的位置，讨论后再进行取舍.我们在下面将展示不同解法，供同学们从不同角度理解.

【规范解答】（1）a+2b.

（2）∵在整个运动过程中，点P移动的距离为（a+2b）cm，

圆心O移动的距离为2（a-4）cm，

由题意，得a+2b=2（a-4）.①

∵点P移动2 s到达B点，即点P用2 s移动了b cm，

∵点P移动的速度与⊙O移动的速度相等，

∴这5 s时间内圆心O移动的距离为5× 4=20（cm）.

（3）存在这种情形.

解法一：设点P移动的速度为v1cm/s，⊙O移动的速度为v2cm/s，

图2

如图2，设直线OO1与AB交于点E，与CD交于点F，⊙O1与AD相切于点G.

若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G= O1H.

易得△DO1G≌△DO1H，

∴∠ADB=∠BDP，

∵BC∥AD，

∴∠ADB=∠CBD，

∴∠BDP=∠CBD，

∴BP=DP.

设BP=x cm，

则DP=x cm，PC=（20-x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，可得PC2+ CD2=PD2，

∴此时点P移动的距离为

∵EF∥AD，

∴△BEO1∽△BAD，

∴EO1=16，

∴OO1=14.

①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14 cm，

∴此时PD与⊙O1不可能相切；

②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×（20-4）-14=18（cm），

∴此时PD与⊙O1恰好相切.

①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14 cm≠18 cm，

∴此时PD与⊙O1不可能相切；

②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×（20-4）-14=18（cm），

∴此时PD与⊙O1恰好相切.

∴此时PD与⊙O1不可能相切；

∴此时PD与⊙O1恰好相切.

【反思回顾】第（2）问利用了P与⊙O的路程相等，速度相等得出方程组是解题关键，再利用路程与时间的关系，得出速度，最后利用速度乘时间得出结果；第（3）问利用了相等时间内速度的比等于路程的比，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等时间内速度的比等于路程的比是解题关键.

（作者单位：江苏省常州市东青实验学校）