三角形中有关中点问题的解题策略

杨树艳



三角形中有关中点问题的解题策略

杨树艳

数学是思维的体操，联想是一种非常重要的思维品质，善于联想是寻求解决问题的重要方法.当你遇到三角形中有关中点的问题时，你会产生哪些联想呢？但愿本文能给你带来一定的启示.

一、遇到等腰三角形底边上的中点联想到“三线合一”

例1 如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）.

图1

【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得MN的长.

解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，

∴AM⊥CM，BM=CM（三线合一），

∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，根据勾股定理得：

二、遇到直角三角形斜边上的中点联想到“斜边上的中线，等于斜边的一半”

例2（2015·宿迁）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点.若CD=5，则EF的长为_______.

图2

【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD.EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半.

解：∵△ABC是直角三角形，

CD是斜边上的中线，

∴AB=2CD=2×5=10，

∵EF是△ABC的中位线，

三、遇到三角形中两边的中点，联想“三角形的中位线定理”

例3（2015·无锡）已知：如图3，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于_______.

图3

解：过D点作DF∥BE，

∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，

∴F为EC中点，AD⊥DF.

∵AD=BE=6，

∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，

∴△ABG≌△DBG，

∴G、E分别为AD、AF的中点.

例4（2015·巴中）如图4，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，则线段DH的长为_______.

图4

【分析】首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解.

解：∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF=AC，

∵AC=3，∴AF=AC=3，HF=CH，又AD为△ABC的中线，

∵AB=5，

∴BF=AB-AF=5-3=2，

∴DH=1.故答案为：1.

四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线截得线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）

例5 如图5（甲），在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点.

（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；

图5

（2）将图5（甲）中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一直线上，得图5（乙）原问题中的其他条件不变. （1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

【分析】（1）延长DM交EF于点P，由AM= EM，可证△ADM≌△EPM，得DM=PM，根据△DFP是直角三角形即可解题；

（2）延长DM交CE于点N，连接FN、DF，易证∠DAM=∠NEM，可证△ADM≌△ENM，得EN=AD，DM=MN，可证CD=EN，即可证明△CDF≌△ENF，得DF=NF，即可解题.

解：（1）MF⊥DM，MF=DM.

证明如下：

延长DM交EF于点P，

∵正方形ABCD和正方形FCGE，

∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP，

∠CFE=90°.

∴△DFP是直角三角形.

∵M为AE的中点，∴AM=EM.

在△ADM和△EPM中，

∴△ADM≌△EPM（ASA），

∴DM=PM，∴M是DP的中点，

∵FD=CF-CD=CF-AD=EF-PE=PF，

∴△DFP是等腰直角三角形，

∴FM⊥DM.

（2）结论依旧成立，证明如下：

延长DM交CE于点N，连接FN、DF，

∵CE是正方形CFEG的对角线，

∴∠FCN=∠CEF=45°，

∵∠DCE=90°，∴∠DCF=45°，

∵AD∥BC，∴∠DAM=∠NEM，

在△ADM和△ENM中，

∴△ADM≌△ENM（ASA），

∴EN=AD，DM=MN，

∵AD=CD，∴CD=EN，

在△CDF和△ENF，

∴△CDF≌△ENF（SAS），

∴DF=NF，∠DFC=∠NFE，

又∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°，

∴△DFN是等腰直角三角形，

∴DM=FM，DM⊥FM.

会学比学会更重要，方法比知识更重要.要解决三角形中有关中点的问题就必须学会联想，通过作辅助线创造条件，运用等腰三角形底边中线、直角三角形斜边中线、三角形中位线的性质或倍长中线法构造全等三角形等与中点有关的策略解决问题.

（作者单位：江苏省盐城市明达中学）