谈线段和差型问题的解法

2016-08-20刘春艳

初中生世界 2016年23期

关键词：延长线过点四边形

刘春艳

谈线段和差型问题的解法

刘春艳

平面几何的证明问题中，有一类题目是关于线段的和差问题，即证明两条线段的和（差）等于另一条线段，如果不能直接证明，往往需要添加辅助线，而最常见的添加方法即为截长补短.现在我们就具体例题体会一下.

例1（2015·北京西城区模拟）问题背景：

（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG= BE，连接AG，首先证明△ABE≌△ADG，然后证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________.

图1

图2

探索延伸：

【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF= FG，即可解题；

（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题.

解：（1）结论应是EF=BE+DF.

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF

=∠BAD-∠EAF

=120°-60°=60°=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

∵在△AEF和△GAF中，

∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.

故答案为EF=BE+DF.

（2）结论EF=BE+DF仍然成立.

理由如下：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG.

∵∠B+∠ADC=180°，

又∠ADC+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG.

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF

=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

∵在△AEF和△AGF中，

∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题求证△AEF≌△AGF是解题的关键.

图3

图4

例2（2015·甘肃模拟）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线交直线AD于点E，交直线BA于点F，当点P在线段BD上时，易证：AC=PE+PF（如图3所示）.当点P在线段BD的延长线上（如图4所示）和当点P在线段DB的延长线上（如图5所示）两种情况时，探究线段AC、PE、PF之间的数量关系，并对图5的结论进行证明.