数学原理在高中遗传学教学中的应用

夏 天

(浙江省余姚市第四中学 315400)

孟德尔通过数学方法(统计)的引入发现了分离定律和自由组合定律，为遗传学奠定基础。数学作为一门工具学科，在生物学中有广泛应用。本文以高中知识为范畴，介绍数学原理在遗传学中的应用。

1 棋盘法和分枝法

遗传概率的计算常用棋盘法和分枝法[1]。在单因子杂交实验和双因子杂交实验中，教材中介绍了棋盘法。但若考虑三对或三对以上基因，则因棋盘格过多而不宜采用棋盘法，应采用分枝法(图1)。

图1 分枝法

2 分步乘法计数原理

分步乘法计数原理可解决配子类型、基因型种类和表现型种类的计算问题。分步乘法计数原理如下：完成一件事需要两个步骤(无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取)，第1步有m种不同的方法，第2步有n种不同的方法，那么完成这件事：N = m×n种不同的方法。高中数学教材给出如下例题：在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？运用分步乘法计数原理，结果如下：100个碱基共有100个位置，从左到右依次在每一个位置中，从A、C、G、U中任选一个填入，每个位置有4种填充方法，则RNA分子种数为100个4的乘积，即4100。

在孟德尔的双因子杂交实验中，F1产生的雌、雄配子各有4种，F2的基因型有9种，F2的表现型有4种。以上数据可以根据分步乘法计数原理求得。对于基因型为YyRr的F1，产生的雌配子中包含等位基因Y和y之一，以及等位基因R和r之一。因此，相当于雌配子有2个空位，每个空位各有2种填法，则雌配子的类型有4种，即(2×2)；雄配子同理。若有n对等位基因，雌、雄配子各为2n种。对于F1自交产生的F2的基因型，先考虑一对等位基因Y和y，可形成3种不同的基因型：YY、Yy和yy；另一对等位基因R和r亦可形成3种不同的基因型。这两对等位基因可形成9种不同的基因型，即(3×3)。若有n对等位基因，则可形成3n种基因型。对于F2的表现型，子叶的颜色有黄色和绿色2种表现型；种子的形状有圆形和皱形2种表现型。那么，表现型即为4种。若有n对等位基因(完全显性)，则能形成2n种表现型。

3 二项式平方的展开式

遗传平衡定律可用二项式平方的展开式来表示。对于一个遗传平衡的种群，若有一对等位基因B和b，设B的基因频率为p，b的基因频率为q，则p+q=1。运用棋盘法求得各基因型的频率。BB的频率为p2，Bb的频率为2pq，bb的频率为q2。可记为二项式平方的展开式：(p + q)2= p2+2pq+q2=1。由于各代的基因频率没有改变，故各代的基因型频率也不会改变。若B和b这对等位基因位于X染色体，则XBXB的频率为p2，XBXb的频率为2pq，XbXb的频率为q2；XB的频率为p，Xb的频率为q。由此，通过计算得到如下规律：对于X连锁隐性遗传病，男性患者XbY为q，女性患者XbXb为q2，由于0q2，故男性患者多于女性患者；对于X连锁显性遗传病，男性患者XBY为p，女性患者XBXB和XBXb为p2+2pq，由于p=1-q，p2+2pq=1-q2，0

4 组合与二项式定理

图2 杨辉三角

5 数学归纳法

根据不完全归纳法，求杂合子(Aa)连续自交n代后Fn中杂合子的比例，可以得到以下结果：F1中杂合子比例为1/2；F2中杂合子比例为(1/2)2=1/4；F3中杂合子比例为(1/2)3=1/8；F4中杂合子比例为(1/2)4=1/16；则Fn中杂合子比例为(1/2)n。可以用数学归纳法证明这一结论。数学归纳法为：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值no(noεN*)时命题成立；②(归纳递推)假设n = k(k ≥ no，kεN*)时命题成立，证明当n = k + 1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从no开始的所有正整数n都成立。证明：①当n = 1时，F1中杂合子比例为1/2；②假设当n = k时，Fk中杂合子比例为(1/2)k成立，那么，Fk+1中杂合子比例为(1/2)k×1/2= (1/2)k+1，即当n = k + 1时也成立。根据①和②，可知Fn中杂合子比例为(1/2)n。各子代杂合子比例构成等比数列。用数学归纳法还可求得：Fn中纯合子比例为1 - (1/2)n；显性纯合子比例为1/2 - (1/2)n+1；隐性纯合子比例为1/2 - (1/2)n+1；显性性状个体比例为1/2 + (1/2)n+1；隐性性状个体比例为1/2 - (1/2)n+1。