政府补偿情景下考虑私人损失规避的PPP项目投资决策模型

吴孝灵 ，陆冰 ，石岿然，周 静

（1.南京财经大学 会计学院，南京 210023；2.南京大学 工程管理学院，南京 210093；3.南京工业大学 经济与管理学院，南京 210009）

PPP（Private-Public-Partnership）即公私合作模式，泛指公共部门（政府）与私营部门基于某个特定的公共基础设施项目建设和运营而形成的相互合作关系[1-2]，是由公共部门与私人部门通过签订特许权协议，而使私人有权在规定的期限内建造和运营该项目，并在特许权期结束后再将该项目无偿移交给政府的合作模式[3-4]，一般包括BOT（Build-Operate-Transfer）与BOO（Build-Own-Operation）等多种合同形式及其组合模式[2]。PPP 模式由于能解决政府财政紧张问题[4]，提高项目的社会效益[5]，而在国际上被广泛应用[1]。但PPP模式生产的产品通常为纯公共品或准公共品[1]，该项目未来收益很难补偿巨额的初始投资，这必然使私人投资风险较高。这也就意味着，要使PPP 项目持续、有效运行，政府给与私人适当补偿就非常重要。

PPP项目收益的高风险性让一些学者认为政府应给与私人最小收益或特许收益保证、产品购买保证以及融资担保等[6-9]，以吸引私人事前积极投资项目。但事前保证很可能导致政府补偿过高或不足，而使项目社会福利或私人利益受损[10]。因此，对PPP项目而言，政府补偿应是事前很难确定的问题，它必须依赖于事后观察到的项目实际收益情况，这就需要设计事后补偿机制。从事后补偿的角度，Fearnley等[11]根据项目的实际运营绩效，讨论了挪威城际轨道的补贴问题；Ho[12]利用动态博弈模型探讨了政府事后应该给予私人补偿的范围；王健等[13]考虑到项目的公益性，认为政府事后补贴应为恰好能补偿项目亏损为宜；宋波等[14]从私人最低收益保证角度，提出了市场需求较低时政府应给予私人的最优转移支付；谭志加等[15]基于双目标规划模型研究了政府补贴与项目收费的联合决策问题；高颖等[10]研究了市场需求下降时，政府是否应对私人进行运营期补偿。

尽管事后补偿相对于事前补偿更为合理，但由于忽略了事前担保对于私人投资项目的激励性，导致事后补偿的无效性，尤其是如果没有政府事前准予的特许收益或其他收益作担保，损失规避的私人投资者很可能会认为项目投资的低收益或政府补偿不足而坚持拒绝投资项目。私人投资决策的损失规避行为并不是绝对的，而是相对于某一决策参考点的收益或损失，决策者对损失的反应要比对相同数量收益的反应更强烈，这已获得大量的实验和实证支持[16]。Kahneman等[16-17]研究表明，损失规避能够更好地描述个体在不确定条件下的决策行为特征。个体损失规避行为假设已被很多学者引入供应链的优化与协调研究，Schweitzer等[18]通过实证研究了损失规避型决策者的报童模型；沈厚才等[19]则在前文基础上讨论了存在损失规避偏好的制造商采购决策问题；Wang等[20-21]进一步研究了1个风险中性供应商与1个损失规避零售商的供应链协调，并对多个损失规避型零售商组成的竞争性报童模型展开分析；Shi等[22]在Wang等的基础上，考虑了存在缺货惩罚成本时的供应链协调问题；李绩才等[23]分析了多零售商的损失规避度对1对多型供应链决策的影响；孙玉玲等[24]则针对上述文献都是考虑单一产品的报童模型，研究了损失规避型零售商对多种农产品的订货决策；甘小冰等[25]通过引入网络销售渠道，讨论了损失厌恶型零售商与生产商的最优订货定价决策。就这些文献来看，他们对损失规避的描述都是假设决策参考点为0或是给定的外生变量，忽略了决策参考点的内生性，使得参考点依赖成为无效假设[26]。然而，本文所要研究的私人投资项目的利益参考点应与其投资决策有关，即私人投资越大，其要求的最小收益或特许收益就越大，这就使得当前供应链管理研究中关于个体决策参考点的选取方法还不能完全用于私人对PPP项目的投资决策。

鉴于此，本文考虑政府事前准予私人投资PPP项目的特许收益，而事后根据项目实际收益与特许收益的比较而给予私人一定程度上的补偿，即通过引入项目运营收益的相对补偿指数而设计一种单期补偿契约；基于私人投资行为的损失规避特征，借助前景理论，以私人投资要求的特许收益作为其决策参照点，构建私人损失规避的效用函数，从而建立基于政府不同补偿情景的私人投资决策模型，并研究模型解的存在性及其性质。

1 PPP项目政府补偿的契约描述

假设政府将某公共基础设施项目通过特许权协议的方式委托给私人企业，而私人在其能力允许范围内通过初始投资C∈[0，C0]来完成项目建设，其中C0为私人的最大投资能力。

项目建成后，私人将在政府特许的运营期T内经营该项目，但由于项目的准公共物品属性及其未来收益的不确定性，还需政府给与私人适当补偿方可使该项目持续运行，如城市轨道交通项目一般都允许私人开发沿线土地作为政府事前补偿[27]。

然而，政府补偿是事前很难决策的问题，过高补偿将导致政府失效，而过低补偿将导致市场失灵。所以，PPP项目除了需要政府事前给与补偿来吸引私人投资，更需要设计一种事后补偿契约。为此，考虑政府事前准予私人投资要求的特许收益，而事后通过观测到的项目实际收益与特许收益的比较而给予私人一定程度补偿。

由于事前规定项目在特许期结束时移交给政府，故可将政府准许私人的特许收益在特许期T内单位化，即

式中，i为政府准许私人投资的最低期望回报率，可根据CAPM 方法进行确定[28]。

根据式（1），并结合文献[29-30]，可将政府准予私人的特许收益表示为

式中：rf为无风险利率；σr为影响项目实际收益的风险参数；β为项目单期风险补偿系数，即项目在市场上运营的单位时间内风险溢价[28]。

式（2）表明，政府准予私人在特许期内获得的最低收益或特许收益包括两部分：①因私人投入建设成本而应让其获得的无风险收益；②因私人承担运营风险而应让其获得的风险补偿收益。

尽管政府准予私人投资要求的特许收益是合理的，但项目的实际收益相对特许收益可能过高或不足，这就要求政府有必要根据项目实际收益与特许收益的比较而设计事后补偿契约，将该补偿契约进行单期化描述，即

由此可见，基于PPP项目实际收益的不确定性而引入的上述补偿契约充分描述了公私部门之间是一种基于风险共担和收益共享的契约合作关系。

2 损失规避型私人投资决策模型

无论PPP项目的政府补偿情形如何，私人都将在投资能力约束条件下，选择尽可能使其期望效用最大化的初始投资。对于损失规避型的私人投资者，可利用前景理论[16]构建其投资PPP项目的效用函数，从而建立政府补偿情景下的私人投资决策模型。

2.1 模型构建与相关假设

在上述政府补偿契约下，私人投资并运营PPP项目而将获得的实际单期利润可由下式给出：

式中，第3 项为私人投资分摊到单位时期的沉没成本。

为了刻画私人投资决策时的损失规避行为特征，将Kahneman等[16]给出的损失规避效用函数近似为一种线性形式，从而引入私人投资项目的损失规避效用函数，即

根据式（5），并结合私人投资项目的能力约束和参与约束，构建政府补偿情形下损失规避型私人投资决策模型：

式（6）为私人投资决策是要最大化其单期期望效用，损失规避的私人期望效用包括投资的相对期望利润和相对期望利润的损失；式（7）为私人投资项目的能力约束，即私人对项目的初始投资不会大于其最大投资能力；式（8）为私人投资的参与约束，即私人投资的期望效用不能为负，否则私人会放弃投资。

要对上述模型进行较为深入的分析，还有必要给出3个假设和1个引理及其证明。

假设1私人投资决策以其要求的单期特许收益作为参考点，即V0=Rg。

假设2私人事后无风险利润不会大于政府准予私人要求的特许收益，即

假设3项目单期收益R～在（0，S）上服从均匀分布，即随机变量的密度函数与分布函数分别为：

对于假设1～3，分别作如下说明：

（1）私人对项目的初始投资越大，其要求的特许收益就越大，而且私人对其实际收益小于特许收益更为敏感，所以将私人投资要求的特许收益作为其决策参考点比传统的基于外生参考点的行为建模更贴近现实。

（2）政府设计补偿契约的根本目的不是要降低私人收益的风险，而是要激励私人与其共担风险、共享收益，所以在上述政府补偿契约下私人事后无风险利润不会大于其要求的特许收益。

（3）PPP项目具有准公共物品属性，其运营收益一般较低且不确定，所以假设项目单期收益存在上下限，即下限为0而上限为S，并在（0，S）上服从均匀分布。

引理当随机变量在（0，S）上服从均匀分布时在（-∞，R0）或（R0，+∞）上的数学期望可分别为：

证明当R0≤S时，由式（10）中f（r）的定义，可求得

而当R0＞S时，同理可求得

式（13）、（14）表明，式（11）成立。而对于式（12），可通过下式求出：

2.2 情景分析与模型求解

对于上述模型式（6）～（8），设C*为其最优解，首先可放宽私人投资能力约束式（7），原因是：如果私人最优投资超出其最大投资能力，即C*＞C0，则可认为政府补偿具有较高刺激性，将激励私人通过债务融资等方式投资项目；而如果私人最优投资小于0，即C*＜0，则表明政府补偿的激励性不足，将导致私人通过转让项目投资的方式而进行套现，即私人存在道德风险。其次，还可进一步放松私人投资参与约束式（8），以求得无约束优化问题式（6）的最优解，因为如果最优解不满足私人参与约束，则表明政府需要调整补偿契约设计，以降低私人参与约束的条件。

对于式（6），首先计算损失规避型私人投资期望效用的第1部分，即私人投资项目的相对期望利润可根据假设1由下式给出：

而式（6）的第2部分，即私人投资的相对期望利润损失，可通过以下3种情景进行分类讨论。进而根据不同情景，对政府补偿情形下私人最优投资决策问题进行分析。

情景1政府补偿契约参数S1满足S1=Rg。

如果政府给予私人的单期运营补偿恰好等于准予私人的单期特许收益，即S1=Rg，则由假设1、2可知，私人投资的相对期望利润损失为

此时，由式（16）、（17）可知，损失规避型私人投资决策问题等价于求解如下模型：

由此，根据式（18）可得命题1及其结论。

命题1如果契约参数S1满足S1=Rg，则C*≤0，且。

证明由式（18）的一阶条件，可得

式（19）表明，E[U（˙）]是关于C的严格减函数。所以，如果考虑私人投资能力约束式（7），则式（18）的最优解C*=0；而如果放宽私人能力约束，则C*＜0。而且，由式（19）进一步还可得

命题1表明，如果政府给予私人的运营补偿恰好等于准予私人要求的特许收益，则私人对项目没有投资的积极性，其最优策略将是转让项目投资和运营的特许权而进行套现，并且这种行为会随私人损失规避度的增加而愈加强烈，即损失规避度越高，私人投资的边际效用越小。这主要是因为在补偿情景1下，私人投资参与约束式（8）不能满足，即损失规避型私人投资者做任何投资都不能获得正的期望效用。

情景2政府补偿契约参数S1满足S1＜Rg。

如果政府给予私人的单期运营补偿小于准予私人要求的特许收益，即S1＜Rg，则由假设1、3 可知，私人投资的相对期望利润损失为

此时，如果项目实际收益充分小（即S→0），以使R0＞S，则由式（16）、（21）以及引理可知，私人投资期望效用为

式（23）表明，如果政府给与私人的运营补偿较小而不能弥补项目实际较小收益，则私人投资期望效用将小于0，此时私人必将放弃或拒绝对项目投资，这就要求政府有必要增加对私人的运营补偿。

然而，如果项目的实际收益充分大（即S→∞），以使R0≤S，则根据式（16）、（21）以及引理可知，私人最优投资决策问题即为求解如下模型：

由此，根据式（24）可得命题2。

命题2如果契约参数S1满足S1＜Rg，且项目单期最大收益S充分大，以使S≥R0，则损失规避的私人存在最优投资策略C*，并由如下方程给出：

证明考虑式（24）的最优化一阶与二阶条件：

由式（28）可见，g（R0）是关于R0的二次函数，其判别式为

由此可判断g（R0）恒小于0，从而结合式（27）可知，式（24）的目标函数是严格凹函数。

于是，根据凹规划的判别条件可知，上述优化问题式（24）存在唯一最优解C*，并可由式（26）等于0求得，即方程（25）。 证毕

情景3政府补偿契约参数S1满足S1＞Rg。

如果政府给予私人的单期运营补偿大于准予私人要求的特许收益，即S1＞Rg，则由假设1、3 可知，私人投资的相对期望利润损失为

式中，参数R0由式（22）所定义，但由S1＞Rg可知，R0＜0。

此时，由式（16）、（30），并结合引理可知，私人最优投资决策问题等价于求解如下模型：

由此，根据式（31）可得命题3。

命题3在S1＞Rg情形下，如果损失规避度λ满足λ≥max｛1，[（1+rf）Rg/（rfS）]2｝，则私人存在最优投资策略C*，并由如下方程给出：

证明类似于命题2，考虑式（31）的最优化一阶与二阶条件：

根据式（35），并结合λ所满足的条件，可知式（34）必小于0，即

因此，上述优化问题式（31）是严格的凹规划，必存在唯一最优解C*，并可由式（33）等于0确定，即方程式（32）。 证毕

3 损失规避对私人投资决策影响

根据上述不同情景的模型分析，可讨论私人损失规避度对其投资决策的影响机制，即模型最优解具有如下性质。

命题4私人最优投资策略C*与其损失规避度λ的关系为：

（1）如果S1满足

则dC*/dλ＜0。

（2）如果S1满足

则dC*/dλ＞0。

（3）如果S1满足

则dC*/dλ＞0。

（4）如果S1满足

则dC*/dλ＜0。

证明当S1＜Rg时，根据隐函数定理，对方程式（25）两边求关于λ的导数，即

根据式（37）可知，如果S1满足（1）的条件，则必有dC*/dλ＜0；如果S1满足（2）的条件，则必有dC*/dλ＞0。

同理，当S1＞Rg时，根据隐函数定理，对方程式（32）两边求关于λ的导数，即

由于S1＞Rg，故R0＜0，从而式（39）表明，M＜0。根据式（38）可知，当S1满足（3）条件时，；当S1满足（4）条件时，。 证毕

命题4表明，无论政府给与私人的运营风险补偿是大于特许收益还是小于特许收益，私人对PPP项目的最优投资决策都会受其损失规避大小的影响，而且这种影响并不是表现为一般意义上的正相关或负相关。如果政府给予私人的运营风险补偿较大，则政府补偿契约对损失规避的私人投资者具有较好激励性，即能够激励私人对项目的初始投资随其损失规避度的增加而增加；然而，如果政府给予私人的运营风险补偿较小，则政府补偿契约会抑制损失规避的私人投资积极性，即私人对项目的初始投资将随着其损失规避度的增加而减少。

4 数值分析

为进一步解释PPP 项目政府补偿情景下私人损失规避度对其投资决策的影响机制，这里将通过数值算例对上述研究结论进行检验。

假设某PPP项目的年收益在（0，3.5×108）上服从均匀分布，即S=3.5×108，σr=108；政府准予私人投资建设和运营的特许权期T=30 a；政府给与私人的单期建设补偿和运营补偿分别为S0=2×108和S1=6.2×108；私人投资的无风险利率rf=0.05；市场单位风险溢价β=6.1。

将上述已知参数取值分别代入方程式（25）、（32），并注意到私人投资决策变量C*的范围，可讨论政府不同补偿情景下私人损失规避度对其投资决策的影响，如图1所示。由图可见，如果政府运营补偿相对特许收益较大，则私人最优投资决策表现较高的损失规避性，且投资与损失规避度正相关；而如果政府运营补偿相对特许收益较小，则私人最优投资表现出较低的损失规避行为，且投资与损失规避度呈负相关性。

图1 私人损失规避度对其投资决策的影响

5 结论

针对PPP项目的准公共物品特性以及未来收益的不确定性，本文首先基于政府需求，通过引入项目运营收益的相对补偿指数而设计一种单期补偿契约，以定量描述政府补偿的契约问题。然后，基于私人投资行为的损失规避特征，借助前景理论，以私人投资要求的特许收益作为其决策参照点，构建私人损失规避的效用函数，从而建立政府补偿情形下的私人投资决策模型，并研究模型解的存在性及性质。最后，运用数值分析对所获结论进行验证。研究结果表明：

（1）如果政府给与私人的运营风险补偿等于事前特许收益，或小于事前特许收益但项目实际收益比较小，则政府补偿契约不会被私人投资者所接受，因为这两种补偿情景下私人投资将获得负的期望效用。

（2）如果政府给与私人的运营风险补偿大于事前特许收益，或小于事前特许收益但项目实际收益非常大，则在这两种补偿情景下，私人对项目的初始投资将存在最优策略，并受其损失规避度的影响，而且这种影响并非一般意义上的正相关或负相关。

（3）当私人在政府补偿情景下存在最优投资决策时，如果政府给与私人的运营风险补偿较大，则政府补偿契约能够激励损失规避度较高的私人做较多的初始投资，即私人最优投资与其损失规避度正相关；而如果运营风险补偿较小，则政府补偿契约对损失规避度较高私人投资者的激励性不够明显，即私人最优投资与其损失规避度负相关。

本文所获结果不仅为私人对PPP 项目决策提供依据，也为政府对补偿契约的设计提供一定的理论支撑。但本文由于只考虑损失规避的私人对项目投资的最优决策问题，尚未考虑政府的最优补偿决策，以及政府最优决策对私人投资决策的影响，故未来研究将会进一步考虑损失规避的私人投资者与政府之间的利益博弈与协调问题。