探讨类比推理法在高中数学学习中的运用

申迪扬

（湖南省长沙市雅礼中学 湖南长沙 410007）

探讨类比推理法在高中数学学习中的运用

申迪扬

（湖南省长沙市雅礼中学 湖南长沙 410007）

类比推理法是科学研究中常用的方法之一，是现代数学方法论的重要组成部分。在高中数学学习中，经常巧妙运用类比推理法，可以帮助我们贯通知识间的联系，使知识脉络纵横交融，形成系统的知识网络，构建出良好的认知结构。本文主要针对类比推理法进行概述，并在此基础上探讨其在高中数学中的运用。

探讨；高中数学；类比推理法；运用

在近代的科技发明中，类比推理法应用得特别多。如近代仿生学就是用“生物机制”作类比，从而设计出滑翔机和飞机、潜水艇、挖掘机……在高中数学学习中，经常巧妙运用类比推理法，可以帮助我们贯通知识间的联系，使知识脉络纵横交融，形成系统的知识网络，构建出良好的认知结构。

1 类比推理法概述

G·波利亚指出：“类比是某种类型的相似性……是一种更确定的和更概念的相似。”所谓类比推理，是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，简称类推、类比。该方法的关键思路，是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提，推出两个事物的其他属性也具有相同的结论的推理。

2 类比推理法的重要作用

心理学研究认为，孤立的知识容易遗忘，而系统化的知识有利于理解和掌握，也易于迁移和灵活运用。同时，类比推理法也有利于深化知识的理解和研究，有利于学习能力的转化及解题能力的提升。类比推理法不单是从特殊到特殊的推理方式，同时也能在数学问题的解决中探索出解题的突破口，猜测出问题的结论，发现问题的思维方法。类比推理法有助于在原有的知识体系上，对新的问题进行对比分析，发现相似点以及内在规律，从而解决更多难度更大的问题。在高中数学解题中，使用类比推理法，不仅能够看到问题的本质，还能想到解决问题的根本途径，同时形成创新意识。

3 高中数学中的类比推理法运用

3.1 数与形的类比

思考与分析：从要证明的等式的形式看，很像一个三角推论公式：

tanA＋tanB＋tanC=tanA·tanB·tanC（A+B+C=nπ）

3.2 椭圆与双曲线的类比

3.3 平面与空间的类比

例3设ΔABC的三边长分别为a、b、c，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S-ABC的体积为V，则r=（ ）。思考与分析：类比中，三角形面积S对应四面体体积V，三角形三边长对应四面体四个面面积，三边为2，那么四面为3，故应选C。

在平面与空间的类比中，还可以通过拓展得出许多结论。如：

（1）三角形中的余弦定理可以类比推广到空间四面体中，在任一四面体中，它的一个面面积的平方等于其他三个面面积的平方和，减去这三个面中每两个面的面积与它们所夹二面角余弦的积的两倍。

（2）由直角三角形的勾股定理c2=a2+b2可类比推理出：过长方体同一顶点出发的三条棱的另一端点与顶点构成三棱锥，三个端点构成的底面的面积的平方等于三棱锥的其他含直角的各侧面面积的平方和。

（3）三角形的面积为S＝12（a＋b＋c）·r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为V＝13（S1＋S2＋S3＋S）4（r S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径）。

（4）类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体有下列性质：

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；

②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；……

3.4 等差数列与等比数列的类比

例4在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19-n（n＜19，n∈N*）成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________成立。

思考与分析：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…+a19-（nn＜19，n∈N*）成立，故在等比数列{bn}中，由b9=1，可知应有“积”的性质：

∴（2）式成立，即（1）式成立。

当n=8时，（1）式即：b9=1显然成立；当8＜n＜17时，（1）式即：

∴（3）式成立，即（1）式成立。

综上可知，当等比数列{bn}满足b9=1时，有：

b1b2…bn=b1b2…b17-（nn＜17，n∈N*）成立。

3.5 有限与无限的类比

例5观察下列等式：1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律，第n个等式为：__________________________。

思考与分析：通过观察，可以发现等式左边连加的数字从1到3到5，每行递增2个，且第一个数字也代表这个等式是第几排，那么根据类比推理找出左边的规律为n+（n+1）+（n+2）+……+[n+（2n-1）-1]；右边的数字的都是完全平方数，且为12、32、52……的规律，即为（2n-1）2。于是我们能很快得出结论是：第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+……+[n+（2n-1）-1]=（2n-1）2。

4 结语

需要注意的是，类比法在结论探究上只是一种推测，就像从适合人类生存的地球类比推测火星也适合人类生存一样，所得的结论是否正确需要去证明。但是，类比推理法的运用，既开拓了我们的思路，让我们在学习的过程中更巧妙的掌握了知识，又可以让我们熟悉这一科学研究常用的方法，便于在以后的科研路上探索更多、更新的未知世界。

[1]徐利治.徐利治谈数学方法论[M].大连：大连理工大学出版社，2008：34～45.

[2]衡国强.类比推理在高中数学教学中的应用与实践[J].教育学文摘，2013（10）：86.

[3]叶立军.数学方法论[M].杭州：浙江大学出版社，2008：256～264.

G633.6

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1004-7344（2016）26-0051-02

2016-8-25