解析几何题求解错误例析

◇ 江苏 陆 霞

解析几何题求解错误例析

◇ 江苏 陆 霞

学生在学习解析几何问题的过程中,经常出现由于考虑问题不全面或者是忽略有利条件等原因导致解题失误的现象.因此在教学中,教师应当引导学生剖析错误根源,提高解题正确率.

1 只注重结论与公式,未关注条件

在解题过程中,很多学生运用概念或者定理来解决问题时往往只关注公式的结论,并没有关注条件,从而导致解题出现失误.

例1 过点M(4,1)作圆(x－2)2＋(y＋2)2＝4的切线,此时切线方程为________.

定理:过圆上一点M(x0,y0)作圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的切线,其切线方程为

错解1 由上述定理得切线方程为(4－2)(x－2)＋(1＋2)(y＋2)＝4,简化可得2x＋3y－2＝0.

剖析 在求解选择或填空题时,借助一些定理简化运算是合理的解题策略.但是很多学生在记忆定理或者结论时,通常会忽略定理的前提条件.上述定理的应用条件是点M在圆上,而在例1中,点M却在圆外,因此并不适用.

错解2 假设直线方程为y－1＝k(x－4),即kx－y－4k＋1＝0.按照求得k＝5/12,因此切线方程为5x－12y－8＝0.

剖析 求解此题可使用待定系数法,通过点斜式假设直线方程后求解.而使用点斜式的前提是有斜率,因此忽略了斜率不存在时的情况,此题的正解为x＝4或5x－12y－8＝0.

在学习过程中还有很多类似的案例,如在使用直线法方程的截距式时,很容易忽略截距为0的情况;在使用等比数列求和公式时,很容易忘记公比为1的情况等.教学中教师应当提醒学生关注这些条件,正确引导学生在恰当的条件下运用公式或定理等,由此提高解题效率.

2 考虑问题不全面

在解题过程中全面看待问题是正确解题的基础.在进行式子变形或条件转化时应考虑到等价性,如变量的范围等,这些都是容易疏忽的内容.

例2 已知直线y＝(a＋1)x－1与抛物线y2＝ax有1个公共点,实数a的取值范围为________.

剖析 上述解题法仅想到了(a＋1)2≠0时的状况.实际上,当(a＋1)2＝0时,即a＝－1时,得出的直线为y＝－1与抛物线y2＝－x也仅有1个公共点.因此正确答案为a＝－4/5或a＝－1.

除了直线与圆锥曲线相切时有1个公共点外,直线平行于抛物线对称轴或者平行与双曲线的渐近线时,也只有1个公共点.因此在解题时,应当综合考虑.

3 缺乏对问题的直观认识

在求解时,很多学生只是死记硬背公式、定理等,没有结合具体图形来求解,最终导致错误.

例3 已知抛物线的方程为y＝2ax2(a＜0),此时焦点坐标为( ).

A (0,－1/8a); B (－a/2,0);

C (0,－a/2); D (0,1/8a)

错解 按照抛物线方程为y＝2ax2,已知抛物线的对称轴为y轴,2p＝－2a,因此p＝－a,p/2＝－a/2,因此焦点坐标是(0,－a/2),正确选项为C.

剖析 在解题时,应当先正确理解概念,科学记忆抛物线的标准方程为y2＝2px、y2＝－2px、x2＝2py、x2＝－2py.一次项系数的正、负决定了其开口朝向及对称轴的正、负.在看到与抛物线相关的题目时,应先把方程变为标准式,随后再求出抛物线的焦参数p.在求参数时,应注意到p＞0.因此标准方程中一次项系数的绝对值是2p.在得到p后,再去求解抛物线的几何性质.本题的方程为x2＝－2py型,图象如图1所示,焦点坐标为(0,－p/2).正确得出p＝－1/4a后,就能够得到焦点坐标为(0,1/8a),因此应选D.

综上所述,在教学中教师应当指导学生合理记忆概念、公式、定理,同时为学生创造良好的学习环境,教会学生在不同的条件下怎样正确地使用这些知识.经过长期培养,学生就能够全面地看待问题,由此提高解题效率.

图1

江苏省金湖中学)