高中数学解题教学中常用的化归思想方法研究

◇ 江苏 吉佩军

高中数学解题教学中常用的化归思想方法研究

◇ 江苏 吉佩军

化归思想是指在研究数学问题的过程中,将原问题通过变形使之转化为学生熟悉的、具体的、简单的问题,从而使问题得以快速有效解决.在高中数学解题教学中,教师要抓住问题本质,有效渗透化归思想方法,从而帮助学生掌握解题技巧,提升学生迁移能力和解题能力.对此,笔者从自身教学实践入手,分析高中数学解题教学中常用的化归思想,以供参考借鉴.

1 巧借特殊化法,尝试特例,出其不意

特殊化是数学解题中一种重要化归思想方法,它是将亟待解决的问题化归为一种特殊形式,然后从特殊形式中寻找原问题的结论及解决方法.许多数学问题存在着一定的特殊性,借助特殊化将数学问题转化为可变元素的特殊值、特殊函数、特殊位置等,往往可以使问题迎刃而解.

取a＝b＝c,则∠A＝∠B＝∠C＝60°,可得

2 利用构造法,建立模型,化解难题

构造法,即在解题过程中,根据题设已知条件和结论的特殊性,构造出符合题意的数学模型,将未知化为已知,从而使问题得以快速有效解决.比如,在不等式证明问题中借助构造法构造辅助函数,可将原问题转化为函数问题,再利用函数性质求解.

证明 设u＝x＋1/x,则f(u)＝u＋1/u.因为x＋1/x≥2,则u≥2.设2≤α≤β,则

因为2≤α≤β,所以αβ＞1,α－β＜0.所以f(a)－ f(β)＜0,f(x)在[2,＋∞)上单调递增,因此

又如,在解某些函数最值问题时,我们可以根据题意中的几何意义,借助构造法构造几何图形,引导学生充分利用几何图形的直观性解题,往往可以达到事半功倍的效果.

图1

fmin(x)故f(x)最小值为

3 妙用换元法,变形转换,化难为易

换元法,即在解决数学问题的过程中,通过设元、转化、变形,将陌生问题转化为学生熟悉的问题.换元法是数学解题中较为常见的思想方法,灵活巧妙地运用换元法对数学问题进行转换,可以简化解题过程、提高学生解题效率.在平时解题教学中,教师要立足实际,巧借换元法,化繁为简、化难为易.

例4 已知a2＋b2＝4,x2＋y2＝9,求ax＋by的最大值.

一般地,若题目中存在a2＋b2＝r2(r≥0),可设a＝rcosα,b＝rsinα进行三角换元,将原问题转化为与三角函数有关的问题,然后再运用三角函数知识对问题进行求解.

由a2＋b2＝4,可设a＝2cosα,b＝2sinα;由x2＋y2＝9,可设x＝3cosβ,y＝3sinβ.

于是有ax＋by＝6cosacosβ＋6sinasinβ＝6cos(a－β)≤6,当且仅当a－β＝2kπ(k∈Z)时,上式中等号成立.

故ax＋by的最大值为6.

化归思想方法的巧妙运用,对于发展学生思维潜能、提升学生迁移运用、分析问题以及解决问题的能力发挥着积极的促进作用.在平时解题教学中,教师要结合典型例题,有效渗透化归思想方法,从而帮助学生掌握解题方法、提升学生解题能力.

江苏省建湖县第二中学)