辅助函数在高职数学微分教学中的应用

杨文贵 赵青波

（三门峡职业技术学院公共教学部，河南 三门峡 472000）

辅助函数在高职数学微分教学中的应用

杨文贵 赵青波

（三门峡职业技术学院公共教学部，河南 三门峡 472000）

高职院校的学生的基础和学习能力相对来说比较差，然而微分知识在高职数学教学又非常重要，那么教师就必须采用一定手段。在本文中主要介绍辅助函数在高职数学微分教学中的应用，通过已知的微分中值定理，解决一些对于高职学生来说较为困难的问题。

高职数学；微分；辅助函数

由于高职院校的学生的基础和学习能力相对来说比较差，然而微分知识的高职数学教学又非常重要，在高职微分一些知识教学中，如果教师采用直接讲授方法进行讲授的话，学生可能无法接受，所以教师必须采取一些新的教学方法，进行深入浅出地讲解。

在这篇论文中，主要介绍利用微分中值定理来解决一些对于高职学生来说较为困难的问题。微分中值定理又称为微分学基本定理，包含罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）中值定理等三个微分中值定理。微分中值定理是微积分教学中的核心内容，在教学上对学生有较高的要求，由此可见，微分中值定理在微分教学中的重要性。对于我们高职学生来说，尽管不要求他们能够掌握住定理的证明，但是高职学生也应该了解它们，并掌握住它们的一些应用。

目前，存在的文献中关于构造辅助函数的应用主要是针对数学专业的学生和本科院校的工科学生，据我了解，针对于高职学生的，还没有相关的文献。所以，本文针对高职数学所做的辅助函数构造的应用是新的，也是对于以前的文献的很好补充。辅助函数即是辅助解决问题所用的函数，构造辅助函数的方法是在讲授一元函数微分中值定理之后出现的一种重要方法，在文献中从不同角度进行了论述，对于微分中值定理证明中关于辅助函数的做法也进行了讨论。微分中值定理的理解和应用是教学中的难点，因此如何应用中值定理证明一些问题也给一些教师和学生带来不少困惑，本文通过例子总结一下在教学过程中做辅助函数的一些体会，希望能引起同行的共鸣。

本文将分为三个部分进行论述：第1部分：为了方便后面的论述，我们将给出三个微分中值定理。第2部分：我们将介绍利用微分中值定理和构造一些合适辅助函数，来证明一些等式问题。在第3部分：通过一些简单变形，同时利用微分中值定理和辅助函数，来证明一些不等式问题。最后，做一个简短的结论。

一、基本的已知结论

在这个部分，我们主要是给出微分的三个中值定理，几个定理在后面的运用起到了至关重要的作用。费马引理：可设一个函数f（m）在点u0处的某一个领域内是有定义的，并且在f（u0）是有定义的，而且在f（u0）处导数存在，如果对于任意的f（u）≤f（u0）或者f（u）≥f（u0），则就有f（u0）=0。函数y=y（u）是一条连续的曲线，并且两个端点的函数值相等，也就是说f（m）=f（n），我们可以很容易发现在函数的最高点和最低点，函数都有水平的切线，如果记该点为（a，f（a）则就有f'（a）=0现在用数学语言描述出来就是：弦MN平行x轴，即弦的斜率为零， 注意：该定理并没有说明a的具体位置，只是说a位于开区间定义域之间某个位置，（a可以是一个，也可以是两个或者两个以上）微分中值定理是微分学中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限，在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微，可导的函数必连续，不连续的函数必不可导，导数就是一个求函数极限的过程。常数的导数为零，即如果一个函数在区间上每一点的导数为零，那就有此函数为常函数。推论1 如果在区间（m，n）上有f'（u）=0，那就有f（u）为一个常数。任意两个点的函数值相同的函数一定为常数，此推论的几何意义就是说，斜率都为零的曲线是一条垂直于y轴的直线。推论2 假设在（m，n）内有φ'（x）=φ'（x），则有φ'（x）=φ'（x）+c（c为常数），此推论的几何意义就是说：φ（x）和φ（x）为两条平行的曲线。

定理1（罗尔中值定理） 若函数f满足如下条件：

（1）f在闭区间［a，b］上连续，

（2）f在开区间（a，b）内可导，

（3）f（a）=f（b），

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

f'（ξ）=0.

定理2（拉格朗日中值定理） 若函数f满足如下条件：

（1）f在闭区间［a，b］上连续，

（2）f在开区间（a，b）内可导，

（3）f（a）≠f（b），

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

为了方便起见，我们利用辅助函数的方法给出拉格朗日中值定理的一个简单证明。首先，我们看到拉格朗日中值定理与罗尔定理的条件就第三条不同。

根据定理2的条件，我们可以看到，F（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且F（a）=F（b）。利用罗尔定理，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f'（ξ）=0，即有定理2的结论。

定理3（柯西中值定理）若函数f满足如下条件：

（1）f与g都在闭区间［a，b］上连续，

（2）f与g都在开区间（a，b）内可导，

（3）f'与g'内不同时为零，

（4）g（a）≠g（b），

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

分析 需作一辅助函数F（x），满足Rolle中值定理。

证：作辅助函数

由于f（x）和g（x）都在［a，b］，在（a，b）内可导，则f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且F（a）=F（b）=0.根据Rolle中值定理，有

这里必有g'（ξ）≠0.否则由上式，g'（ξ）=0也必有F'（ξ）=0，从而与定理条件

（3）相矛盾。

二、辅助函数来解决一些等式问题

主要是构造合适的辅助函数，使其满足某一些微分学（这里主要是微分中值定理）的条件，然后根据定理可得出结论，或做些变形得出结论.

（一）积分法。

例1 设f（x）可导，试证f（x）的两个零点之间一定有f（x）+f'（x）的零点。

分析 需构造一个辅助函数F（x），使F'（ξ）=f（ξ）+f'（ξ），或者f（ξ）+f'（ξ）是F'（ξ）的一个因子，而另一个因子非零，因为［exf（x）］'=ex［f（x）+f'（x），故可作辅助函数F（x）=exf（x）。

例2 设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，0＜a＜b

分析

证 作辅助函数

F（x）=xf（x），G（x）=lnx。由题设知：F（经）与G（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，满足Cauchy中值定理的条件。

（二）常数C值法。

关于a，b，c的轮换对称式。令b=x（或令a=x或c=x），得辅助函数

由题设与证明知：F'（x）在（ξ1，ξ2）满足Rolle定理，所以结论得证。不等式的证明是微积分中的常见问题之一，在利用单调性证明不等式问题中，通常情况下是将不等式两边相减之后的函数作为辅助函数。

三、辅助函数来解决一些不等式问题

在这一部分，我们利用辅助函数来解决一些不等式。这些不等式有时看着比较简单，但是如果不采用辅助函数证明的话，还是有一定困难的。我们主要是针对以下两种形式的不等式，采用辅助函数进行证明。罗尔定理适合于证明导数在个别点处的值为等式的问题，即在点处使得解决这类问题的关键是找到这个辅助函数（即原函数）F（x），使其满足罗尔定理的三个条件成立，需要注意的是有些问题还需要寻找满足定理条件的闭区间。介绍用逆推法观察得到辅助函数（原函数）和利用不定积分求出辅助函数（原函数）的方法。

（一）通过简单变形，证明柯西中值定理可以仿照拉格朗日中值定理的证明，我们可以选取有方向的线段m的值的函数f（n）为为一个辅助的函数进行证明。函数单调性的判定定理很容易判断较为复杂函数的单调性。从函数的图形来看，增函数就是向上升高的函数，减函数就是函数下降的函数。从图形的几何意义来说，函数的斜率就是函数的一阶导数，当一阶导数为正时，函数图象递增向上；当一阶导数为负时，函数的图象也就随之走下坡路了。换句话说，函数的增减性与一阶导数联系十分密切。

（二）不等式两端行状比较相似或对称问题

例3 证明：eπ＞πe.

这样的问题都是构造辅助函数，再根据辅助函数的单调性，便可得证此类命题。

总结

在本文中，通过利用微分中值定理和构造合适的辅助函数来解决了一些高职数学中的难题。同时我们也指出了在构造辅助函数时，要根据题目中的条件来构造辅助函数的相应方法。

［1］刘勇.高等数学中的构造辅助函数［J］.黄山学院学报.2009 （11）.

［2］李君士.两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法［J］.数学的实践与认识.2004 （34）.

［3］刘文武.两个微分中值定理证明中辅助函数作法探讨［J］.数学的实践与识.2005（35）.

［4］朱崇军.徐侃.微分中值定理应用中辅助函数的构造［J］.高等函授学报（自然科学版）.2008（22）.

［5］宋振云.陈少元，涂琼霞.微分中值定理证明中辅助函数的构造［J］.高师理科学刊.2009（29）.

［6］郑建英.高职数学［M］.高等教育出版社.2014.

foundation and learning ability of vocational college students is relatively poor， however the differential knowledge in mathematics teaching in higher vocational education is very important.So teachers must use some means， in this paper， mainly introduces the auxiliary function in the differential of higher vocational mathematics teaching should be used.The known differential mean value theorem to solve some of the higher vocational students is difficult problem.

higher vocational mathematics； differential； auxiliary function

G642

A

1671-864X（2016）07-0179-02