解决圆锥曲线问题的三个策略

朱培贤（甘肃省张掖市第二中学，甘肃 张掖 734000）



解决圆锥曲线问题的三个策略

朱培贤
（甘肃省张掖市第二中学，甘肃 张掖 734000）

摘 要：本文针对高考圆锥曲线问题所涉及的题型给出三种解决策略，从化归的数学思想出发揭示用代数方法解决几何问题的操作程序，从而让学生学会灵活应用等价转化的方法将难点转化为易于计算的问题。

关键词：几何关系；代数条件；转化

一、注重对圆锥曲线概念的理解，求解圆锥曲线方程

（一）待定系数法

如果题中已经给出方程，但基本量未知，可以根据题中给的条件联立方程求解基本量。

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．

（二）直译法

当我们很难判定动点P的运动规律符合那种已知曲线定义时，可以建立点P满足的等量关系，先将点P所满足的几何等量关系表示出来，再利用点P的坐标来将该等量关系表示出来，这样就能够得到相应的等量关系式，最终得到相应的轨迹方程。

（三）参数法

当直译法也无法求得轨迹方程时，则可以寻找动点P的某个运动几何量t，将这个量作为本次解题的参变数，从而利用P点的坐标X与Y来与参数t分别建立函数关系x＝f（t），y＝g（t），最终将参化转化为轨迹方程F（x，y）＝0。

用参数法求解的过程中，选取的参数是其中的关键，一般的参数选用都是具有某种物理意义或几何意义，比如具有时间、速度、角度、距离等数量，同时也可以是直线的斜度或点的坐标等。在选取参数的过程中还需注意的是参数的取值范围对动点坐标取值范围的影响。

（四）代入法（相关点法）

当动点P的运动是由另外一点P′的运动而引起的，并且另外一点P′的运动规律是已知的，也就是说这点的坐标是已知的曲线方程，就可以先设出P点的坐标，拥P点的坐标来表示出P′点的坐标，再将P′点代入到已知的曲线方程中，从而获取P点的轨迹方程。

二、发掘题中所需要转换的几何关系，转化成相应的代数关系

例1中“圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥”为核心的几何关系，可以转化为两个代数关系：1.原点到该圆切线的距离等于圆的半径，假设满足题意的圆存在，其方程为x2＋y2＝R2，其中0＜R＜2.设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A（x1，y1），B （x2，y2）两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为

可转化为x1x2＋y1y2＝0，将y＝kx＋m，其代入椭圆E的方程并整理得（2k2＋1）x2＋4kmx＋2m2－8＝0，由方程根与系数的关系得。因为⊥，所以

x1x2＋y1y2＝0，从而可得（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0，即。通过以上两个转化可以得到，所以存在圆满足题意。

能否实现几何条件向代数条件的灵活转化是突破圆锥曲线难点的关键，下面总结了一些几何条件向代数条件转化的办法。1.“中点弦问题”可以转化为“点差法”；2.“直线与曲线相切”可转化为△=0；3.“三角形面积”可转化为“d”或者“分割三角形求解”；4.“等边三角形”可转化为“d=|AB |”；5“.·=0或⊥”转化为“x1x2＋ y1y2=0”；6“.=λ+”转化为“横、纵坐标相等”；7“.菱形”转化为“S=|BD ||AC |”；8“.角平分线”转化为“角平分线上的点到角的两边的距离相等d1=d2”；9.“X轴平分角”转化为“斜率互为相反数”；10.“”转化为“”；11“.）”转化为“AD是△ABC中BC边的中线”。

三、注重运算技巧，事半功倍

重视提炼归纳数学思想于数学方法，从而简化解题过程优化解题思维。

（一）用好函数思想方法

一般圆锥曲线上的动点，可以利用变化过程中的相互联系与相互制约的量，让一些线长与a、b、c、e之间形成相应的函数关系，再通过函数思想来处理这些问题就会变得更加有效，在解答问题时可以充分利用“数形结合”的思想、弦长公式以及韦达定理去求解，从而充分强化学生对各种数学能力的利用。

（二）掌握坐标法

坐标法是解答圆锥曲线问题的基本方法。近几年的考试过程中，基本都对坐标进行了考查，因此强化坐标法的训练非常重要。解析几何的实质是用代数方法解决几何问题，因此转化的数学思想方法在解决圆锥曲线问题时至关重要，同时，计算速度和准确性对圆锥曲线问题的解决也不容忽视，所以日常学习中要加强练习，不断积累，争取做到对圆锥曲线问题有的放矢。

参考文献：

［1］王道金.例谈平面几何方法在解决圆锥曲线问题中的辅助功能［J］.数学通讯，2015（4）.

［2］韩晓刚.“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问题［J］.学周刊，2011 （4）.

［责任编辑 赵建荣］

Three Strategies to Solve the Problem of Conic

ZHU Pei-xian
（Zhangye No. 2 Middle School，Zhangye Gansu，734000，China）

Abstract:In this paper，according to conic problem involved in the university entrance exam，three resolution strategies are given. The geometric problem could be solved through algebraic method，and students can learn to transform difficulty into easy calculation by flexibly using equivalence conversion method.

key words:geometric relationship；algebraic conditions；conversion

中图分类号：G63

文献标识码：A

文章编号：1673-9132（2016）19-0090-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.19.057