“讨价还价”的“纳什解”的形成路径与结论拓展

摘要建立了一个“讨价还价”的双边适应性预期模型，并利用这个模型的二元常系数线性差分方程组，揭示“纳什讨价还价解”的形成路径.对于不是“纳什讨价还价解”的一般讨价还价的成交结果，同样可以运用这样一个模型来揭示.基于这个模型，当买、卖双方希望成交，各方的出价通过逐次调整会最终收敛到同一个常数，因此能够从理论上保证讨价还价最终成交.双方当中有一方不肯让价而成交的情形，可以作为这个模型退化成为单边适应性预期模型的情形.举例计算说明了一个讨价还价问题的收敛过程与结果.

关键词理论经济学；讨价还价；合作博弈；适应性预期；收敛

中图分类号 文献标识码A

AbstractA bilateral adaptive expectation model of “bargain” was set up， a binary constant coefficients liner difference equation system of the model was used， and a formation path of “Nash Bargaining Solution” was explicated. This model can also be used to explicate a common conclusion of bargain that is not “Nash Bargaining Solution.” Based on this model， bids of both buyer and seller all converge to same constant if they wish to clinch a deal， so that the “bargain” can clinch a deal ensured in theoretical meaning. A situation can be as the degeneration of the model that both clinch a deal although one of them keeps own bid from beginning to end， because it becomes a single adaptive expectation model. An example was drawn upon to verify the process and result of a common bargain problem.

Key words theoretic economics； bargain； cooperation game； adaptive expectation； convergence

1引言

“讨价还价”是现实生活中非常普遍的经济现象.在经济学理论中，用合作博弈理论来解释“两人讨价还价”及成交问题， 在由个体理性、帕累托强有效性、对称性、等价盈利描述的不变性、无关选择的独立性五个公理组成的“纳什公理”下，能够证明“两人讨价还价”问题存在满足“纳什公理”的唯一解（施锡铨，2012）[1].“两人讨价还价”问题的“纳什解”被广泛应用于一类微观经济活动.并且，已经有人尝试将其运用于马克思的社会再生产宏观经济模型，获得了社会扩大再生产的“纳什讨价还价解” （陶为群，2015）[2].然而，“纳什讨价还价解”仅仅是一个结果，只有当这个结果与 “两人讨价还价”合作博弈抽象过程直接联系到一起，才能够从理论意义上把“纳什解”当作 “两人讨价还价”的一种典型结果.因而，需要具体给出“纳什解”的形成路径.这就首先需要对于买、卖双方逐次讨价还价、最终成交的典型过程加以归纳和提炼，建立“纳什解”形成路径的具体模型，从而完整地确立“讨价还价”问题的“纳什解”.另外，从本质上讲“讨价还价”合作博弈的结果是双方地位对比的反映，而“纳什公理”中的对称性公理过于侧重公平性，所以理论上的成交价格也过于体现买、卖双方出价的平均化.这与现实的“讨价还价”中“店大压客”或者“客大压店”的情形不吻合，因此理论上的“纳什解”成交价格也只是一种理想化的结果，并不能一般性地解释 “讨价还价”的成交价格.已经有研究从合作博弈的角度建立各个局中人地位对称的三方相互威慑讨价还价模型（龚智强，谢政，戴丽，2015）[3]，为探索“讨价还价”的 “纳什解”的结论拓展提供了有益的启示.所以，不仅需要明确 “讨价还价”的 “纳什解”的形成路径，而且需要对由这个路径形成的结论加以拓展，使其能够一般性地解释 “讨价还价”的成交过程与结果.通过建立一个“讨价还价”的双边适应性预期模型，可以阐明“纳什解”的形成路径并对由这个路径形成的结论加以拓展.

经济数学第 33卷第2期

陶为群：“讨价还价”的“纳什解”的形成路径与结论拓展

2一般讨价还价问题的“纳什解”

假设对于一件商品买、卖双方都有成交的意愿，但对于价格有不同的诉求，于是进行讨价还价.分别以ps0，pd0表示卖方、买方初始出价.买方初始出价会低于卖方初始出价，因而有：

pd0

合作博弈中有一个基本概念是利益分配， 那么对于这一件商品来说， 卖方与买方初始出价之间的差额（ps0-pd0）就成为买、卖双方利益分配的具体对象.以x表示经过讨价还价成交时买方获得的利益，那么卖方获得的利益就是（ps0-pd0）-x.最终成交时买方出价是卖方初始出价减去买方获得的利益.以pd表示：

pd=ps0-x. （2）

而最终成交时卖方出价是买方初始出价加上卖方获得的利益.以ps表示：

ps=pd0+（ps0-pd0）-x=pd. （3）

因而，用买、卖双方初始出价之间的差额作为利益分配的具体对象是自然、适宜的.合作博弈的买、卖双方有各自的效用，是利益分配的函数，会影响其对于利益分配的衡量.分别以ud，us表示买方和卖方关于利益分配的效用，并假设买、卖双方的效用是所获得的利益的某个倍数.即，

ud=adx，

us=as（ps0-pd0-x）. （4）

式（4）中ad，as都是常数.对于“两人讨价还价”问题，在 “纳什公理”下，存在满足“纳什公理”的唯一讨价还价解，它是使“纳什积”ud×us达到最大的解.因此将式（4）代入“纳什积”，就形成一般的“讨价还价”问题的目标函数：

max {[adx]×[as（ps0-pd0-x）]}.（5）

目标函数中的“纳什积”是待定变量x的二次函数，使用求函数最大值的方法，很容易求得目标函数的最优解，就是“纳什讨价还价解”.

=12（ps0-pd0）. （6）

将代入最终成交时买、卖双方出价pd和ps的表达式，得到：

pd=ps=12（pd0+ps0）. （7）

式（7）表明，当买、卖双方的效用都是利益分配的某个倍数，则按照“纳什讨价还价解”最终成交价格是买卖双方初始出价的中间价.虽然这是“两人讨价还价”的一种典型结果，但是从逻辑上讲，需要明确提出“纳什解”的一条形成路径，作为这种结果与“两人讨价还价”合作博弈抽象过程之间的纽带，才能够确立“纳什解”对于“讨价还价”成交价格的理论意义.

3讨价还价的双边适应性预期

模型及其退化情形

如果一般的讨价还价问题存在着“纳什解”，就意味着买卖双方的“讨价还价”合作博弈过程是收敛的，并且收敛到“纳什讨价还价解”.而收敛的前提条件，是每一方都根据另一方的出价不断调整本方的出价，从而使双方的出价逐步接近，使“讨价还价”过程收敛.“讨价还价”的收敛，也就是在合作博弈中每一方都根据另一方的利益分配诉求，不断调整本方的利益分配诉求，最终使双方的利益分配诉求之和等于可供分配的总的利益，从而得以成交.分别以pdn，psn表示买方、卖方在讨价还价中的第n次出价，以xn，yn表示买方、卖方的第n次利益分配诉求（n=0，1，2，3…），直接成为各方的博弈策略.那么各方的每次出价和利益分配诉求之间是一一对应关系.

pdn=ps0-xn，

psn=pd0+yn，

n=0，1，2，3，…（8）

以双方的初始出价差额（ps0-pd0）作为可供分配的总的利益.在合作博弈中每方的初始策略是：

x0=y0=ps0-pd0.（9）

由于双方的初始出价不同，也就是初始策略之和超过可供分配的总的利益，因而需要通过讨价还价，最终使双方的出价相同，才能够成交.

可以假设“讨价还价”的次序是首先由卖方给出初始出价ps0，然后由买方给出初始出价pd0，那么由于双方的初始策略之和超过可供分配的总的利益，无法成交，所以双方都必须对本方的初始策略进行调减，重新提出策略；再由卖方提出第1次策略，然后由买方提出第1次策略；…，照此逐次进行下去， 买方、卖方分别逐次提出本方的第n次策略xn，yn，形成双方对于本方的策略逐次调整的过程，是一个“讨价还价”合作博弈过程.如果反过来，将合作博弈的次序改为每次先由买方、再由卖方提出本方的策略，完全不影响“讨价还价”合作博弈的结果.买方、卖方的逐次提出的策略形成两个相互关联的无穷数列xn，yn，最终成交对应着这两个数列收敛.于是，需要建立一个模型来归纳和提炼由“讨价还价”合作博弈所形成这两个策略数列，并证明这两个数列收敛，从而具体给出“纳什解”的形成路径.

在讨价还价中，必须买、卖双方至少有一方诚心成交才有可能达成交易；而一般的成交状况是双方都希望成交，因而都逐次对于本方的博弈策略加以调整，形成下一轮次策略，所以买、卖双方“讨价还价”合作博弈是各方对于本方策略进行适应性预期调整的过程.经典的适应性预期模型当中只有一个主体，这个主体根据自身预期状况与实际状况之间的差距，对自身预期状况不断加以调整.因而调整的内容是自身预期状况；调整的参照物是实际状况.而在讨价还价合作博弈中，有买方、卖方两个主体，因而是双边的适应性预期调整.调整的内容是本方预期的利益诉求也就是策略.由于双方能够实际获得的利益是此长彼消的，于是一方必须根据对方的策略来调整本方的策略，因而调整的参照物只能是对方的策略.而如果要完全适应对方的策略，那么买方采取的第n次策略就应当是（ps0-pd0）-yn；卖方采取的第n次策略就应当是（ps0-pd0）-xn.所以，可以归纳和提炼成一个双边适应性预期模型（王曦、陈淼，2013） [4].

xn+1=xn+βd[（ps0-pd0-yn）-xn]，

yn+1=yn+βs[（ps0-pd0-xn）-yn].

n=0，1，2，3，…（10）

βd，βs称为适应系数，在此分别表示买、卖双方对于本方策略向适应对方策略调整的幅度，反映了向对方妥协的程度.如果一方的适应系数为0，表示完全坚持本方策略而丝毫不向对方妥协；如果一方的适应系数为1，表示完全向对方妥协而接受了对方策略.假如有某方的适应系数小于0，则由于双方的初始策略之和超过可供分配的总的利益即x0+y0>ps0-pd0，

就意味着各方下一轮次策略值更高，那么双方策略之和更超过可供分配的总的利益，不可能成交，因此排除这种情形.讨价还价持续进行的原因是在各轮次双方都不能够完全适应对方策略.根据式（10），假如一方的适应系数大于1，就意味着本方下一轮次策略值低于如果完全适应对方策略的本方本轮次策略值，也就是xn+1<（ps0-pd0）-yn或者yn+1<（ps0-pd0）-xn，这都已经超过了完全适应对方策略的妥协程度，因此也排除这种情形.所以，确定在模型中适应系数的取值范围限定在：

0≤βd，βs≤1.（11）

将式（10）代入式（8），可以对应地获得买、卖双方对于本方出价进行双边适应性预期调整的模型：

pdn+1=（1-βd）pdn+βdpsn，

psn+1=βspdn+（1-βs）psn.

n=0，1，2，3，…（12）

式（12）表明：买、卖双方的第n+1轮次出价pdn+1，psn+1都是双方的前一轮次出价pdn，psn的固定加权平均数，数值介于二者之间.这比较贴近现实当中最简便的讨价还价方式.

有一种特殊的情形是买、卖双方的适应系数之和恰好等于1.即

βd+βs=1.（13）

在这种特定条件下，将式（10）中两式取n=0相加并将式（13）代入，得到：

x1+y1=x0+y0+（βd+βs）×[ps0-pd0-（x0+y0）]=ps0-pd0. （14）

即，只经过一次讨价还价双方的策略之就恰好等于可供分配的总的利益，对应着双方的出价完全相同，因而成交使合作博弈终止.这是因为恰巧在讨价还价中买、卖双方的适应系数是互补的.

根据常识，如果卖方不肯让价而成交，那么只有买方单方面妥协，以卖方初始出价成交.这是讨价还价的双边适应性预期模型式（10）退化成为买方单边适应性预期调整的一种特殊情形，可以用在模型式（10）中卖方的适应系数取特定值βs=0来说明.由于卖方不肯让价，坚持获得全部可供分配的利益即yn=（ps0-pd0）（ n=0，1，2，3，…）而丝毫不向买方妥协，因此这种情形下只有买方完全（一次到底）或者不完全（逐步）向卖方妥协才能成交.如果买方完全向卖方妥协，则买方的适应系数βd=1，根据式（13）和式（14）经过一次讨价还价双方就以卖方获得全部利益（ps0-pd0）也就是以初始出价ps0成交.如果买方不完全向卖方妥协，并没有改变问题的实质，这时买方的适应系数0<βd<1.式（10）中的买方策略方程就简化成为xn+1=（1-βd）xn，当“讨价还价”无限进行下去，通过迭代买方逐轮次策略就向零收敛.

双方最终以卖方初始出价ps0成交.

同样根据常识，如果买方不肯让价而成交，那么只有卖方单方面妥协，以买方初始出价成交.这是讨价还价的双边适应性预期模型式（10）退化成为卖方单边适应性预期调整的一种特殊情形，可以用在模型式（10）中买方的适应系数取特定值βd=0来说明.由于双边适应性预期模型式（10）对于买、卖双方具有完全对称性，所以与卖方“不可还价”成交的道理类似，不管卖方完全（一次到底）或者不完全（逐步）向买方妥协，都是以买方获得全部利益（ps0-pd0）也就是以初始出价ps0成交.

讨价还价成交的一般情形是买、卖双方都不完全向对方妥协，因而都对于本方初始策略进行适应性预期调整，因此最终以买、卖双方各获得全部利益（ps0-pd0）中的一部分，也就是也双方初始出价之间的某个价格成交.这种情形下买、卖双方的适应系数都介于0到1之间并且不是互补的.并且在现实当中，一般买、卖双方对于本方策略比对方策略更为看重，因而向适应对方策略调整的幅度会小于0.5，也就是适应系数会小于0.5.因此可以进一步缩小适应系数取值范围是：

0<βd，βs<0.5.（16）

这意味着在式（12）表示的买、卖双方的前一轮次出价加权平均形成各方本轮次出价当中，前一轮次本方出价所占权重高于对方出价所占权重.

顺便指出：适应系数βd，βs分别是买、卖双方自身的秘密，只是由本方使用的参数，对方并不知晓数值.以下以式（16）作为约束条件，运用双边适应性预期模型式（10）研究一般的讨价还价中双方调整博弈策略和成交情形.

4 一般讨价还价的双边适应性预期

模型的解的唯一存在性

将式（10）稍加变形，成为：

式（26）表明，由于在“讨价还价”过程中买卖双方的利益诉求分别向x*和y*收敛，因而双方出价趋向于完全相同，于是，能够从理论上保证“讨价还价”趋向于成交.

差分方程组式（17）的平衡解x*和y*是一个特解.根据差分方程组的一般理论，可以由特解x*和y*以及将式（17）去掉常数项后的常系数齐次线性差分方程组的通解，获得常系数非齐次线性差分方程组式（17）的通解.为此先求式（17）去掉常数项后的齐次差分方程组的系数矩阵的特征值.很容易解出两个特征值λ1=1和λ2=1-（βd+βs）.将两个特征值代入常系数线性差分方程组的通解的一般公式，可得到非齐次线性差分方程组式（17）的通解.再根据这个差分方程组有初始值x0，y0，利用得到的通解和特解x*，y*，得到常系数非齐次线性差分方程组式（17）有初始值x0，y0的解：

xn=βdβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n+x*，

yn=βsβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n+y*，

n=1，2，3，…. （27）

根据线性差分方程组的一般理论，差分方程组式（17）有唯一的满足初始值x0，y0的解 （周义仓、曹慧、肖燕妮，2014） [6].所以式（27）就是差分方程组式（17）有初始值x0，y0的唯一解.

将式（27）代入式（8），得到讨价还价过程中双方逐次出价数列的通项：

pdn=ps0-βdβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n-x*，

psn=pd0+βsβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n+y*，

n=1，2，3，…. （28）

根据式（27）和式（16），买、卖双方预期调整的适应系数和可以接受的利益诉求差额，决定着“讨价还价”的成交（收敛）过程与结果.买、卖双方“讨价还价”的实际成交价格对应着通过逐次迭代获得的唯一收敛点的近似值.各方的适应系数越大，可以越快成交；可以接受的诉求差额起着计算精度的作用，精度越高成交过程越慢.双方成交的步骤是：当一方的某轮次策略与上一轮次策略不超过其可以接受的利益诉求差额，就可以忽略不计本方继续调整的结果；当各方都忽略不计本方继续调整的结果的时候，买、卖双方讨价还价就中止，该轮次的买、卖双方的策略就成为本方策略极限值的近似值，从而讨价还价近似达成均衡.所以，建立双边适应性预期模型式（10）作为买、卖双方讨价还价收敛从而成交的形成路径，从理论上讲是适宜的.这里指出：根据式（23）和式（27），买、卖各方策略的极限值都是双方的适应系数和初始出价的隐函数，所以并不能获得一般讨价还价的解析解.买、卖双方可以并不知晓利益诉求的双边适应性预期模型式（10），也并不知道讨价还价的收敛值，只要是在讨价还价中简单地按照式（12）逐次调整本方的出价，就必然趋于向双方出价的唯一收敛价格收敛并成交.

回过头来看，如果买、卖双方讨价还价是以“纳什讨价还价解”收敛，那么买方、卖方的逐次提出的策略数列xn，yn的极限x*和y*就是分别取特定值和.根据式（6）和式（24），这种情形下买、卖双方的策略极限值是相等的.即：

==12（ps0-pd0）.（29）

根据“纳什公理”当中的对称性公理，买、卖双方的地位完全平等，所以应当是双方将本方策略向适应另一方策略调整的幅度相等，也就是双方的适应系数相同.即：

βd=βs. （30）

将式（29）和式（30）代入差分方程组式（17）的通解式（27），得到讨价还价以“纳什讨价还价解”收敛的唯一解：

xn=yn=12[1+（1-2βd）n]（ps0-pd0），

n=1，2，3，…. （31）

根据约束条件式（16）并将式（31）与式（27）比较可以看出，买、卖双方讨价还价近似以“纳什讨价还价解”成交，只是一般的成交结果当中双方的适应系数相同的特定情形.所以，“讨价还价”的双边适应性预期模型式（10）不仅可以说明“纳什讨价还价解”的形成路径，而且可以拓展这个结论.讨价还价合作博弈的结果是买、卖双方地位对比的反映，一般情形下双方并不是地位完全平等的.所以，一方将本方策略向适应另一方策略调整的幅度并不相同，这就是现实的讨价还价当中“店大压客”或者“客大压店”的情形的集中体现.当买、卖双方都希望成交，处于相对强势地位的那一方向对方妥协的程度会低一些，具体表现在将本方策略向适应对方策略调整的幅度比对方小.所以，最终的成交价格会偏离“纳什讨价还价解”所代表的双方初始出价的中间价，而偏向处于相对强势地位的那一方的初始出价.

5一般讨价还价的双边适应性

预期调整与成交举例

下面，举一个例子具体说明讨价还价的双方怎样逐次调整出价及成交.假设有某件商品，卖方初始出价是ps0=95元，买方初始出价是pd0=60元.买、卖双方在给出自己出价的同时，也适当考虑对方的出价，并对本方出价进行逐次调整，形成下一次出价.假设买方、卖方对于对方出价的适应系数分别是βd=0.3和βs=0.2，意味着卖方处于相对强势地位.并假定买方、卖方可以接受的出价差额分别是0.5元和0.3元.也就是说只要买方、卖方的某轮次出价与上一轮出价的差额分别在0.5元和0.3元以内，就忽略不计本方继续调整出价的结果了.那么，将假设的ps0，pd0和βs，βd数值都代入式（12）迭代计算，表示买、卖双方根据讨价还价的适应性预期模型对于本方出价逐次调整.整个讨价还价的双边适应性预期调整过程列成表1.可以看到，卖方的逐次出价是递减的；而买方的逐次出价是递增的.经过7轮次讨价还价，买方、卖方的出价与上一轮出价的差额已经分别低于0.5元和0.3元，达到了双方各自可以接受差额，因而双方都可以不再继续调整出价而中止讨价还价.譬如，买方、卖方可以分别根据各自的第7轮次出价pd6=80.68和ps6=81.22取整数81元作为成交价格，于是双方经过8轮次讨价还价成交.那么，81元就是此例讨价还价的收敛价格的近似值.

6结论

建立双边适应性预期模型并利用这个模型的二元常系数线性差分方程组，揭示“纳什讨价还价解”的形成路径，可以增强买、卖双方的合作博弈存在这个解的理论意义.讨价还价以“纳什讨价还价解”成交，可以作为一般的成交结果当中的一种特定情形.对于多个局中人针对有利益分配具体对象的合作博弈问题，如果每个局中人的效用都是其获得的利益分配的某个倍数，那么这样的多方合作博弈问题也类似地存在“纳什解”，因而同样可以探索建立多边适应性预期模型来揭示“纳什解”的形成路径.并且，对于一般的多边适应性预期模型，也可以尝试运用常系数线性差分方程组作为求解的工具.

参考文献

[1]施锡铨. 合作博弈引论[M].北京：北京大学出版社，2012：17-27.

[2]陶为群.社会扩大再生产的“纳什讨价还价解” [J].当代经济研究，2015（5）：21-26.

[3]龚智强，谢政，戴丽. 三方相互威慑讨价还价模型[J].经济数学，2015，32（2）：87-92.

[4]王曦，陈淼.理性预期还是适应性预期：基于同业拆借市场的检验[J].学术研究，2013（1）：75-81.

[5]刘德祥，刘绍武，冯立新.数学分析方法选讲 [M]. 哈尔滨：黑龙江大学出版社，2014：197-198.

[6]周义仓，曹慧，肖燕妮.差分方程及其应用[M].北京：科学出版社，2014：81-103；123-124.