冗余陀螺测量单元的实验室标定方法设计

梁海波 梁 婕 孟 恭 许 昊 吕章刚

1. 北京航天自动控制研究所，北京 100854 2. 宇航智能控制技术国家级重点实验室，北京 100854



冗余陀螺测量单元的实验室标定方法设计

梁海波1,2梁 婕1孟 恭1许 昊1吕章刚1

1. 北京航天自动控制研究所，北京 100854 2. 宇航智能控制技术国家级重点实验室，北京 100854

提出了采用Kalman滤波对冗余陀螺的常值误差、标度因数误差和安装误差进行估计的实验室标定方法。采用小角度旋转向量法对安装误差进行建模，并设计了Kalman滤波器。在对滤波器的量测方程进行设计时，采用零空间扩增法来改善滤波器中各陀螺误差状态量的可观测性。通过仿真试验，表明该标定方法对所有误差状态量估计的平均相对误差均低于1%，从而证明了该方法的有效性。 关键词 标定；冗余陀螺；卡尔曼滤波；零空间扩增

陀螺作为飞行器控制系统的重要仪表，其可靠性的高低直接关系到飞行器任务完成的质量，在极端情况下陀螺的故障将导致飞行任务失败。通常，可以通过陀螺冗余技术来提高其可靠性。目前，尽管三轴陀螺配置方式的标定技术已趋于成熟[1-4]，但针对冗余配置的陀螺标定技术的研究却较少。其原因在于，随着冗余陀螺数量的增加，以及配置方式的日趋复杂，分离陀螺参数的难度也随之增加，且不同配置方式所采用的标定方法通用性较差[5]。这里，将研究九陀螺冗余配置单元的实验室标定方法，力求既能有效地分离误差参数，又具有一定的通用性。

1 九陀螺冗余测量单元

九陀螺冗余测量单元本体坐标系Oxyz与载体坐标系Oxbybzb重合，如图1所示，9个单轴陀螺按G1，G2，…，G9的顺序编号。陀螺测量单元的配置方式为：正交陀螺(G1，G4，G7)的敏感轴分别与本体坐标系Oxyz的各轴平行，然后以从本体坐标系的原点出发并与3个坐标轴的夹角相等的射线OO′为轴，旋转40°得到的正交陀螺(G2，G5，G8)位置，再次旋转40°得到的正交陀螺(G3，G6，G9)位置，9个陀螺恰好均匀分布在一个以O为顶点的圆锥体的锥面上。

图1 九陀螺冗余配置方式

设载体角速度在本体坐标系Oxyz的3个坐标轴上的投影为ω=[ωxωyωz]T，且9个陀螺的测量值为Z=[z1z2…z9]T。将各陀螺的测量噪声考虑在内，设其测量噪声为ζ=[ζ1ζ2…ζ9]T，并有如下统计特性

E{ζ}=0,E{ζζT}=σ2I9

(1)

根据九陀螺的配置方式，通过几何计算得到9个陀螺的测量方程为

Z=HX

(2)

利用最小二乘估计

(3)

2 基于Kalman滤波的标定算法设计

2.1 冗余陀螺误差定义

鉴于冗余配置的陀螺空间几何关系比原始三轴配置方式复杂，通过传统的速率试验配合位置试验对陀螺进行标定的难度较大，且对转台的精度要求较高。因此，采用Kalman滤波对冗余陀螺的误差参数进行估计是相对简单有效的方案。

为提高冗余陀螺测量单元的测量精度，需要对所有陀螺的输出误差模型进行定义，依据误差模型设计标定算法，从而在陀螺标称参数的基础上对误差进行补偿。这里，为了不失一般性，假设冗余陀螺测量单元由n个陀螺组成，针对每个陀螺主要考虑以下3类陀螺误差项。

(1) 常值误差

由于陀螺的真实零偏与标称零偏不一致而造成的测量误差定义为常值误差。由陀螺常值误差引起的测量误差为

Δmbi=bi

(4)

式中，bi为第i个陀螺的常值误差。

(2) 标度因数误差

由于陀螺的真实标度因数与标称标度因数不一致而造成的测量误差定义为标度因数误差。由标度因数误差引起的测量误差为

(5)

(3) 安装误差

在冗余陀螺测量单元内部，各陀螺在装配时不可避免地会与陀螺设计位置之间存在安装误差，从而产生测量误差。为此，可以针对每个陀螺的安装误差各采用2个参数δui和δvi加以描述，从而由第i个陀螺安装误差引起的测量误差为

Δmci=piδui+qiδvi

(6)

式中，pi，qi分别为第i个陀螺安装误差角的系数，具体表达形式将在下文详细推导。

2.2 冗余陀螺安装误差建模

冗余陀螺安装误差的建模在标定算法的设计过程中起着举足轻重的作用，模型的准确与否，直接关系到标定算法的优劣。这里，采用小角度旋转向量来描述冗余陀螺的安装误差角。

(7)

(8)

(9)

图2 采用小角度旋转向量表示的安装误差

δi=δuiui-δvivi

(10)

(11)

考虑n个陀螺的情况，定义

(12)

简写为

ωg=WTωt-Cv(ωt)δu-Cu(ωt)δv

(13)

其中，δu=[δu1δu2…δun]T，δv=[δv1δv2…δvn]T。这样，就建立了各陀螺安装误差角的数学模型。

2.3 滤波器系统方程设计

在冗余陀螺标定滤波器的设计过程中，首先需要确定滤波器要估计的状态变量。显然，要估计的变量为常值误差bi、标度因数误差ksi以及安装误差δui和δvi。这里为了更简便地说明问题，只以一个陀螺的误差系数为例进行说明。在标定过程中，可以认为这些量是常数，即导数为0。所以，系统状态方程可写为

(14)

由式(14)所示的连续系统方程可知，其状态转移矩阵为

(15)

考虑采样周期为Ts，式(14)离散化后满足如下线性系统方程和量测方程

(16)

其状态转移矩阵为

(17)

由此，确定了Kalman滤波器的系统方程。

2.4 滤波器量测方程设计

滤波器的量测方程反映的是转台输入角速率、陀螺输出角速率及状态变量三者之间的数学关系，下面对滤波器的量测方程进行设计。

当只考虑陀螺的标度因数误差ksi,常值误差bi和随机误差ζi时，第i个陀螺的输出角速率为

(18)

那么，n个陀螺的输出角速率可以表示成如下形式

ωm=(I-Ks)ωg-B-ζ

(19)

其中，Ks=diag(k1k2…kn)，B=[b1b2…bn]T。

根据式(13)和(19)，将各陀螺的安装误差考虑在内，陀螺测量值与转台输入角速率之间的关系为

ωm=(I-Ks)[WTωt-Cv(ωt)δu-
Cu(ωt)δv]-B-ζ

(20)

由于陀螺测量误差ksi，bi，δui和δvi都可以认为是小量，忽略二阶小量后，将式(20)化简为

ωm=WTωt-Cv(ωt)δu-Cu(ωt)δv-
[WTωt]k-B-ζ

(21)

其中，[WTωt]=diag(WTωt)，为n×n矩阵；k=[k1k2…kn]T。为便于计算，将式(21)写成如下形式

ωm=WTωt-(VΔu+UΔv+WKs)Tωt-B-ζ

(22)

其中，Δu=diag(δu1δu2…δun)，Δv=diag(δv1δv2…δvn)。

(23)

其中，G=WT。由于G列满秩，存在N为G的左零空间正交基，且具备如下性质[6]

(24)

则式(23)可以表示为

(25)

其中，E1=(GTG)-1GT(VΔu+UΔv+WKs)T，B1=(GTG)-1GTB，E2=NT(VΔu+UΔv+WKs)T，B2=NTB。

参照式(21)的形式，将式(25)写成矩阵形式

(26)

其中，G*=(GTG)-1GT=(WWT)-1W

(27)

至此，便得到了经过零空间扩增后的标定滤波器量测方程。

3 试验及结果分析

3.1 试验设定

针对九陀螺冗余配置方式，设九陀螺冗余测量单元标定滤波器的状态变量为

δv1…δv9]T，则满足式(16)的状态转移矩阵为Ak=I36×36，观测矩阵为

在标定滤波器设计完成后，通过仿真标定试验检验滤波器对状态量估计的精度和速度。这里，为了方便，将9个陀螺的误差设置为相同的参数，具体详见表1所示。

表1 标定仿真参数

参照文献[7-8]的方法，并结合以往标定经验，确定转台中、内、外框依次以均匀角速率转动，该方案如图3所示，转台三框角速率均取20(°)/s，标定时间取600s。

图3 转台运行方式

3.2 试验结果及分析

通过模拟转台的运行，实时更新量测方程，并利用Kalman滤波器将36个误差参数估计出来。在标定过程中，9个陀螺各自的测量值如图4所示。

图4 各陀螺的输出角速率

通过600s的标定试验，在450s后，9个陀螺各自的4个误差参数均已收敛到给定值。受篇幅所限，图5给出了1号陀螺各自误差系数的估计结果.由图可知，随着转台的运行，虽然每个陀螺各自的误差参数估计情况不尽相同，但均在仿真试验结束时收敛到真实值。图中各状态变量估计的±1σ误差带也反映出滤波器的估计性能，在试验结束时，各误差参数估计的误差带均已趋于0，说明滤波器对各个误差参数的估计精度非常可观。

需要说明的是，虽然标定滤波器中各状态变量的可观测性取决于系统模型，与转台的运行方式无直接关联，但通过对试验编排方式的设计，能够有效地激励各误差参数的收敛，缩短标定试验时间。

图5 1号陀螺的估计误差

为了更为直观地反映误差参数的估计精度，引入平均相对误差作为评估指标[9]：

(28)

表2 标定试验评估指标

4 结束语

针对冗余陀螺测量单元的实验室标定方法，建立了包括标度因数误差、常值误差和安装误差的模型，设计了Kalman滤波器对各个误差参数进行估计，并采用零空间扩增法来改善各状态变量的可观测度，仿真试验表明此标定方法可行有效，且具备一定的通用性。

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Method of Laboratory Calibration for Redundant Gyroscope Unit

Liang Haibo1,2, Liang Jie1, Meng Gong1, Xu Hao1, Lv Zhanggang1

1. Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China 2. National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Intelligence Control, Beijing 100854, China

Torealizethelaboratorycalibrationforredundantgyroscopeunit,amethodbasedonKalmanfilteringispresented.Themisalignmentanglesofredundantgyroscopesaremodelledbysmallanglerotationvectormethod,andtheKalmanfilterofcalibrationisdesigned.Furthermore,amethodofzero-spaceamplificationisproposedtoimprovetheobservabilityofthefilterstateswhenthemeasurementequationsofthecalibrationfilteraredesigned.Bysimulationtest,itshowsthatallthestatescanbeestimatedaccuratelywiththeaverage-relative-errorpercentbylessthan1%,whichprovestheeffectivenessofthiscalibrationmethod.

Calibration;Redundantgyroscopes; Kalmanfiltering;Zero-spaceamplification

2014-06-04

梁海波(1984-)，男，天津人，博士，工程师，主要研究方向为MEMS惯性导航与组合导航技术；梁 婕(1980-)，女，四川人，硕士，高级工程师，主要研究方向为控制系统电气设计技术；孟 恭(1986-)，男，山西人，硕士，工程师，主要研究方向为控制系统电气设计技术；许 昊(1988-)，男，北京人，硕士，工程师，主要研究方向为控制系统电气设计技术；吕章刚(1986-)，男，山东人，硕士，工程师，主要研究方向为控制系统电气设计技术。

V441

A

1006-3242(2016)01-0009-06