面向电磁装置磁-热耦合分析的异型网格映射方法

张宇娇　秦威南　刘东圆　吴刚梁（.三峡大学电气与新能源学院　宜昌　440022.清华大学电力系统国家重点实验室　北京　00084.国网浙江省电力公司金华供电公司　金华　200）



面向电磁装置磁-热耦合分析的异型网格映射方法

张宇娇1，2秦威南3刘东圆1吴刚梁1
（1.三峡大学电气与新能源学院宜昌443002
2.清华大学电力系统国家重点实验室北京100084
3.国网浙江省电力公司金华供电公司金华321001）

采用弱耦合有限元法求解电磁装置中的电磁场、流场和温度场的耦合问题时，电磁场计算得到的能量损耗要通过网格传递到温度场作为载荷，结合空气或液体的散热进行热分析。由于电磁场和热-流场在求解时对网格离散要求相差很大，因此若要兼顾各种场的要求需剖分成统一的有限元模型，势必会造成网格单元数很大、提高计算代价。而如果采用不同的网格模型，则无法实现网格间的数据直接映射。提出一种异型网格映射法，通过高斯积分及坐标变化来实现不同场之间不同网格的数据映射。此外，还提出了该方法的精度控制策略及误差修正系数，以保证计算结果的准确性。将异型网格映射法应用于文献中空气绝缘三相母线槽热分析中，将计算结果与常规同型网格直接映射方法及实验结果进行对比，进一步验证了该方法的有效性。

电磁装置磁-热耦合分析弱耦合异型网格映射法

0　引言

准确的热分析是电磁装置优化设计、防止过热的前提。电磁装置工作时，电流在导体中产生能量损耗，这些损耗转变为热能，使导体温度升高，温度过高会影响装置的绝缘性能和机械强度，降低使用寿命［1-4］。为了降低电磁装置的温度，一般采用风冷和水冷进行冷却［5，6］。因此，在电磁装置内部会产生复杂的耦合物理现象，要准确计算其相关的电磁场、流场和温度场是一个比较复杂的耦合场计算问题。

耦合分析通常有两种方法:强耦合分析和弱耦合分析。第一种方法通过单元矩阵或载荷向量把耦合作用构造到控制方程中，然后对控制方程直接求解；第二种方法是在每一步内分别把相关的控制方程依次求解，通过把第一个物理场的结果作为外载荷施加于第二个物理场来实现两个场的耦合。强耦合分析的主要缺点是在构造控制方程过程中常常不得不对问题进行简化，计算准确度很难保证。弱耦合分析的优点是可以重新利用现有的通用软件，并且可以分别对每个软件单独制定合适的求解方法［7］。目前，绝大多数研究实施的是“弱耦合分析”解决方案，即通过将电磁场分析计算的能量损耗结果作为载荷施加到流体-温度场分析中的方式来实现耦合［8-25］。在以往的弱耦合求解方法中，根据能量损耗的加载方式不同分为两种:一种是使用不同的专业软件进行不同物理场的求解，例如在Ansoft、MagNet、Flux等软件中进行电磁场计算，而在 Fluent、ThermNet软件中进行流体-温度场计算［10-16］；另一种是使用同一款软件进行不同物理场的求解，例如在Ansys的Mechanical APDL模块中建立统一的有限元模型，将电磁场计算出来的能量损耗由网格直接映射到流体-温度场进行计算［17-22］。第一种方法的缺点是两种软件无法形成统一的有限元模型，则无法通过网格直接进行数据的传递，因此通常采取体载荷的加载方式，导致热源加载不够准确。第二种方法的缺点是统一的有限元模型，必须同时兼顾电磁场和流场对网格离散的要求，导致网格数量大大增加，提高了计算代价。

针对上述方法的种种缺陷，Ansys公司在2011年发布的13.0版本Workbench中推出了Ansoft软件和Fluent软件的接口功能，可实现不同剖分单元模型间的数据传递［23-25］。但它所采用的方法是通过读取Fluent软件中计算模型网格重心，并将此重心点对应到Ansoft软件的计算模型中读取相应的损耗值，以此作为整个网格的能量损耗［26］。由此可见该方法过于简单且造成了较大的数据传递误差。基于上述问题，本文提出一种通过高斯-勒让德积分和坐标变换的异型网格映射方法实现异型网格间的数据传递，并提出精度控制策略及引入修正系数对传递结果进行修正以提高计算精度。将该方法应用于文献［27］中的三相母线槽模型，进行电磁场、流场及温度场的有限元计算，其中电磁场和热-流耦合场分别使用不同的有限元网格离散策略，单元功率损耗的传递通过异型网格映射方法实现，计算结果与文献中实验结果进行比较，表明了本方法的准确性和适用性。

1　异型网格映射法的基本原理

在流体力学计算中，对流扩散方程的求解是一个迭代过程，其有限元求解需要与场分布匹配较好的网格，否则会出现剧烈的数值伪振荡现象，导致迭代不收敛［28］。因此，在流场的有限元计算中对网格质量的要求非常高，3-D模型一般要使用规则的六面体或者三棱柱单元剖分，3-D热-流耦合场网格如图1a所示。这种模型在流固交界处由于速度变化较大，需要严格控制网格精度。图1b所示的四面体非规则型网格难以保证计算过程的收敛性，但在电磁场计算中，具有对复杂场域适应性强、网格疏密灵活等优点，所以四面体单元的非规则型网格则是电磁场计算的首选网格类型。

图1　不同物理场的不同3-D网格离散形式Fig.1　Different 3-D meshes in different fields

为了实现在电磁计算中采用四面体非规则型网格，在热和流体冷却问题计算中采用结构型网格，本文提出一种异型网格间的场量映射法，将电磁场能量损耗计算结果通过该映射的方法传递给温度场计算网格作为载荷。不同网格间通过高斯积分点进行关联，即温度场一个单元上的热载荷总量通过高斯积分得到。而积分点上的电流密度值取自电磁场中的相同几何点，该点的电流密度值通过电磁场单元的形状函数插值计算得到。

为了描述方便，以二维模型为例进行阐述，对于三维模型可类似处理。在图2所示的异型网格数据映射示意图中，假设图2a为热流耦合场计算网格，图2b为电磁场计算网格。要想得到图2a单元①的热载荷，可以采用高斯积分进行计算，假设每个单元上的积分点个数取为n（图2中给出了4个点ABCD），则每个积分点的电流密度值（如图2a中的自然坐标下A点）要到电磁场计算模型中去查找（如图2b中的笛卡尔坐标下A点），因为电磁能量损耗就是温度场的热载荷量，所以单元①的热载荷为

式中，Ωe为单元的积分区域；σ为电导率；S为积分面积；ξ和η为高斯积分点的自然坐标；wi和wj为各高斯积分点的权系数［29］；Ja为雅克比矩阵［30］；J（xi，yj）为各高斯点在电磁场计算模型中的电流密度。

图2　异型网格数据映射示意图Fig.2　Non-matching meshes mapping method

虽然该方法的原理并不复杂，但在具体实现中要注意误差控制（包括两种网格的大小比例控制）、积分点的选取方法、误差判据与误差修正方法等。而网格分布与积分点数量又与场分布有关，所以要实现具有较高精度而又不带来过多计算量，需要在几个环节进行分析考虑。下面将具体介绍异型网格映射方法实现时的处理策略。

2　异型网格映射方法实现与精度控制策略

针对不同场计算要求的网格特性差异，分析网格剖分策略与不同网格间单元大小的匹配关系，以及控制或减小异型网格映射法的变量传递误差的方法。

2.1异型网格剖分策略

下面以半封闭槽内载流导体通风冷却的温升计算为例分析两种网格的剖分问题。耦合场温升分析模型如图3所示，其为二维平行平面场，高为h的铜导体上加载有效值为1 000 A的工频电流，进风口风速为0.5 m/s，材料属性按常规设置。

图3　耦合场温升分析模型Fig.3　Model of thermal analysis in coupled fields

在电磁场计算中，考虑趋肤效应导致导体中涡流分布的不均匀性，需要对导体部分的边缘区域进行加密剖分，导体内可以采用四边形或三角形单元，导体外的空气应该改用三角形单元，异型网格剖分策略如图4所示。

图4　异型网格剖分策略Fig.4　Discretization strategy in non-matching meshes mapping method

在电磁场计算中，关键问题是导体内的剖分控制，对于该简单的矩形区域应该采用四边形，为了适用于更复杂区域这里采用了三角形单元。无论是什么形状的单元，都要使得网格单元大小分布与电流密度分布的变化率匹配，具体策略是使得每个单元中最大与最小电流密度的差值基本一致。该策略的基础是使得相邻单元中电流密度变化较小，满足相邻单元中电流接近连续的特性。

该剖分策略的实现是先估算导体内的电流分布，然后根据计算结果剖分网格。如果利用软件直接对矩形区域进行剖分，则不能实现该策略。为了能更好地实现该策略，可以采取人为地将矩形区域划分成许多子区域的方法，而子区域的划分按照电流密度的估算分布来设置，即将矩形区域从外向内分成若干带状矩形子区域，每个带的宽度与电流密度分布匹配。然后再通过软件对每个子区域剖分就可以实现理想分布的网格了。

在热-流耦合场计算中，流固交界面是两种不同介质间的边界，当交界面发生运动变化，在交界面处附近区域的网格质量直接影响计算精度和收敛性［31］。同样人为地将矩形导体与空气交界区域划分成若干子区域，而子区域的划分根据空气流动速度的估算来设置，在区域中采用四边形网格映射剖分，网格密度与空气流速匹配。此外，导体部分为异型网格映射区域，由于不涉及空气流动影响可均匀划分网格，如图4b所示。

2.2积分点个数与单元大小比例选择策略

在对式（1）进行数值计算时，显然，高斯积分点选取越多计算结果越准确，但是势必造成计算量增大。因此，在工程计算精度允许范围内，应选取尽量少的高斯积分点以减少计算量和提高计算速度。

实际上，基于式（1）的损耗映射计算精度主要受到四个因素的影响:电流密度分布的变化率、积分点数量、一个热-流场单元包含的电磁场单元数量、电磁计算的单元形状函数阶数，四个因素相互关联。热-流场中某一单元对应于电磁场中若干单元如图5所示，这里假设热-流场是在单元上施加均匀热载荷而计算的，否则，还应考虑热-流场单元的最大尺寸控制问题。下面主要分析在一个热-流场单元中，应该如何选择积分点个数和电磁单元个数。

图5　热-流场中某一单元对应于电磁场中若干单元Fig.5　Several elements in electromagnetic field matched with one element in thermal and fluid field

显然，如果电流密度在导体中分布比较均匀，则热-流场单元中包含的电磁单元个数和积分点个数就可以较少。反之，在电流密度变化较大的导体拐角处和受趋肤及临近效应影响较大的区域，要求电磁单元个数和积分点个数较多。换言之，在电磁场计算网格一定的情况下，确定热-流场单元在具体场域位置中的大小，就要依据下面讨论的一个热-流场单元最多可包含的电磁单元数量的方法来进行剖分控制。

容易理解，积分点个数越多，容许一个热-流场单元中包含的电磁场单元数就越多，若积分点数为n2，（即二维问题中每个方向上的积分点数为n），则所包含的电磁场单元的个数不能大于n2，否则会有电磁场单元在积分中没有用到。反之亦然，若包含的电磁场单元数为m，则积分点总数不能小于m。这就是一个热-流场单元中积分点数与电磁场单元数量的控制策略。

如果电磁场计算采用线性单元，电流密度在一个单元内为一个常数，则没必要选取过多的积分点，因为一个电磁场单元内落入一个积分点就可以保证较高的映射准确度。在线性单元下，按照上一段给出的策略联合控制积分点数和一个热-流场单元中包含的电磁单元数即可。具体讲，按照积分点数不小于单元数的策略进行控制；考虑到电磁单元大小的不均匀性，建议采用的积分点个数不小于电磁场单元数m的1.5倍。

如果电磁单元是二阶单元，则电流密度在单元中非常数，为了体现一个单元的总电流值，最少应该有两个积分点落在一个单元内。因此，建议采用的积分点个数不小于电磁场单元数m的3倍。

因为在上一节中已经按照电流密度分布的变化率控制了电磁场单元的分布，使得每个单元内的实际电流密度（不是指数值计算的电流密度）比较均匀，且相邻单元间的电流密度也比较均匀，即跳变不大。因此，在这种电磁场网格下，利用上面介绍的一个热-流场单元中的积分点和包含电磁单元最大数量的策略进行损耗映射，则可以保证较高的精度，且计算量较小。

2.3总体误差修正方法

无论采用多少个积分点，或采用上述控制误差的方法，损耗映射误差必然存在，即温度场得到的总载荷与电磁场的损耗结果会存在差异。可以利用这个总量差异来进行各单元的载荷调整，以减小误差。具体方法是，将映射至热-流场模型中各单元的能量损耗求和与原电磁场模型求解所得总损耗相比，得到修正系数λ，如式（2）所示，然后将各单元映射得到的热载荷值除以该修正系数即可。

2.4计算结果

根据以上描述方法及策略，采用异型网格映射后温度场计算结果如图6a所示。提取异型网格和同型网格两种计算方法得到的模型观测线温度分布对比如图6所示。由图6可知，采用异型网格映射方法得到的计算结果与常规匹配网格直接映射方法具有很好的一致性，而计算时间减少13%，若将来应用在三维模型中计算时间可减少更多。

图6　温度计算结果对比Fig.6　Comparison of temperature calculation results

3　基于异型网格映射的母线槽耦合场计算

为了验证异型网格映射方法的准确性，针对文献［27］所提供的空气绝缘型母线槽耦合场的热分析［32-35］先通过电磁场计算求出能量损耗，再通过异型网格映射法传递热载荷进行温度求解，实现异型网格间的数据映射。

3.1模型与有限元网格

根据文献［27］中提供的三相四线制空气绝缘型母线槽模型尺寸建立2D计算模型，该模型无通风结构，由钢质外壳封装，矩形母线导体从左到右排列，依次为母线导体的A、B、C和N相。模型中各部分材料属性与文献［27］中设置相同。电流载荷、热对流、热辐射以及热传导边界条件均按文献中所提供数值进行设置［27］。

不同物理场的不同有限元模型如图7所示，电磁场计算中使用三角形网格，导体部分加密剖分共2 400个单元，总体网格数为5 830。流场计算中使用四边形网格，流固交界处加密剖分，导体内部粗剖共240个单元，总体网格数为12 694。

图7　不同物理场的不同有限元模型Fig.7　Different finite-element models in different fields

3.2异型网格映射方法的计算结果及分析

母线导体和钢制外壳电流电磁场计算结果如图8所示。从图8中可以看出，电流密度分布具有明显的趋肤效应和邻近效应。

图8　电磁场计算结果Fig.8　Calculation results of electromagnetic field

对温度场计算每个四边形单元采用四个高斯积分点。根据式（2），得到修正系数为0.95所得到的异型网格映射方法的计算结果如图9所示。

图9　异型网格映射方法的计算结果Fig.9　Calculation results by different meshes mapping method

表1给出了文献［27］中所提供的实验数据和基于异型网格映射法和两种场利用相同网格（单元数19 550）的同型网格法的仿真计算温度值与实验结果对比。由表1中误差值可知，两种网格计算结果基本一致，与实验值相差都小于5%。而异型网格的电磁计算单元数仅为同型的1/3。若计算三维问题，网格数相差会更大。因此，异型网格法具有较高的计算效率。

表1　仿真计算温度值与实验结果对比Tab.1　Comparison of calculation and experiment temperature

4　结论

1）采用异型网格映射方法进行耦合场计算根据各个场对于网格的要求，分别进行有限元模型的网格离散，无需同时兼顾各场对网格形状及剖分的要求，因此相对建立统一有限元模型的同型网格映射方法的耦合场计算，该方法减小了网格数量，降低了计算量，提高了计算速度。

2）异型网格映射方法的计算精度主要受到四个因素的影响:电流密度分布变化率、积分点数量、一个热-流场单元包含的电磁场单元数量、电磁计算的单元形状函数阶数。四个因素相互关联，需根据本文所提控制策略进一步提高计算精度。

3）本文还提出映射完成后需采用误差修正系数对该方法进行数据修正，以提高计算精度。

4）通过应用于文献中计算实例，将异型网格映射方法结果与常规同型网格方法以及文献中实验结果对比，验证了本方法的有效性和准确性，并可将该方法应用于三维耦合场计算。

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张宇娇女，1979年生，博士，副教授，研究方向为电磁场数值计算、电磁装置多物理场耦合数值计算。

E-mail:jiao_zyj@163.com（通信作者）

秦威南男，1987年生，硕士，研究方向为多物理场耦合数值仿真计算、输电线路及变电站带电作业技术。

E-mail:k_meetup@163.com

Non-Matching Meshes Mapping Method in Coupled Magnetic and Thermal Analysis of Electromagnetic Devices

Zhang Yujiao1，2Qin Weinan3Liu Dongyuan1Wu Gangliang1
（1.College of Electrical Engineering and New EnergyChina Three Gorges UniversityYichang443002China
2.State Key Lab.of Power SystemTsinghua UniversityBeijing100084China
3.State Grid Jinhua Power Supply CompanyJinhua321001China）

In the coupled electromagnetic fluid-dynamical and thermal simulations which are done by the weak coupling finite element method（FEM）for the electromagnetic devices，the thermal loads obtained from the energy losses by electromagnetic calculations are transferred between meshes to calculate the temperature distributions by considering the influence of air and fluid flow.Because the requirements of the meshes discretization scheme are quite different between electromagnetic and fluid-thermal fields，the same finite element model applied to analyze both requirements will lead to increase the number of meshes and the time of calculation.However，if different finite element models are used，the data cannot be directly transferred between the corresponding meshes.In this paper，a non-matching mesh mapping method is proposed.The energy losses can be transferred between the different meshes by the Gauss integral and coordinate transformation.Moreover，the strategy of precision control and error correction coefficient are proposed to ensure the calculation accuracy.This method is applied to an air insulation bus duct system in the literature.The calculation results are compared with the normal matching meshes mapping method and the experiment results to validate the proposed non-matching meshes mapping method.

Electromagnetic devices，coupled magnetic and thermal analysis，weak coupling，nonmatching meshes mapping method

TM15

国家自然科学基金（51207081、51577106），清华大学国家重点实验室开放基金重点（SKLD14KZ05）资助。

2014-11-01改稿日期 2015-01-30