关于初中数学动态问题的解题策略

岳岩江（吉林省辉南县庆阳镇中学）

关于初中数学动态问题的解题策略

岳岩江
（吉林省辉南县庆阳镇中学）

随着课程改革的不断深入，新形势下要求教师的教育角色、教学行为和管理方式不断改变，也要求学生的学习方式不断变革，知识的接受、迁移、运用都要有新的提升。这种能力的考查已越来越多地体现在试卷上，就初中数学而言，规律探究问题、动手操作问题、格点作图问题、图案设计问题、分类讨论问题、感知探究问题、开放性问题、运动变化问题等等已经越来越多地出现在各省中考试卷中，下面就运动变化问题谈谈自己的教学心得。

自2001年5月《国务院关于基础教育改革与发展的决定》颁布算起，至今已有14个年头，2002年吉林省省级实验区启动，辉南县也在同年进入新课改实验。当年的中考数学试题最后一道就是有关运动变化的，但相对来说较现在要简单得多，也说明课改的一个趋向。这绝不是破天荒第一次，其实，早在80年代的教材中就有运动变化问题的影子。记得我在上初中时，当时的教材中就有“点的轨迹”一部分，但由于是选学内容，教师也觉得难于理解，就一笔带过，但我对那几节却情有独钟，并进行认真自学，有些问题至今还记得。比如，两个同心圆，圆心为O，大圆半径为8 cm，小圆半径为5 cm，和小圆外切和大圆内切的圆的圆心轨迹是什么？（是以O为圆心，以6.5 cm为半径的圆）。再如，AB为⊙O非直径弦，C为AB中点，弦AB绕圆周滑动，那么点C运动的轨迹是什么？（是以O为圆心，以OC为半径的圆），这也许就是今天运动变化问题的前身吧。

从事初中数学教学，我觉得很多学生对这类问题都感到头疼，中考因此失分较多。我认真分析历年各省中考试题，觉得解决此类问题主要分为两步：一是根据点动、面动或形动的规律列方程确定取值范围，有些简单问题可以直接写出取值范围；二是画出每个区间内的基本图形，也就是化动为静，用相应字母表示某些线段长，进而求出表示某些图形周长或面积的函数表达式。以下面一题为例具体研究此类问题的解法：

如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（-2，0）和点C（0，-8）。

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为（，0）；

（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S。

①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值。

分析：（1）根据已知的与x轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析式即可。

（2）首先根据上题求得的函数解析式确定顶点坐标，然后求得点C关于x轴的对称点的坐标C′，从而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点坐标即可。

（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围.如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t。

②本题要分三种情况进行讨论：

综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式。

③根据②的函数即可得出S的最大值。

解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x-6）.

（3）①不存在PQ∥OC，若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，此时，1＜t＜2.

上题只是运动变化问题的一例，在众多的运动变化问题中，无论问题如何变化，但分析的思路是一定的，核心便是分好段、画好图、取好值、列好式、求对解、检好验、下结论。当然，要想具备较强的解题能力，还要求学生具有扎实的基础知识和计算能力，更重要的是要有一定的阅读基础和绘图能力。我在教学中发现有些学生阅读能力差，读不懂题的意思，如果与他一起分析题意，待他弄懂题意之后解起题来也非难事。还有一部分学生不会画图，导致无法解题，这也说明在日常教学中教师没有注重绘图能力的培养。

再者，运动变化问题通常穿插在压轴大题中出现，往往因为步骤多，运算量大，图形复杂使学生产生畏惧心理，甚至放弃。事实上，无论多大的题都是由若干个相关联的小题组成，逐一破解便是解题之道，教师在给学生讲解时可以把大题进行肢解，分解图形，化繁为简，克服学生畏难心理，便可收到意想不到的教学效果。

·编辑 徐婷