浅析函数思想在数列中的应用

许彬城（福建省南安第一中学）

浅析函数思想在数列中的应用

许彬城
（福建省南安第一中学）

新课标人教版必修5第29页写道：“数列可以看成以正整数（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）为定义域的函数an=f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。”数列是定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数，具有函数的一般性质。因此，巧妙地利用数列的函数性质来解决数列问题将有意想不到的效果。

一、数列通项公式与前n和公式的函数本质

等差数列和等比数列的通项公式与前n和公式具有以下特征：

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例1.等差数列｛an｝中，

（1）若an=m，am=n（m≠n），求am+n

（2）若a1〉0，且前n项和Sn满足S8=S14，求Sn取最大值时n的值。

解：（1）因为数列｛an｝为等差数列，则an是关于n的一次函数，而一次函数图象为一条直线，则A（n，m）、B（m，n）、C（m+n，am+n）三点共线，即直线AB的斜率与直线AC的斜率相等，从而可求得am+n=0。

例2．等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝，首项均为1，公差不为1，公比q〉0且q≠1，则数列｛an｝和｛bn｝的公共项为_______。

解：等差数列｛an｝，由于a1=1，所以它的图像为过（1，1）的直线上的离散点，而等比数列｛bn｝的通项公式为bn=qn-1，即它的图像为向右平移一个单位的指数函数上的离散点，必过（1，1），所以数列｛an｝和｛bn｝的公共项为a1=b1=1。

二、构建函数，转化数列问题

新课标倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法。而构建函数，一方面体现了学生在学习过程中的体验、思考与参与，另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识。在构建函数之后，我们需要利用函数的概念和性质来解决问题。函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等。在数列学习中渗透函数思想，不仅可以进一步巩固函数知识，而且可以拓宽学生解决数列问题的视野。

1.构造具体函数，实现“转化”

例3．已知数列｛an｝的通项公式为an=-2n2+3λn，若数列｛an｝为递减数列，求λ的取值范围。

解法一：构造一次函数

∵数列｛an｝为递减数列

∴an+1-an＜0对于任意正整数n恒成立

∵fmin（n）=f（1）=2

∴λ＜2

解法二：构造二次函数

an=-2n2+3λn可以看成f（x）=-2x2+3λn（x∈N*）

∵数列｛an｝为递减数列

∴f（x）=-2x2+3λn在｛1，2，3，…｝为递减函数

∴λ＜2

例4．已知数列｛an｝的通项公式为，若am和an为数列｛an｝的最大项和最小项，则m+n_______。

又∵n∈N*

∴m=45，n=44，则m+n=99

2.构造抽象函数，成功“突围”

例5．已知数列｛an｝满足an+2=an+1-an，a1=2015，其前n项和为Sn，则S2016_________________。

【分析：由于不明确数列｛an｝的类型，所以仅仅用数列的知识不好解决，而此时我们从函数角度去考虑，就容易联想到函数的周期性。】

解：设f（n）=an，则f（n+2）=f（n+1）-f（n）

那么函数f（x）满足f（x+2）=f（x+1）-f（x）……①

则f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）……②

由①+②有f（x+3）=-f（x）即f（x+6）=-f（x+3）=f（x）

∴f（x）为以6为周期的周期函数

f（1）+f（2）+…+f（6）=f（1）+f（2）+f（3）-f（1）-f（2）-f（3）=0

∴S2016=a1+a2+…+a2016=336（a1+a2+…+a6）=0

通过对以上实例的分析，笔者发现，数列作为离散型函数的典型代表之一，在高中数学中具有重要位置。因此，在教学实践过程中，教师应创设恰当的情境让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法，理解用函数思想解决数列问题的本质。当学生理解并掌握之后，往往能诱发知识的迁移，使学生能够举一反三、融会贯通地解决多种数列问题。

·编辑 武慧慧