加强对典型题目的总结与提炼

姚友琴

【关键词】典型题目 提炼 数学方法 解题技巧

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）07A-

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初中数学思想方法相对于具体知识内容来说属于一个较为高阶的要求。如果说具体的知识内容让学生们学会了怎样解决一个问题，那么数学思想方法则让他们学会了怎样解决一类问题。思想方法是在总结众多具体数学思维经验的基础上得出的，是高度提炼与升华的结果。因此，为了实现初中数学教学的完整与高效，教师应加强对于典型题目的总结提炼，让学生在理解知识的同时掌握方法。

一、通过宏观入手，掌握整体分析法

整体分析法是解答较为复杂的数学问题的重要方法。正如它的名字一样，其在所有思想方法中也处于一个整体性的位置。笔者常常告诉学生：想要驾驭数学问题，就要学会敢于站在高处去审视它。这里所强调的“审视”，指的就是面对问题，不要急于求解，而是先要从整体角度对它所涉及的知识内容与逻辑方向进行分析，有了宏观把握后再有的放矢地展开解答。这样的分析方法，往往能够使得数学问题的解答更加准确和高效。

在教学苏教版数学七年级下册《因式分解》时，学生们常常会遇到将二次三项式进行因式分解的问题。如将x2+4x-10因式分解。具体说来，这个因式分解的过程需要运用配方法。但配方的大方向是如何确定的呢？这就需要从宏观角度对这个二次三项式进行整体观察和分析，从而得出配方法的开展方向。从这个式子的前两项我们很容易联想到完全平方公式。同时，如果能够构造出完全平方的形态，也就出现了平方差公式的端倪，因式分解自然很容易进行。这就是运用整体分析所得出的宏观思路。在这样的方向指导下，x2+4x-10=x2+4x+4-14=（x+2）2-14=（x+2-）（x+2-）的因式分解过程也就不难得出了。

在学生们掌握了整体分析法的同时，也表明了他们面对复杂数学问题时的一种冷静、平和的心态。在处理疑难问题时，最忌讳的就是慌乱无章，这样只会让学生的思维更加混乱，无法找到解答问题的正确路径。若是能够放慢节奏，不被一个个具体的条件所影响，而是从整体角度分析问题、寻找方法，往往能够让学生更自信，思路的得出也更加理性。

二、调动多种方式，掌握数形结合法

数学问题的呈现也许是单一的形式，我们可以很轻松地将之归结为代数问题或是几何问题，但是，在解答问题时，数学方法的运用却不一定是单一的。为了能够顺利解答问题，学生们常常需要调动多种思维方式来辅助思考问题。无数实践经验告诉我们，将代数逻辑与几何图形有机结合在一起分析问题，常常能够得到事半功倍的思维效果。这就是我们将要讨论的数形结合方法。

在学习了数轴与正负数的知识后，笔者给出了如下图象，并请学生们在此基础上尝试化简|a|-|a+b|+|c-b|+|a+c|这个代数式。只看这个代数式，我们似乎可以把它归结为代数类的问题。但看这个代数式，是无法进行求解的。教师应引导学生结合图象来理解、切入。这个问题出现的形式，本身就是在引导学生运用数形结合的方法进行思考。果然，在分析数轴形态后，学生们很快得出了a>0，c

在解答数学问题的过程中，代数与几何之间的界限并不是非黑即白的。数学知识的研究，本来就是将代数内容以几何方式呈现，将几何内容以代数形式归纳，于二者的相互转化之间完成理论延伸的过程。因此，从数学知识学习环节开始，数形结合的思维方式就已经渗透于学生们的头脑中了。在解答具体问题时，这一思想方法也就自然而然地沿袭下来了。数形结合法为学生们提供了全新的思考角度，有效降低了思维难度，是初中数学问题解答中不可或缺的武器。

三、厘清思维逻辑，掌握分类讨论法

进入初中后，学生们逐渐发现，数学知识和习题的答案并不像小学那样唯一了。很多问题的答案会出现多种可能性，甚至一些问题在提出时就是开放不确定的。也正是这种不确定性让不少学生感到困惑，不知道该如何将每一种可能性准确完整地把握住。面对这种情况，学生们就必须要掌握分类讨论的数学方法。这是初中数学的必修课，也是有效解题的试金石。

在学习方程的知识内容后，有这样一道习题：请解关于x的方程2ax-5=-x。移项整理之后得到（2a+1）x=5，此时便出现了分类讨论的问题。那么，如何做到准确地分类呢？以本题为例，笔者先告诉学生在解方程的过程中，如果遇到字母系数，且已知条件中没有给字母系数设定范围时，往往就需要分类讨论。另外，在确定分类讨论的标准时，经常是从使得变形式子有意义出发。若字母处于分母位置，则将分母是否为零进行讨论；若字母处于二次根号之下，则根号里的内容不能小于零；若已知条件中有其他限定，则还需要满足题目要求……这样，学生们对于分类讨论应适时开展、怎样开展的理解清晰了很多。具体至这个问题，学生们很轻松地就2a+1是否为零进行分类讨论，并得出了正确答案。

在系统地学习分类讨论方法之前，学生们面对存在多种可能性的数学问题时的思维经常是混乱的。分类讨论方法的出现，并不是针对某一个问题的解答，而是给了学生们一个厘清思维逻辑的方向和标准。掌握了这一方法，无论面对多么复杂的情况，学生们都可以找到科学分类的界限，保证自己的讨论既能够涵盖所有可能性，又不会在各个小分类之间产生交叉。

四、立足既有知识，掌握化归转化方法

初中数学教材虽然出现了很多新知识和新方法，但知识内容的数量毕竟是有限的，学生们不可能在初中阶段就掌握所有的数学知识。然而，这并不代表各类测试中不会出现大家没有学习过的内容。那么，如何运用有限的知识去解决自己没有学过的数学问题呢？这就要求学生熟练地掌握化归与转化的数学思想，进而去解决范围更广的数学问题。

在学生刚刚开始接触函数知识不久，笔者让他们尝试解答这样一道题：（如图所示）反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象相交于点A和点B，求A、B两点的坐标。在遇到这个问题时，学生们还没有开始具体学习何为反比例函数，甚至连一次函数的性质都没有深入理解，面对这个问题，学生们不知所措是正常的。笔者启发道：“如何正确理解两个函数图象相交的含义呢？”学生们意识到，所谓相交，就是两个图象在该点的横、纵坐标一致。由此，看似陌生的函数问题顺利转化成了方程问题，大家通过将两个函数解析式联立解方程组y

=-

y=-x+2，准确得出了x1=4

y1=-2和x2=-2

y2=4这两组解，自然也就确定了A、B两点的坐标。

学习了化归转化的思想方法之后，学生们发现，原来很多看似陌生的数学问题，都可以通过巧妙地变形转化为自己已经掌握的知识予以解答，让学生看到了数学知识内容之间存在的普遍联系。实际上，看似独立的一个个数学知识都不是孤立的，它们都是在不断地转化中彼此关联的。认识到了这一点，学生们也得以在日后的学习中更加理性地去看待新知识，并在不断地新旧联系中实现数学学习的延展与深入。

初中阶段的学生尚未具备过硬的数学思维基础，在提炼总结方面的能力仍稍显不足，这便需要教师从旁辅导。在对比较典型的数学问题进行讲解时，教师一定要有意识地将运用于该题中的思想方法提炼出来，让学生们对之形成关注与认知。久而久之，学生们便形成了更为成熟的数学学习思维。

（责编 林 剑）