发现教学法在线性代数课堂教学中的实施策略*

乔希民



发现教学法在线性代数课堂教学中的实施策略*

乔希民

（商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000）

摘 要：立足于发现教学法的思想和观点，运用线性代数发展史的趣味性素材，创设教学情境，领悟发现学习与发现教学的过程，理解发现教学法在线性代数教学过程的本质是：明确教学目标，强化知识生成的自然性，讨论质疑反思的批判性，修正与检验结论，分门别类总结其规律，回归实际问题的验证与应用，全面提升学生的数学素养与理性精神。

关键词：发现教学法；线性代数；数学教育民主化；数学理性精神

发现教学法是数学教师在大学数学课堂教育教学过程中所运用的一种极为常用的基本教学方法。它能够与讲授法融为一体，扬长避短，相得益彰，充分体现以学生的自主探索、合作学习为主要特征，能够调动学生主动参与到数学课堂教学活动中，以达到全面提升学生学习数学的好奇心和浓厚兴趣之目的。

1 发现法教学法提出的背景

在柏拉图《理想国》中，记述了古希腊先哲苏格拉底在对方的发问中不断追问，迫使其自陷矛盾，自感无知，并帮助对方得到问题解决的方案，这是最为朴素的发现教学法。科学技术高速发展与社会政治、经济的发展变化，以及高水平科技人才的培养，都极大地促进了倡导学生主动探索发现的教育思想的形成。如美国布鲁纳的教育教学思想的核心是全面发展学生的智慧潜力和以培养学生的创新精神与实践能力为目的的“发现学习”和“发现教学”［1］。特别是布鲁纳在《教育过程》一书中，就教学过程中传授知识与培养能力的关系以及培养能力的途径和方法等问题提出了新观点，认为：“处于工艺和社会异常复杂的时代”的美国教育，必须“把培养优异成绩作为教育的最一般的目标”，“要帮助每个学生获得最好的智力发展”，“促进所有的学生充分利用他们的智力”［2］。他还认为培养学生的能力是时代和社会的要求。在不断变化的社会中，此时的问题解决方法可能不适合于彼时的问题解决，而且遇到的问题也不会是一样的。因此，教学理应加强培养学生解决问题的方法，培养学生把知识应用于新情境的能力。他还认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓之物的行为，正确地说，发现包括着用自己的头脑亲自获得知识的一切形式”。［3］并且布鲁纳给出了构建旨在培养学生创新精神和实践能力的学习方法及其对应的教学方法，基本程序为：（1）创设发现问题的情境；（2）建立问题解决的假说；（3）完成问题假说的验证；（4）做出合乎科学的结论；（5）获取智慧潜能的方法。布鲁纳又强调：“发现教学所包含的，与其说是引导学生去发现‘那里发生’的事情的过程，不如说是他们发现自己头脑里想法的过程”。［2］有趣的是：布鲁纳在《教育过程》一书中多次用代数学交换律、分配律和结合律三个基本运算法则来强调任何学科都有一个基本结构，即内在规律性，“我们无论教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”［3］。

这样，根据布鲁纳等人的教育思想和理论，所谓“发现教学法”是指学生在教师的启发引导下，借助教材和问题的背景材料，主动、亲自“发现”知识和掌握方法，解决他们自己的问题的过程。当学生在学习先哲思想与知识时，不能简单地塞给他们现成的结论，而是诱导他们感悟像先哲们那样去“发现”知识和再创造的艰辛过程。

2 线性代数教学过程中实施发现教学法的策略

2.1 明确发现的目标

布鲁纳的主要代表作《教育过程》，开宗明义：“每一代人对于如何设计他这一代人的教育，都有一种新的愿望。正在形成作为我们这一代标志的，可能是广泛地重新出现的对教育质量和智育目标的关切，但又不放弃这样的理想，即教育应作为训练民主社会里平衡发展的公民的手段”。事实上，发现教学法实现的首要条件就是要明确发现的目标，因为有了目标才会有前行的方向。例如，我们在简要介绍“线性代数”的历史发展背景时，用Lay《线性代数及其应用》中“给学生的注释”的第一句话“线性代数是最有趣最有价值的大学数学课程”作为引言，然后强调：线性代数是代数学的一分支，也是高等代数最重要的组成部分，其主要研究数学对象之间的关系是以一次形式来表达的线性关系问题。因为我们在研究由于多个因素的量所引起的问题，需要使用多元函数，而线性问题则是研究关联性是一次的问题。数学发展史告诉我们，线性代数的第一问题是求解线性方程组，如公元1世纪的中国数学经典名著《九章算术》，就介绍了一种消元法求解线性方程组，并且由线性方程组理论的发展促成了作为工具的矩阵理论的创立与发展。正是源于生产实际问题和生活实践问题的模型，不仅刺激了线性代数学科的诞生和发展，而且使线性代数在数学、物理学、力学、理论力学、系统动力学、材料力学、计算机科学、计算机图像学、信号与系统、自动控制原理、通信、航空、生物学、统计学、经济学等学科和领域具有广泛的应用性。因此，目标的实现，需要教师理清线性代数发展的历史脉络是与人们的社会生活和生产实践息息相关，以及如何预测和发现未来。

2.2 驾驭发现的过程

教师让学生运用其所提供的再创造材料，积极主动地认知与发现的过程，是构建一种以学生为中心的高效、民主的创造性思维课堂教学模式。正如布鲁纳所认为的“任何学科都可以用理智上重视的形式教给任何年龄阶段”的学生，这里所说的“理智上重视的形式”是适合于学生智慧生长的某一学科的基本结构、基本概念、基本原理。如在范德蒙行列式问题讨论时，我们没有按教材直接用数学归纳法证明范德蒙行列式［4，5］，而采用下述教学设计：

（1）从二、三阶行列式的计算做起，有：

（2）运用上述思想方法，自然能够做出形如D3的4阶行列式

（4）完成（1）、（2）做法后，用数学归纳法证明上式也就顺理成章了。

（5）指出上式就是著名的范德蒙行列式。顺便简略概述：范德蒙（1735-1796）是法国数学家，在高等代数方面做出了重要贡献。他不仅应用行列式求解线性方程组，而且开创和奠基了行列式理论的研究。运用所给的二阶子式和其相应的代数余子式完成了展开行列式法则。另外，他的拉格朗日的预解式、置换理论等思想方法，为群的理论形成产生了积极影响。

（6）在探索的同时，也就注意到范德蒙行列式的结构特点了（见（3））。

（7）如何利用范德蒙行列式计算酷似范德蒙行列式，让学生归纳总结。

由此可见，对教材的再创造是发现教学法的核心所在。

2.3 发现教学法的实施过程

运用发现教学法于具体“线性代数”课堂教育教学实践过程中，表现为：理清教学目标——从线性代数史发展的有趣背景素材入手；列出实施纲要——强化知识生成的自然性；设计引导性趣味问题；讨论质疑反思；修正与检验结论；分门别类总结其规律；回到生活生产实践中验证与应用。当然，这种基本教学方法可根据教学实际或精简或调整。总之，立足于灵活运用发现教学法，最终从方法（或模式）走向自由的无模式境界。如在《矩阵》一章教学过程中，对“矩阵”概念的建立，我们采用不同班级的相异教学设计呈现，结果表明下述方案效果较好。

案例 矩阵的概念引入

（1）趣味导入：中国古代数学典籍《九章算术》的分数理论，比例、盈不足、开方等算法，线性方程组解法，正负数加减法则及解勾股形方法等都是具有世界意义的成就。它奠定了中国传统数学的基本框架和长于计算，即以算法为中心，算法具有机械化、程序化、构造性的特点，以及数学理论密切联系实际的风格［6，7］。（注：课堂上有必要强调本引言的出处）

（2）问题情境创设（电子课件呈现）

《九章算术·卷第八》［8，9］第1问题

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。

方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾偏乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者徧乘左行，而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余，如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余，如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。

（3）问题的释义解疑

①按刘徽所定义的“方程”即为“令每行为率”，也就是将每行看成一个整体，每行中的诸未知数的系数与常数项都有确定的顺序，由此可见“令每行为率”与现今线性方程组理论中的行向量概念相类似，且每行视为一个整体加减。［6］

②刘徽创造了方程新术（再次运用课件展示）方程新术曰：以正负术入之。今左、右相减，先去下实，又转去物位，则其求一行二物正、负相借者，是其相当之率。又令二物与他行互相去取，转其二物相借之数，即皆相当之率也。各据二物相当之率，对易其数，即各当之率也。更置成行及其下实，各以其物本率今有之，求其所同，并，以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余以为法。以下置为实。实如法，即合所问也。一物各以本率今有之，即皆合所问也。率不通者，齐之。

其一术曰：置群物通率为列衰。更置成行群物之数，各以其率乘之，并，以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法。以成行下实乘列衰，各自为实。实如法而一，即得［7］。

③简述译文（略）。

（4）古今对照求解方法（课件展示）对照表格式：原文、译文、算筹表达式（今用数字代）、现代线性方程组。（因篇幅所限，略去对照表格）

归纳概括卷八方程问题的各种求解方法：①任意互相交换两个方程的位置；②用任意一个非零数乘某一方程；③将某一方程乘以一个非零数加到另一个方程上去，直至每个方程只含有一个未知数，从而获得所求问题的解。

（5）小结：中国古代用算筹来解线性方程组，实际上类似于现代利用线性方程组系数增广矩阵变换的方法。这也从另一方面探讨了《线性方程组》一章中“高斯消元法”。表明：方程术及其相关理论具有世界性。

（6）反思：

①《九章算术》及其刘徽注、李淳风注释、钱宝琼校点、郭书春汇校、白尚恕注释、李继闵注等将成为我们研究《九章算术》的好素材。特别是文献［10］为我们提供了鉴赏中西数学理论体系的奇异美。

②通过有趣的引入，思想方法的阐释，旨在提升学生的好奇心与求知欲。

③本课程虽然是非数学专业课程，但可通过线性代数的教学，培养学生的质疑反思的批判性和理性精神，促使他们像数学家一样思考。

3 反思与建议

发现教学法是把传授知识和培养智力（如好奇心、观察力、思维力、想象力、分析和解决问题的能力等）紧密结合起来，在掌握知识的基础上去发展能力，在发展智力的要求下去掌握知识，并且教学活动不仅反映在师生之间，还反映在学生之间，既突出了教师的主导作用，也体现了学生的主体作用。但就现阶段的大学数学课堂教学而言，我们愿意为学生提供想象与自主探讨的机会，但又怕耗费过多的时间是最难突破的狭道，这也是我们运用发现教学法时，需要亟待解决的主要问题之一。

另外，我们在线性代数教学中，参阅了大量国内外同类教材，认为：国内教材理论性、系统性、严谨性都比较好，但总体上，国外同类教材［11-13］可读性、发现结论的过程相对较好，值得我们借鉴。

参考文献：

［1］范燕莹.布鲁纳［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］布鲁纳.教育过程［M］.邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982：28.

［3］石艳.皮亚杰、布鲁纳教育名著导读［M］.长春：吉林文史出版社，2016.

［4］周勇，朱砾.线性代数［M］.上海：复旦大学出版社，2014.

［5］钟玉泉，周建.线性代数（第二版）［M］.北京：科学出版社，2014.

［6］郭书春.中国科学技术史·数学卷［M］.北京：科学出版社，2010.

［7］郭书春.古代世界数学泰斗刘徽［M］.济南：山东科技出版社，2003.

［8］郭书春.九章算术新校（上下册）［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

［9］徐品方.白话九章算术［M］.成都：成都时代出版社，2002.

［10］九章算术［M］.刘徽，注，李淳风，注释，郭书春，校勘并译注.道本周，徐义保英译并注.沈阳：辽宁教育出版社，2013.

［11］Sheldon Axler.线性代数应该这样学（第2版）［M］.杜现昆，马晶，译.北京：人民邮电出版社，2009.

［12］Steven J.Leon.线性代数（第8版）［M］.张文博，张丽静，译.北京：机械工业出版社，2013.

［13］Lay D.C.线性代数及其应用（第3版）［M］.刘深泉，洪毅，马东魁，等，译.北京：机械工业出版社，2005.

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1673-6125（2016）02-0062-04

收稿日期：2016-05-17

基金项目：陕西省自然科学基础研究计划项目：“区间集上基于非交换剩余格的广义fuzzy滤子的研究”（项目编号：2013JM1023）；陕西省社科界重大理论与现实问题研究项目：“构建区域性全民终身学习体系和学习型社会的研究——以商洛市为个案”（项目编号：2014Z090）。

作者简介：乔希民（1960-），男，陕西洛南人，副教授、硕士。主要研究方向：数学教育，非经典数理逻辑。

Implementation strategy of Discovery method in the linear algebra teaching

QIAO Xi-min
（College of Mathematics and Computer Application，Shangluo University，Shangluo Shanxi 726000，China）

Abstract：Based on thoughts and ideas of discovery method，using interesting material of the linear algebra history，creating the teaching situation，realizing process of discovery learning and discovery teaching，and understanding the essence of the discovery method in the linear algebra teaching process is clear teaching objective，strengthen knowledge generated naturalness，discuss the question of critical reflection，correction and inspection conclusion，classify summarize its law，return to the validation and application of practical problems，and improve the students＇mathematical literacy and rational spirit.

Key words：discovery method；linear algebra；democratization of mathematics education；mathematical rational spirit