三角板构造的数学题

文/刘　顿



三角板构造的数学题

文/刘顿

责任编辑：王二喜

在中考中，利用三角板中固有的元素设计考题，已成为热点题型之一.解决此类问题要充分发挥特殊角30°、45°、60°、90°及等腰三角形和直角三角形的作用，利用图形变换的特征求解.

一、设计方程组，求角度

例1（2015年广元卷）一副三角板按如图1方式摆放，且∠1比∠2大50°.若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为（）

解：根据∠1比∠2大50°，得方程x＝y+50；又根据平角和直角的定义，得方程x+y＝90.选D.

图1

二、设计相似三角形，求面积比

例2（2015年自贡卷）一副三角板叠放在一起，如图2，则△AOB与△DOC的面积之比为.

解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，

在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴DB＝2BC，

由勾股定理，得

又∵AB∥DC，∴△AOB∽△COD，

∴S︰S＝AB2︰DC2＝1︰3.

△AOB△COD

图2

三、设计动态问题，求面积

图3

例3图3是一副学生用的三角板，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°；在△A1B1C1中，∠C1＝90°，∠A1＝45°，∠B1＝45°，且A1B1＝CB.若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合.将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC＝a.

（1）计算A1C1的长；

（2）当α＝30°时，证明：B1C1∥AB；

解：（1）在Rt△ABC中，∵AC＝a，∠A＝60°，∴BC＝AC·tan60°＝.∴A1B1＝BC＝

在Rt△A1B1C1中，∠B1＝45°，∴A1C1＝A1B1·sin45°＝

图4

（2）如图4，当α＝30°时，即∠ACC1＝30°，

∵∠A＝60°，∴∠AMC＝90°，即CC1⊥AB，

∵CC1⊥B1C1，∴B1C1∥AB.

（3）如图5，当α＝45°时，B1A1恰好与CB重合，过点C作CH⊥AB于H，则∠ACH＝30°，∠HCM＝15°，

图5