数学是一门求简的学问

向利平

数学是一门求简的学问

向利平

道家哲学中有一个大道至简的大道理。所谓大道至简，就是大道理是极其简单的，简单到一句话、几个字就能说明白。

数学所追求的就是至简，力求用最简单的方法研究数量关系和空间形式，力求用最简洁的方式诠释数量关系和空间形式。

现实世界中有形态各异、丰富多彩的物体，它们构成了我们的生活空间，也给我们带来了很多值得研究的问题。各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质外，还具有形状、大小和位置关系。如何用最简单的方式简洁地表示物体的形状、大小、位置关系这些本质的事情呢？于是，数学便抛开颜色、质量、材质等属性，用虚拟的点、线、面将具体的物体抽象成几何体，数学也随之有了一片广阔的天地。

为了表示数量关系，数学引入了字母，用字母表示数，并辅之相应的表示关系的符号。于是，复杂的数量关系便可用简单明了的数学表达式来描述。于是，简单的a=b×c具有了普遍性意义，包含了更丰富的实际背景。数学就是力求用简洁的表达式表示一般性规律。

简单的一句“两点之间，线段最短”背后蕴含着大道理。“两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘”，加一个字显得多余，少一个字便不严谨。数学的文字语言讲究的就是简洁，简洁中又不失严谨，简洁中描述具有普遍意义的规律，简洁中诠释数学中的大道理。

数学研究中常常会遇到一类特殊的问题，1× 2×3×…×n、1+2+3+…+n，书写起来很不方便，于是我们引入了阶乘符号！和求和符号∑，用简洁的符号表达复杂的数学式子。用Rt△表示直角三角，用//表示平行，用≌表示形状相同、大小相等的全等。数学符号产生和发展的历史就是一部数学求简的历史。

三个角、三条边对应相等的两个三角形当然全等，但是这里的条件太多了，显得有些复杂，能不能将条件减少一些呢？于是，我们尝试找最少的条件。为了使找的工作简单些，既要保证不遗漏，又要不做重复劳动，我们便对三条边、三个角这6个条件进行有序分类。先把一边对应相等，两边对应相等，三边对应相等，两边、一角对应相等，一边、两角对应相等，三角对应相等一一列出来，然后逐条否定或肯定，最终得出了全等三角形判定的方法“边边边”“边角边”“角边角”和“角角边”。

北宋诗人苏轼的《题西林壁》有一句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”告诉我们，不论是看一件事情还是认识一个物体，从一方面看往往是不全面的，很有可能发生误判。数学中认识几何体也一样，仅从一个方向看（比如说正面），你往往看不到这个几何体的全面。当然，我们可以从上、下、左、右各个方向去看，甚至可从更多的方向去看。数学求简的特点自然引出了这样的话题——能否既使所看的方向最少又能准确地认识几何体呢？顺着这一求简的思路，数学中提出了主视图、左视图和俯视图。数学就是这样追求用最少的条件认识所研究的对象。

为了求解方程ax2+bx+c=0（a≠0），我们想到了配方法——将方程左边配成含有未知数的平方式，常数项放在方程的右边，根据平方根的意义可以得到方程的两个根但每次都这样配方显得麻烦，于是便将这个具有普遍意义的结论作为一元二次方程的求根公式，使求解变得简单易行。在进行多项式与多项式相乘时，我们发现运算结论简洁易记。为了减少再次运算时各项都相乘的麻烦，便有了平方差、立方和（差）公式。有了这些公式，将类似的多项式分解成两个因式的乘积形式便呼之即出了。数学中之所以规定一些公式、定理，用一些公式和定理推导得出新的公式和定理，本质上是为了减少推导过程中的机械重复劳动，也就是求简。

为了求得两堆物体的总量有多少个，最原始的办法是一个一个往下数，直至全部数完。是不是可以将数的过程简化呢？我们引入了加法运算——求两个数的和。

在进行加法运算时，有时我们会遇到一类特殊的问题——已知和，求其中一个加数。为此，我们必须倒过来思考，反过来寻找要求的加数，总是这样做是比较麻烦的，为此我们定义了减法。因为减法是已知和去求加数的运算，我们也就将减法叫做加法的逆运算。

在进行加法运算时，我们经常会遇到一类特殊的问题，如2+2+2+2+2+2+…+2这样求很多个相同加数的和。当然，我们可以一个一个不断地相加，但这样做实在是太麻烦，书写起来也不方便。能不能简单一点呢？为此，我们定义了乘法——几个相同加数的和的运算，并引入相应的运算符号×，随后经过不断总结和归纳，得出了既简洁又读起来朗朗上口的乘法口诀。

在进行乘法运算时，有时我们会遇到一类特殊的问题——已知积，求其中一个因数。为此，我们必须倒过来思考，反过来寻找要求的因数，总是这样做是比较麻烦的，为此我们定义了除法——已知积，求其中一个因数。因为除法是已知积求因数的运算，我们也就将除法叫做乘法的逆运算。

在进行乘法运算时，我们经常会遇到一类特殊的问题，如2×2×2×2×2×2×…×2这样求很多个相同因数的积。当然，我们可以一个一个不断地相乘，但这样做太麻烦，书写起来也不方便。为了求简，我们定义了乘方运算。

加法、乘法都有相应的逆运算，乘方有没有逆运算呢？已知幂与指数求底数，已知幂与底数求指数都可以看成是乘方的逆运算。为了解决这两个逆运算问题，数学便引入了开方运算和对数运算。

方程、函数、集合模型的建立，微积分、概率论等数学领域的形成和发展，无一不体现求简的思维方式。

数学就是这样一门不断求简的学问，在不懈地求简中孕育出一片又一片广阔而神奇的新领域。在数学教学中，我们是否可以花点时间，让学生体会体会数学求简的魅力呢？

（作者单位：长沙市岳麓区教研室）