数列应用问题解法拾零

◇　北京　丁益祥(特级教师)



数列应用问题解法拾零

◇北京丁益祥(特级教师)

在日常生活中,人们经常遇到诸如存款付息、堆垛计数、递推求值、混合浓度等问题,这些问题常常通过建立数列模型来解决.认真分析题意,建立恰当的数列模型,是解决问题的关键.

1　存款付息问题

本利和=本金×(1+利率)存期.

2　堆垛计数问题

图1

由题意知,f(2)比f(1)多最底层:1+2个,即

f(3)比f(2)多最底层:1+2+3个,即

f(4)比f(3)多最底层:1+2+3+4个,即

……

f(n)比f(n-1)多最底层:1+2+…+n个,即

把这n个式子迭加得

3　递推求值问题

T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案, 第6棵树种植点的坐标应为________;第2 008棵树种植点的坐标应为________.

x1=1,

……

同理, y1=1,

……

故第6棵树种植点的坐标应为(1,2),第2 008棵树种植点的坐标应为(3,402).

注意到x1=1,y1=1,把它们代入递推关系式,计算得:

数列xn:1,2,3,4,5, 1,2,3,4,5, 1,2,3,4,5,…;

数列yn:1,1,1,1,1, 2,2,2,2,2, 3,3,3,3,3, 4,4,4,4,4,…

因此,第6棵树种植点的坐标应为(1,2).

又2 008=5×401+3,所以第2 008棵树种植点的坐标应为(3,402).

4　混合浓度问题

设第n个观测点处A股河水含沙量为ankg·m-3, B股河水含沙量为bnkg·m-3,n=1,2,3,…,则

a1=2, b1=0.2, a1-b1=1.8.

故数列{an-bn}是首项为a1-b1=1.8, 公比为1/2的等比数列,于是an-bn=1.8(1/2)n-1.

令1.8(1/2)n-1<0.01,即2n-1>180.

由于27<180, 28>180,结合指数函数的单调性,得n-1≥8,故n≥9.

因此,从第9个观测点开始,A股河水的含沙量与B股河水的含沙量之差小于0.01kg·m-3.

北京陈经纶中学)