基于建模的“鸡兔同笼”教学

杭勇

[摘 要]“鸡兔同笼”是一道非常有名且具有代表性的题目，根据基本的“鸡兔同笼”模型又拓展出了很多同类型的题目。从建模角度出发，通过基本列表分析、尝试建模、拓展应用三个角度，为帮助学生理解鸡兔同笼提供思路。

[关键词]建模 列表 拓展 鸡兔同笼

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-091

在传统鸡兔同笼教学中，教师大多使用的是使用基本的“砍脚法”“假设法”进行教学，但是学生如果碰到了“分数”“钱币”“人马”等稍稍变换了的题目，就没办法用鸡兔同笼的解题方法来分析。模型则是从本质出发，以不变应万变，帮助学生建立起较为完整的思考模式，让学生不但知其然，更知其所以然。

一、列表分析，打下基础

在初识鸡兔同笼的时候，教师可以用“笨”方法来让学生有最为直观的感触，也就是利用列表的方式让学生观察鸡和兔发生了怎样的变化。

师：现在一共有7只鸡和兔子，如果按照这个表（用PPT播放）来列，不同只数的鸡和兔子分别有多少只脚呢？（生列表，师观察，并带动学生在板书中将列表补充完整）

师：你们在计算和列表的时候，发现了什么？

生1：总只数是不变的，一直是7只，每减少1只鸡增加1只兔子，就会多2只脚。

师：没错，那反过来呢？我想少4只脚，需要怎么做呢？

生2：那就得把2只兔子换成2只鸡。

师：我想多8只脚呢？

生3：那就把4只鸡换成4只兔子。

师：如果鸡兔总数不变，我现在要24只脚，那么有几只兔子几只鸡？

生4：5只兔子2只鸡。加入都是兔子，那么7只兔子有28只脚，现在要去掉4只，就用2只鸡来换2只兔子，所以是5只兔子2只鸡！

在这个阶段，学生更多的是用比较传统有效的方法理清兔子和鸡之间到底有什么关系，这个思考的过程需要教师巧妙、持续的引导。

二、尝试建模，归类分析

在第二个阶段，就是要把之前所列的表格、总结的规律转化为用数学符号构成的模型，在将来遇到同类的问题时，只需将数据套入这个模型就能得到正确答案。

师：现在仔细观察表格，头数等于什么？

生5：头数=鸡头数+兔头数。

师：那兔头数又等于什么？

生6：兔头数=脚数÷2-头数。

师：我们来验证一下生6说的对不对。选20只脚，20÷2-7=3（对比表格），没错，就是3只兔子。我们再验证一下这个表格之外的鸡兔同笼用这个公式对不对。假设一共有20只，有44只脚，那么有几只兔子几只鸡？

生7：44÷2-20=2，所以是一共有2只兔子，18只鸡，2只兔子是8只脚，18只鸡有36只脚，加起来一共是44只，也是对的。

师：看来我们总结的这个模型是正确的。

在第二个阶段，是将现象划为规律，并用数学符号表示出来，整个过程是由实（数据）转虚（思考结果），再由虚（思考结果）转实（数学模型）的过程，有些学生可能会适应不了转换的过程，需要教师注意引导和指导。

三、拓展应用，开放思维

拓展部分需要教师将由鸡兔同笼拓展出的问题列出来，在学生思路比较清晰的时候，及时稳固。

师：除了鸡兔同笼，实际上还有另外一种，那就是鹤龟问题。假设现在鹤龟一共有30只，有76只脚，谁知道有几只鹤几只龟？

生8：这个可以用鸡兔同笼的模型，76÷2-30=8，有8只乌龟和22只鹤。

师：没错，实际上我们平时也经常接触“鸡兔同笼”的问题。给你们举个例子，警察查案子，需要知道车棚里有多少三轮车和自行车，看门的大爷说一共有10辆车，而照片只显示一共有26个轮子，那么你们知道自行车和三轮车各有几辆么？

生9：三轮车比自行车多1个轮子，假设全是自行车，那么就20个轮子，要换下来6辆三轮车才能多6个轮子，所以一共有6辆三轮车和4辆自行车。

师：很好，其实这个和鸡兔同笼问题很像，如果让你来总结这个模型的话，你觉得是什么呢？

生10：应该是三轮车数=（轮子数÷2-车数）×2。

师：很好。给你们留两个思考题（略），你们不但要计算出结果，还要把模型列出来，下节课我们再一起讨论。

在拓展部分，教师要循序渐进，让学生以鸡兔同笼的思考模式进行思考，但又不能被局限在鸡兔同笼的模型上，形成一个最终的模型。

模型强调的是一种思考模式，而不是死记硬背。鸡兔同笼问题涉及范围非常广泛，也非常适合利用模型的思想来思考，教师要利用好这个特点，为学生构架起系统的思考模式。

（责编 童 夏）