基于三次B样条模型的油水相对渗透率曲线数值反演方法

王代刚，张环环，侯 健，孙静静，罗福全，王 伟

(1.中国石油 勘探开发研究院，北京 100083; 2.中国石油大学(华东) 石油工程学院，山东 青岛 266580; 3.中国石油 冀东油田分公司，河北 唐山 063000)



基于三次B样条模型的油水相对渗透率曲线数值反演方法

王代刚1，张环环2，侯 健2，孙静静2，罗福全3，王 伟3

(1.中国石油 勘探开发研究院，北京 100083; 2.中国石油大学(华东) 石油工程学院，山东 青岛 266580; 3.中国石油 冀东油田分公司，河北 唐山 063000)

摘要：引入三次B样条相渗表征模型，通过半迭代集合卡尔曼滤波(EnKF)算法对见水前、后的生产动态数据进行自动历史拟合，提出了一种新的油水相对渗透率曲线数值反演方法。以某径向流数值岩心模型为例，对比分析了三次B样条模型与幂律模型的优劣。结果表明，相比于传统的幂律模型，三次B样条模型可对油水相对渗透率曲线进行局部逼近，灵活性更强，反演精度更高。通过对径向流岩心驱替实验数据进行自动历史拟合，反演估算了油水相对渗透率曲线。对驱替压差、累产油及累产水等观测数据拟合效果好，相对误差均小于5%，说明本文方法可靠性强，计算结果能够满足工程实际的需要。

关键词：三次B样条模型；油水相对渗透率；数值反演；EnKF算法

王代刚,张环环,侯 健,等.基于三次B样条模型的油水相对渗透率曲线数值反演方法[J].西安石油大学学报(自然科学版),2016,31(1)：85-89,95.

WANG Daigang,ZHANG Huanhuan,HOU Jian,et al.A method to implicitly estimate water-oil relative permeability curve using cubic B-spline model[J].Journal of Xi'an Shiyou University (Natural Science Edition),2016,31(1): 85-89,95.

引言

油水相对渗透率曲线是油藏开发中的一项重要资料[1-4]。目前，相渗曲线主要通过岩心驱替实验获取，计算方法主要包括：以Johnson-Bossler-Naumann(JBN)为主的解析方法和数值反演方法。与JBN等解析方法相比，应用数值反演方法处理室内驱替实验数据时，既可综合利用见水前、后动态数据，又考虑了毛细管压力、非均质性等因素对反演结果的影响，计算得到的相渗曲线完整且精度较高[5]，因而成为国内外学者研究的热点。Chen、Li以及Eydinov等[6-8]学者从不同角度考虑，提出了一系列相对渗透率曲线数值反演方法。在数值反演方法中，相渗表征模型和优化算法的选择是影响相渗反演效果的关键因素。目前，应用最广泛的相渗表征模型是幂律模型，该模型结构简单，但灵活性差，不能准确表征矿场实际中的各种曲线形式。此外，传统的优化算法[9-12]由于需要计算目标函数的梯度，计算过程繁琐，而不能很好地适用于非线性油藏中的多相渗流问题。

针对目前研究中存在的问题，本文引入三次B样条相渗表征模型，通过半迭代集合卡尔曼滤波(EnKF)算法对见水前、后的生产动态数据进行自动历史拟合，建立一种新的油水相对渗透率曲线数值反演方法，并利用数值算例和径向流驱替实验数据验证方法的有效性。

1基本原理

建立油-水相对渗透率曲线数值反演方法的基本思路如下：①优选压力、产量等动态数据建立目标函数；②选择计算效率高、收敛速度快的优化算法作为自动历史拟合方法；③确定油水相对渗透率曲线的表征模型；④结合油藏数值模拟器，通过自动历史拟合方法不断调整相渗表征模型的控制参量，使动态数据观测值与模型预测值的误差平方和达到最小，即通过最小化目标函数，寻找反演参数向量的最优解。最终反演油-水相对渗透率曲线。

1.1三次B样条相渗表征模型

对于油、水相对渗透率曲线，首先定义无因次含水饱和度

(1)

式中：Sw为含水饱和度；Swc为束缚水饱和度；Sor为残余油饱和度。

将区间[0,1]均匀划分为n段，每段间隔Δu=1/n，则SwD,j=jΔu=j/n，相应的三次B样条模型一般形式为

(2)

(3)

此外，通过对数变换的方法将控制节点转化为拟控制节点，以保证相对渗透率曲线的单调上凸性。对于水相相对渗透率曲线，有

(4)

对于油相相对渗透率曲线，有

(5)

(6)

迭代计算过程中，利用优化算法不断调整相渗表征模型的控制参数向量m，每一次迭代结束后，反求式(4)和式(5)组成的线性方程组获取控制节点向量Cw、Co，从而得到符合单调上凸性要求的典型油水相对渗透率曲线，如图2所示。

图2　典型的三次B样条模型油水相对渗透率曲线Fig.2　Typical oil-water relative permeability curves based on the cubic B-spline model

1.2集合卡尔曼滤波(EnKF)算法

集合卡尔曼滤波(EnKF)算法是新近兴起的一种蒙特卡洛方法，已成功应用于油藏生产历史拟合[13-15]，它通过一定数量的集合更新协方差矩阵。相比于其他优化算法，EnKF方法不需要计算目标函数的梯度，收敛速度快。此外，由于仅需要模型的输入和输出数据，EnKF方法就能够很好地与任意油藏数值模拟器进行对接。

定义n时刻的动态场

(7)

式中：p为油藏压力向量；Sw为含水饱和度向量。将油藏动态数据观测向量dobs定义为

从20世纪50年代到90年代，矿山的充填经历了干式填充、水力填充、胶结填充以及膏体填充阶段。目前，地下硬岩采矿企业几乎都采用膏体填充工艺[31]。截至2012年，美国、俄罗斯和德国等发达国家已实现尾矿井下全填充。

(8)

式中：n为tn时刻；pi为注入端压力；Qw为累积水流量；Qo为累积油流量。基于渗流力学理论，油藏模型、动态场与生产数据之间满足

(9)

式中，gn为油藏数值模型，反映了tn时刻动态数据预测值与油藏模型的关系。求解式(9)实际是运行油藏数值模拟程序的过程。

(10)

基于EnKF方法隐式求解径向流油水相对渗透率曲线是一个反问题的求解过程。EnKF方法通过对目标函数

(11)

(12)

为保证更新静态与动态参数的一致性，Wang等[16-17]人提出了一种半迭代的EnKF方法，即

(13)

2相渗曲线反演方法的验证与应用

2.1径向流数值岩心模型

研究过程中，建立一维径向流数值岩心模型，采用径向网格系统，共划分12×1×1=12个网格，布井方式为中间注、四周采，生产模式与室内实验常用控制条件保持一致，即定液注入、定压生产。岩心外径、内径和长度分别为100mm、5mm、80mm，注入速度为0.001 5m3/d，回压为2.95MPa，孔隙度为0.3，油相、水相黏度分别为1.5mPa·s、1.0mPa·s。模型渗透率场由中心向四周按等差数列递减分布，平均渗透率为1 000×10-3μm2，渗透率级差为3。模型输入的油水相对渗透率曲线如图3所示，并考虑毛细管压力的影响，如图4所示。

本文分别以幂律模型[2]、三次B样条模型作为油水相渗表征模型，通过迭代EnKF方法对压力、产量数据进行自动历史拟合， 反演计算得出径向流条件下的油水相对渗透率曲线，结果如图5所示。

图3　模型输入的油水相对渗透率曲线Fig.3　Water-oil relative permeability curve used for input of cubic B-spline model

图4　模型输入的毛细管压力曲线Fig.4　Capillary pressure curve used for input of cubic B-spline model

由图5分析可知，幂律模型在拟合油水相对渗透率曲线时是整体拟合，而三次B样条模型可对相渗曲线进行局部逼近，灵活性更强，反演精度更高，验证了本文方法的高效性。

图5　两种模型的拟合结果比较Fig.5　Comparison of the inversion results of production parameters using different relative permeability representation models

2.2径向流室内岩心驱替实验

设计如图6所示岩心驱替实验装置的同时，开展了径向流室内岩心驱替实验，实验注采方式为中间注、四周采，控制条件为定液注入、定压产出。图7反映了天然水湿砂岩油藏取心圆盘状岩样中的径向渗流特征，模拟岩样的主要参数如表1所示。在此基础上用本文提出的方法反演计算得出径向流油水相对渗透率曲线，结果如图8所示。

由图8分析可知，驱替压差、累产油及累产水等观测数据的拟合效果较好，相对误差分别为4.3%、3.2%和0.7%，这表明本文提出的油水相对渗透率曲线反演计算方法可靠性强，相渗曲线的反演精度较高，能够满足工程实际的需要。

图6　径向流岩心驱替实验装置Fig.6　Principle diagram of laboratory radial flow core displacement system

图7　圆盘状岩样中的径向渗流Fig.7　Radial flow in a disk-shape core sample

岩心外径/m0.08平均渗透率/10-3μm28000岩心内径/m0.003初始含油饱和度0.876岩心厚度/m0.0294束缚水饱和度0.124注入速度/(m3·d-1)0.0028残余油饱和度0.1837回压/MPa0.101水相黏度/(mPa·s)1.0岩心初始压力/MPa0.101油相黏度/(mPa·s)10.0孔隙体积/m35.89×10-5岩石压缩系数/MPa-14.50×10-4

图8　基于本文方法的油-水相对渗透率曲线反演结果Fig.8　Inversion results of production parameters using relative permeability representation model in this paper

3结论

(1)引入三次B样条相渗表征模型，通过半迭代集合卡尔曼滤波(EnKF)算法对见水前、后的压力和产量数据进行自动历史拟合，提出了一种新的油-水两相相对渗透率曲线数值反演方法。数值算例结果表明，相比于传统的幂律模型，三次B样条模型可对相对渗透率曲线进行局部逼近，灵活性更强，反演精度更高。

(2)基于本文建立的油水相对渗透率计算方法对径向流岩心驱替实验数据进行了拟合，反演估算了油水相对渗透率曲线。驱替压差、累产油及累产水等观测数据拟合效果好，相对误差均小于5.0%。表明本文提出方法可靠性强，计算结果能够满足工程实际的需要。

参 考 文 献：

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责任编辑：贺元旦

DOI：10.3969/j.issn.1673-064X.2016.01.014中图分类号：TE311

文章编号：1673-064X(2016)01-0085-05

文献标识码：A

收稿日期：2015-10-20

基金项目：国家科技重大专项(编号：2011ZX05011)；新世纪优秀人才支持计划(编号：NCET-11-0734)

作者简介：王代刚(1988-)，男，博士研究生，主要从事油气田开发工程方面的研究。E-mail:wwwdg2006@126.com

A Method to Implicitly Estimate Water-oil Relative Permeability Curve Using Cubic B-spline Model

WANG Daigang1,ZHANG Huanhuan2,HOU Jian2,SUN Jingjing2,LUO Fuquan3,WANG Wei3

(1.Research Institute of Petroleum Exploration & Development,CNPC,Beijing 100083;2.Faculty of Petroleum Engineering,China University of Petroleum (East China),Qingdao 266580,Shandong,China;3.Jidong Oilfield Company,CNPC,Tangshan 063000,Hebei,China)

Abstract:With regard to the problems existing in the current water-oil relative permeability curve calculation methods,the cubic B-spline model is introduced to represent the water-oil relative permeability curve,and the optimization of production performance before and after water breakthrough is performed using an iterative ensemble Kalman filter (EnKF)algorithm.Finally,a novel estimation method for water-oil relative permeability curve is established.A test based on the basic data of a radial numerical core experiment is performed to verify the effectness of the proposed method.The results show that,compared with the conventional power law model,the cubic B-spline model is higher flexiblity and inversion accuracy,and it has the advantage of local approximation.In addition,the proposed method is utilized for the history matching of the dynamic data of the radial core displacement experiment to estimate the water-oil relative permeability curve.It is indicated that,the fitting effect of the dynamic data including injection pressure,cumulative oil production and cumulative water production is well,all the relative error is less than 5.0%,which shows that the proposed method is reliable and can meet the engineering requirement.

Key words:cubic B-spline model;water-oil relative permeability;numerical inversion;EnKF algorithm