基于有限元法的齿轮强度接触研究分析

戴喜明（上海宝钢节能环保技术有限公司，上海 201999）



基于有限元法的齿轮强度接触研究分析

戴喜明
（上海宝钢节能环保技术有限公司，上海 201999）

摘 要：本文首先介绍了针对齿轮接触的有限元原理，其次根据齿轮结构特性及相关理论导出渐开线齿廓方程和齿轮啮合位置方程，在此基础上利用有限元方法进行模型构建，进行数值模拟，最后对数值模拟与仿真计算结果展开分析，结论与齿轮实际情况相吻合，以期对齿轮接触强度有限元分析领域有所贡献。

关键词：有限元原理；齿轮；接触强度；数值模拟

1. 齿轮接触的有限元原理

齿轮有限元接触理论包括静态分析和动态分析。静态分析理论中，首先应满足弹性静力学控制方程（式1），这是静态分析的基础，同时附加法向和切向接触条件。法向接触条件主要是用来判断主从动轮是否接触，且此时的法向应力为压力。切向接触条件承接法向接触条件，即判断已发生接触的齿轮面之间的接触细节，选用相关模型重点研究其接触面的摩擦情况。从理论上讲，啮合齿面的摩擦接触状态包括以下3种类型：（1）摩擦接触较为明显的黏结状态；（2）即将脱离摩擦条件的滑动状态；（3）不存在摩擦力的分离状态。平衡方程

式中：σij，j—应力张量偏导；—体积力张量；uij，uji—位移张量的偏导；εij—应变张量；σij—应力张量；G，λ—Lame常数；δij，δkl—Kronecher符号。

式中：K—集成结构的刚度矩阵；U结构节点位移列阵；Q—结构节点外部载荷列阵；F—结构节点接触载荷列阵。

因此，进行接触面分析时，首先应先定义齿轮啮合面的接触状态以及接触区，合理判定，并选择出合适的边界条件。一般采用如式（2）所示的有限元方程来研究主从动轮接触问题。

动态分析的基本控制方程与约束条件与静态方法相似，其求解方程如式（3）所示。

式中：ρ—质量密度；μ—阻尼因数；ui，tt—i方向的加速度。利用Hamilton变分原理，实现公式（3）的有限元化。在进行齿轮的有限元动态分析时，有关时间因素在内的域是关键，Newmak法的广泛应用就充分验证了这一特性。

2. 渐开线齿轮啮合方程

2.1 渐开线齿廓方程

由端面参数相同的齿轮啮合渐开线以图2所示的齿廓曲线为参照通过移动重叠所形成的曲面作为渐开齿廓曲面。图1所示中的点P为齿廓上的任一点，而点C为对应分度圆上的点。参照渐开线的极坐标方程可以得到

在坐标面OZa中，P点对应的齿廓方程为：

2.2 齿轮啮合位置方程

考虑到齿轮啮合接触面的复杂性，为得到更为精准的分析模型，主要思路是：首先应该将主、从动轮前端面的几何体定义出来，然后利用坐标在坐标系之间的转换得到彼此之间的空间位置。图2显示的坐标转换关系。在图2中，坐标系O1Z1a1为主动轮的前端面坐标系，而O2Z2a2则是表示从动轮，可以假定在转换之前二者为近似重合位置关系。具体操作如图2所示。

Sc1、s2是主动轮啮合位置的齿厚及分度圆齿厚，Sc2、s2相应的从动轮的几何参数；Tc1、Tc2为主、从动齿轮啮合位置的压力角。

O2点在O1Za坐标系中的坐标（Z0，a0）为：

图1　齿廓曲线图

图2　主从齿轮位置转换图

3. 有限元计算模型构建

3.1 轮齿建模

从主、从齿轮各自的前端面作为坐标系转换的基准，因此，首先应从以此作为有限元网格划分切入点，然后按照上述的转换思路，转换得到相应的啮合点位置。轮齿部分选用8结点参数相同的实体单元，得到的网格分布特别密集，网格具体大小应根据形状或外力矩进行调整。轮缘和轮壳部分同轮齿选用结点单元相同，即8结点实体单元。而辐板部分选用的是4结点版壳单元。

表1　算例参数

表2　最大接触应力σmax

3.2 边界条件及外载荷

检查主动轮的有限元模型，确保最大边界的结点处在坐标系中，保证在z轴方向可自由移动及a轴的零位移（Va=0）。各结点在坐标转换过程中的转角大小为：

式中：Zi、ai——相应结点的坐标；

保证从动轮模型各个结点沿z轴以及a轴方向没有发生位移。外载荷是通过等效转化成结点力作用在主动齿轮上的。

4. 数值模拟与仿真计算结果

此次设计模拟6个算例，具体参数如表1。

算例2的压力角T2=35°，其余均为T=30°，其余参数见表1啮合方式选用外啮合。

通过计算，求得各算例的齿轮最大接触应力，并将有限元计算结果与ISO齿轮强度计算。

标准对比分析，见表2。

通过计算，分别得到算例齿轮接触表面的应力分布，并计算得到最大接触应力，并将计算结果与ISO齿轮强度计算标准比较分析。

结论

本文通过有限元方法进行模型构建，进行数值模拟，最后对数值模拟与仿真计算结果展开分析，结论与齿轮强度标准结果基本吻合，说明该方法能够运用于齿轮接触强度分析，也能为齿轮进一步优化设计提供可靠依据。而且相比于其他的零部件设计，齿轮的重要性和复杂性也从客观上要求一个更加优化的分析计算工具，这样可以从制造工艺上面节省大量的人力物力资源，从而提高了工作效率。事实上，该有限元分析方法的计算功能的有限元分析有着其他十分重要的功能，相信在不久的将来该程序的计算功能的有限元分析可以推广到其他的零件领域，甚至是各行各业。

参考文献

［1］武丽.有限元分析法及其软件在齿轮接触强度分析中的应用［J］.机械管理开发，2007（2）：74-75.

［2］罗齐汉，李成刚，厉海祥，胡于进.齿轮弯曲强度有限元精确分析方法研究［J］.机械科学与技术，2007（9）：12-15.

中图分类号：TH114

文献标识码：A