一种三转动并联机构的运动学及解耦性分析与仿真

郭晓宁，张晓东，姚立纲

(福州大学机械工程及自动化学院，福建福州350116)

一种三转动并联机构的运动学及解耦性分析与仿真

郭晓宁，张晓东，姚立纲

(福州大学机械工程及自动化学院，福建福州350116)

对一种支链含等速万向节的R RR－PaRRS－RHJ型三转动并联机构的运动学及其解耦特性进行分析.首先，对机构进行运动特性分析和自由度计算.然后，通过构件间的几何关系对机构进行运动学分析，给出机构位置正、逆解析解，推导出机构在定坐标系和动坐标系下的速度雅克比矩阵，根据雅可比矩阵分析此机构在不同坐标系下表现的不同耦合性.最后，运用ADAMS软件进行运动学仿真，验证了理论分析的正确性.

三转动并联机构;运动分析;解耦性;ADAMS仿真

0 引言

与串联机构相比，并联机构由于其强耦合性使其具有结构紧凑、承载能力强、精度高等显著优点，在机器人领域得到了广泛应用.但也正因为这种强耦合性，使其在结构设计装配、运动学分析以及控制系统设计等方面存在诸多困难，给并联机构的应用带来局限.若并联机构能实现完全解耦或各向同性，即输入与输出之间存在一一对应关系，则会解决上述制约并联机构应用的问题.因此，在承载能力要求不高的领域，解耦或完全各向同性并联机构的研究已是当前机构学领域的热点之一.

Carricato［1］基于螺旋理论综合了3T1R型完全各向同性并联机构.Gogu［2－3］通过先综合出无耦合机构再利用运动副替换的方法得到3T、2T1R、2T2R、3R等多种完全各向同性并联机构构型，其中综合出的3R完全各向同性并联机构都包括一条含有等速万向节的支链，并且没有进行运动学分析.张彦斌等［4］基于螺旋理论提出了完全各向同性的少自由度并联机构型综合方法，并综合得到具有完全各向同性的3T、2T1R型并联机构.张帆等［5］基于机构雅可比矩阵的物理含义和支链驱动原理，综合出全R副的3R全局各向同性转动并联机构和解耦球面转动的并联机构.但是，Kong X等［6］对其提出的并联机构提出质疑，并证明了其并不具有解耦特性，更不具有各向同性.同时，Legnani G等［7］也提出并证明了对于动平台具有两个或三个旋转自由度且只含有一般运动副的并联机构，由于角速度不可积分的特性，要使机构在整个工作空间内保持完全各向同性和解耦是不可能的，只可能在某些特定位置具有各向同性和解耦特性.侯雨雷［8］根据螺旋理论分析三自由度转动解耦并联机构型综合后得出:物体在先后绕三条相互垂直的坐标轴旋转过程中会出现伴随转动，从而导致运动耦合，因此3R并联机构只能瞬时解耦，而无法实现完全解耦.解耦是完全各向同性的必要条件，由此引出问题:文［3］提出的并联机构构型是否具有完全各向同性?

基于此问题，本研究对文［3］提出的R RR－PaRRS－RHJ型三转动并联机构进行详细的运动学分析，讨论此机构在不同参考坐标系下的运动解耦性.最后利用ADAMS软件对机构进行仿真验证理论推导的正确性.

1 机构设计和运动特性分析

1.1 机构描述

RRR－PaRRS－RHJ并联机构简图如图1所示.每条支链上与基座连接的运动副R1、Pa、R6为主动副.第1支链的运动副类型及配置方式为R1⊥R2⊥R3，即3个转动副的转动轴线互相垂直并相交于动平台的转动中心.第2支链由1个平行四边形铰链Pa、2个转动副和1个球副串联而成，其结构组成为:Pa∥R4∥R5－S.第3支链由转动副R6和等速万向节HJ组成.在动平台的转动中心(等速万向节的转动中心)建立固结于基座的定坐标系O－XYZ，其Y轴重合于第3支链中转动副R6的轴线，Z轴沿铅垂方向且与转动副R1的轴线共线，X轴可通过右手准则确定.同样在动平台的转动中心处创建固结于动平台的动坐标系p－xyz.机构的结构参数如下:转动副R1到转动中心O的距离为l11，转动副R2到转动中心O的距离为l12，转动副R3到转动中心O的距离为l13;转动副R4的初始位置位于X轴上，转动中心O到其轴线的距离为l20，R4与R5之间的距离为l21，R5到球副S的距离为l22，且l22=l20.平行四边形铰链Pa参数如图1所示，其中杆长a=l21;第3支链中转动副R6到转动中心O的距离为l31;动平台转动中心O到球副S的距离为l.

1.2 运动输出特性分析和自由度计算

由图1所示机构的装配形式可知:第1支链和第3支链限制了动平台沿x、y、z轴的移动自由度;第2支链含有6个自由度，对动平台无约束.因此，该机构动平台只具有绕x、y、z轴转动的运动输出.

机构自由度可通过修正Chebyshev－Grübler－Kutzbach(CGK)［9］公式来计算，即:

其中:M为机构自由度;d为机构的阶数(d=6－λ，λ为公共约束数);n为包括机架在内的构件数目;g为运动副个数;fi为第i个运动副的自由度数;ν为冗余约束数;ζ表示局部自由度数.

对于该并联机构:第1支链和第3支链同时限制了动平台沿x、y、z轴的移动自由度，故冗余约束个数ν=3;构件数n=8;运动副个数g=9;不存在局部自由度，即ζ=0.代入式(1)可得机构自由度数为: M=6×(8－9－1)+12+3=3，与上述机构运动输出特性的分析结果一致.

2 位置分析

图1所示机构中，初始位置动坐标系p－xyz和静坐标系O－XYZ重合，动平台的空间姿态由动坐标系的Z－X－Y型欧拉角(Euler angle)描述，动平台先绕z轴转α角，再绕x轴转β角，最后绕y轴转γ角，三次旋转都是相对于动坐标，则刚体最终的姿态矩阵OTp为:

其中:

2.1 位置逆解

设θai、θ·ai(i=1，2，3)分别为第i支链主动副的转角和角速度.

对于第1支链，分别以矢量u、v、w表示主动副R1、中间转动副R2以及与动平台相连的转动副R3轴线的单位矢量方向.初始位置时三个转动副相对于定坐标系O－XYZ的单位矢量为:

当与R1相连的电机转动角度θa1时，R2的单位矢量为:

R3的单位矢量为:

由运动链的几何关系:v⊥w，可得:

将式(3)、(4)代入式(5)，可得:

对于第2支链，为便于分析，将其中的平行四边形铰链等效为导路方向平行于Z轴的移动副.首先用D－H方法建立该支链的连杆坐标系O－x0y0z0(与定坐标系O－XYZ重合)、Oi－xiyizi(i=1，2，3)，相关参数如图2所示，则坐标系Oi－1－xi－1yi－1zi－1与Oi－xiyizi之间的变换矩阵i－1Ti为:

将图2中的参数代入式(7)，即可得到各连杆坐标变化矩阵:0T1、1T2、2T3.由此，球副中心坐标系O3－x3y3z3在定坐标系O－XYZ中的变换矩阵:

由此，球副S的空间位置为:

另外，球副的空间位置也可以用Z－X－Y欧拉角表示.机构处于初始位置时，球副S在定坐标的位置为:P0=(0l210)T.动平台经ZXY欧拉变换后，S在定坐标的位置为:

因为:PDH=P，所以:l21sin θa2=l21sin β，即:

对于第3支链，驱动构件直接通过等速万向节与动平台相连.等速万向节的输出轴与动平台固连，且旋转轴线始终与动坐标的y轴重合，显然:

2.2 位置正解

已知三条支链中主动副的输入转角θai(i=1，2，3)，求动平台的空间姿态角(α、β、γ).根据式(6)、(10)、(11)，可迅速求得位置正解:

3 速度分析

机构运动解耦是各向同性的基础，传统意义上的运动解耦概念是相对于固定坐标系，而象并联机构这样复杂机构很难实现诸如此类型的解耦运动;但如果将运动解耦的概念建立在动坐标系上，机构主动副的输入速度和动平台的输出速度之间容易实现一一对应的控制关系［9］.为此，本研究分析机构动平台在固定坐标系(惯性坐标系)和动坐标系(物体坐标系)下动平台的转动角速度.

设在固定坐标系中描述动平台运动的瞬时空间角速度［ωzωxωy］T，在动坐标系中描述动平台运动的欧拉角参数空间角速度.将式(12)分别对时间求导，得到在动坐标系p－xyz下，由欧拉角描述的动平台空间角速度与主动副角速度之间的关系:

式中:Jp为并联机构在动坐标系p－xyz下的雅可比矩阵.

对于Z－X－Y型欧拉角描述的动平台的空间姿态，固定坐标系下动平台的瞬时角速度［ωzωxωy］T与动坐标系下动平台的转动角速度之间的关系为:

式中:G^为欧拉转轴坐标系到构件质心坐标系的坐标变换矩阵，

把式(13)代入式(14)，得到定坐标系下，动平台角速度与主动副角速度之间的关系:

式中:J为并联机构在定坐标系O－XYZ下的雅可比矩阵.

4 机构的完全各向同性分析

由式(13)可知:在动坐标系下，雅克比矩阵Jp为单位阵，由此，此并联机构在整个工作空间内，雅克比矩阵Jp的条件数:

式中:σmax、σmin分别表示雅克比矩阵Jp的最大、最小奇异值.

由此可知:在动坐标系下，此并联机构具有完全各向同性.而在定坐标系下，由于雅克比矩阵J不是单位阵，所以机构不具有完全各向同性.因det(J)=cos β，机构在β=±π/2时出现奇异位形.

5 虚拟样机仿真

为验证以上分析，在ADAMS软件中建立了机构的虚拟样机模型，并对其进行运动学仿真分析.

5.1 位置逆解仿真

在机构动平台的转动中心施加点驱动，使动平台实现期望运动，点驱动的运动激励角位移函数为:绕Z轴disp(time)=5 d*time*time;绕X轴disp(time)=10 d*time*time;绕Y轴disp(time)=15 d*time* time.

设定仿真类型为Default(运动学)，仿真时间为2 s，步数为100，进行仿真分析后，得到动平台角位移与主动副转角关系曲线:α－θa1关系曲线、β－θa2关系曲线、γ－θa3关系曲线，分别如图3～图5所示.

分析图3～图5的运动曲线可知:主动副θa1、θa2、θa3分别与动平台的转角α、β、γ之间存在一一对应的关系，仿真结果与运动学逆解解析式完全一致.

5.2 位置正解仿真

在各支链主动副添加驱动，通过三个主动副驱动机构运动.三个主动副角位移的运动规律分别为:

进行2 s、100步的仿真，相应的角位移关系曲线:θa1－α关系曲线、θa2－β关系曲线、θa3－γ关系曲线分别如图6～图8所示.比较图6～图8的变化曲线可知:动平台姿态角的变化与主动副转角相同，即运动学正解表达式与仿真结果一致.

5.3 速度仿真

在ADAMS的后处理模块中对主动副和姿态角位移曲线求一阶导，得到动坐标系下驱动副和动平台的角速度关系曲线:1－关系曲线、2－关系曲线3－关系曲线，分别如图9～图11所示.

由图9～图11可知:如果在物体坐标系下描述动平台运动，动平台角速度α·、β·、γ·与主动副角速度之间呈一一对应关系，即每一个输入仅控制一个输出，而每一个输出也仅受到唯一一个输入的影响，验证了机构的完全各向同性.

若在固定坐标系下描述动平台旋转运动，则通过ADAMS仿真测得的动平台角速度［ωzωxωy］T曲线如图12(a)所示.

为验证仿真结果的正确性，对式(17)求一阶导，得到主动副转速:=30t;然后将其代入式(15)，则动平台角速度为:利用Matlab软件计算式(18)，并把计算结果绘制成曲线，结果如图12(b)所示.

由图12可知:仿真结果与理论计算完全一致，速度分析合理.因此，在定坐标系下，主动副的输入速度和动平台的输出速度之间不存在一一对应的关系，机构不满足传统意义上的解耦.

6 结语

本研究对R RR－PaRRS－R HJ型并联机构的运动特性和位置正逆解析解进行了详细分析与仿真，并研究机构在不同参考坐标系下的耦合性和各向同性.研究表明:

1)机构动平台具有3个转动自由度，结构简单紧凑，容易制造;

2)此机构在定坐标系下存在运动耦合;在动坐标系下，全局雅克比矩阵为单位矩阵且条件数恒等于1，机构表现为完全各向同性，机构在控制和轨迹规划等方面较为简单.本研究所做工作为该机构的动力学分析和控制系统开发奠定了理论基础，该机构在微操作机器人、医疗机器人、坐标测量机等精度要求高而承载能力不高的领域具有广阔的应用前景.

［1］CARRICATO M.Fully isotropic four－degrees－of－freedom parallel mechanisms for schoenflies motion［J］.International Journal of Robotics Research，2002，121(2):161－174.

［2］GOGU G.Fully－isotropic T1R3－type redundantly－actuated parallel manipulators［M］//Recent Progress in Robotics:Viable Robotic Service to Human.Heidelberg:Springer，2008:79－90.

［3］GOGU G.Fully－isotropic three－degree－of－freedom parallel wrists［C］//Proceedings 2007 IEEE International Conference on Robotics and Automation.Roma:［s.n.］，2007:895－900.

［4］张彦斌，王慧萍，吴鑫.完全各向同性3自由度平面并联机构的型综合［J］.光学精密工程，2012，20(3):579－586.

［5］张帆，杨建国，李蓓智，等.一种全局各向同性的三自由度转动并联机构［J］.中国机械工程，2008，19(13): 1 552－1 555.

［6］KONG X，GOSSELIN C，CARRICATO M.Comments on“Design and analysis of a totally decoupled 3－DOF spherical parallel manipulator”by D.Zhang and F.Zhang［J］.Robotica，2011，29:1 101－1 103.

［7］LEGNANI G，FASSI I，GIBERTI H，et al.A new isotropic and decoupled 6－DOF parallel manipulator［J］.Mechanism and Machine Theory，2012，58:64－81.

［8］HOU Y L，ZENG D X，DUAN Y B，et al.The nonexistence of three degrees of freedom rotational fully decoupled parallel mechanism［J］.Applied Mechanics and Materials，2013，(284/285/286/287):1 951－1 955.

［9］于靖军，刘辛军，丁希仑，等.机器人机构学的数学基础［M］.北京:机械工业出版，2008.

(责任编辑:沈芸)

Kinematics and decoupling analysis along with simulation of a 3－DOF rotational parallel mechanism

GUO Xiaoning，ZHANG Xiaodong，YAO Ligang
(School of Machine Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou，Fujian 350116，China)

This paper analyses the kinematics and decoupling performance of a R RR－PaRRS－RHJ type 3－DOF rotational parallel mechanism with a special chain containing homokinetic joints.Firstly，the motion output characteristic is investigated and the degree of freedom is calculated.Kinematics are analyzed by the geometric relationship between the components of the mechanism.Both the forward and the inverse analytical solutions of the moving platform’s position were obtained，the Jacobian matrixes under the fixed coordinate system and moving coordinate system are derived.According to Jacobian matrix，the coupling performance of mechanism in different coordinate systems is analyzed.Finally，the kinematic simulation of this mechanism was performed by ADAMS.As a result，the correctness of theoretic analysis is proved.

3－DOF rotational parallel mechanism;kinematics analysis;decoupleness;ADAMS simulation

TH112;TP242

A

10.7631/issn.1000－2243.2016.06.0800

1000－2243(2016)06－0800－07

2015－10－12

郭晓宁(1975－)，副教授，主要从事虚拟设计以及机构CAD研究，Gxn_yx@163.com

国家自然科学基金资助项目(51275092)