电磁成形线圈电感计算

邓将华，黄伍平，王威

(福州大学机械工程及自动化学院，福建福州350116)

电磁成形线圈电感计算

邓将华，黄伍平，王威

(福州大学机械工程及自动化学院，福建福州350116)

采用解析法和有限元方法对电磁成形线圈电感进行计算并测量.研究结果表明，解析法和2D有限元法计算线圈电感与实测值误差较大，且只能计算少量的轴对称线圈的电感，具有较大的局限性.而基于增强型能量增量法原理的3D有限元法求解电感精度较高，可以较好地计算实际结构线圈的电感，对于异形线圈电感也可以方便建模求解，为线圈的设计奠定了基础.

电磁成形;电感计算;解析法;3D有限元法

0 引言

电磁成形是将强脉冲电磁力作用于金属毛坯使其产生塑性变形的一种高能率成形工艺.相对于传统金属压力加工方法而言，它具有生产率高、工艺重复性好、工装简单、材料极限变形能力高且利于实现复合工艺等优点，故广泛应用于航空、航天、汽车、电子等领域.电磁成形过程中电容器储存的电能通过线圈放电瞬间转变为工件的塑性变形能［1－5］.线圈是电磁成形的关键元件，对工件成形效率及质量具有重要影响［6－8］.线圈电感的精确计算是电磁成形过程放电回路分析和工艺参数优化的基础.目前，线圈电感的计算主要有解析法和数值法.解析法一般是通过毕奥－萨伐尔定律或引入矢量磁位，结合分离变量法、积分变换法或格林函数法等首先给出磁场的解析解，进而求得电感的解析表达式［9］.但解析表达式一般较复杂，难以直接应用，需要通过查表、结合数值计算或通过计算机编程来辅助求解［10－13］.近几十年来，随着有限单元法(FEM)、边界元法(BEM)、有限差分法(FDM)等方法的发展，数值方法得到了广泛应用.FEM作为数值方法的一种，建模时考虑了线圈结构的实际分布、具体形状和电磁材料的非线性等因素，为线圈电感的精确计算提供了一种有效的方法［14－15］.本研究在分析线圈电感计算原理的基础上，分别采用解析法和有限元法对电磁成形线圈电感进行计算.通过与实测值比较，确定电感计算的有效方法，并将该方法应用于异形线圈电感的计算.

1 线圈电感计算原理

1.1 解析法

当线圈中通入恒定电流时，在线圈周围产生静磁场.可以直接利用毕奥－萨伐定律，或引入矢量磁位A、标量磁位φm，通过求解满足一定边界条件的泊松方程(2A=－μJ)和拉普拉斯方程(2φm=0)进行恒定磁场的计算.其中:2为拉普拉斯算子，μ为介质磁导率，J为电流密度矢量.然后根据磁链法(L=ψ/I)或磁能法(W=LI2)求解线圈电感，其中:ψ为磁链，I为线圈电流.

解析法能明确表示常量与参数的关系，计算量小、精度高，可以大量简化数学过程.但解析法仅能求解少量具有规则边界形状的边值问题，并不是所有问题都有解析解.另外解析解很难直接应用，需要通过查表、计算机编程或其他辅助方法进行求解.

1.2 有限元法

根据模型的不同，计算电感主要有二维(2D)和三维(3D)有限元法.对于二维静态磁场可以采用磁矢量法(MVP)求解，而三维静磁场除了可以采用磁矢量法，还可以采用磁标量法(MSP)和棱边单元法(EFE)求解.基于磁场的计算结果，线圈电感则可以通过磁链法或磁能法求解.但是对于3D有限元法，特别是形状复杂的线圈，因为积分路径的选取会比较繁琐，所以磁链法并不适用.而能量法不需要考虑积分面的选取，而且有限元法中关于能量或共能的计算是基于最小磁能原理，故有较高的计算精度［14］.为了提高能量法的计算精度和计算效率，Gyimesi和Ostergaard对能量法进行了改进［16］，提出了增强型能量增量法(EIEM)，减少了计算所需的求解数，使基于EIEM的有限元法计算电感更加可靠.

以单个线圈组成的系统为例，当线圈中的电流从工作点i0变化到i1，产生Δi的电流增量时，根据法拉第电磁感应定律则会产生自感电动势u:

在整个变化过程中，电源将反抗电动势做功有:

根据能量守恒，这部分功将以能量的形式储存在线圈内.对于各向同性非铁磁物质，B=μH，由电流扰动引起的磁场变化可以表示为:

其中:H0、B0是工作点的磁场量，ΔH、ΔB是电流扰动引起的增量.则磁场能量的变化可以表示为:

对比(2)、(4)两式各项，ΔH、ΔB是电流扰动Δi引起的场量变化，故可得电感的表达式:

与能量法相比该改进方法求解线圈电感只需要一个增量分析，电流增量的选取可以更加灵活，而且不需要计算绝对磁能，计算效率好，精度高，故本研究的有限元计算都采用这种方法.

2 平板线圈电感计算

平板线圈是电磁成形最常用的一种线圈结构，利用平板线圈可实现板材冲裁、粉末压实、电磁铆接等工艺.线圈材料为紫铜.线圈结构如图1所示，导线截面为矩形，用线切割的方法在紫铜板上加工出的线圈实物如图2所示，线圈结构具体参数如表1所示.

表1 线圈结构参数Tab.1Structural parameters of pancake coil

2.1 解析法计算电感

对于如图1所示的电磁成形用轴对称矩形截面平板线圈，为了简化计算，忽略其线圈的螺旋性和绝缘层厚度，并认为其电流沿截面均匀分布，故可将其等效为空心圆柱线圈，其电感计算采用文［11］中的方法.该方法引入矢量磁位A，认为空心圆柱线圈是由无穷多个同轴圆环线圈组成的，并将其矢量磁位作为一个边值问题用分离变量法求解.圆柱线圈的矢量磁位可以通过对圆环线圈矢量磁位的积分和叠加原理求得.然后根据磁感应强度B和矢量磁位A的关系B=×A求得空心圆柱的磁感应强度.通过能量法或磁链法求得电感的解析表达式［11］:

类贝塞尔函数;μ0为真空磁导率;N为线圈匝数;函数T(p，q)的值可通过Matlab编程计算，其计算结果为26.847 1，则线圈电感解析解为6.87 μH.

2.2 有限元法计算电感

1)2D有限元法

由于线圈满足轴对称关系，可以简化为二维磁场进行计算.对二维磁场的有限元分析采用磁矢势法(MVP)，即以矢量磁位A为节点自由度进行磁场的计算.对恒定磁场的麦克斯韦方程为［17］:

通过变分方法即可得出有限元方程组，写成矩阵形式为:

式中:K为系数矩阵;A为矢量磁位矩阵;F为电流源密度值的常数项矩阵.

根据线圈形状，在有限元商用软件ANSYS中可建立如图3所示1/2有限元模型，磁场有限元区所需激励通过施加电流密度进行加载.有限元区域中单元矢量磁位可表示为:

式中:Ai为节点i的矢量磁位;Ni为其标量形状函数.

对于x=0的边界，应满足磁力线平行，施加AZ=0的边界条件.对于y=0的边界，应满足磁力线垂直，默认条件下自然满足.对于线圈周围近场空气网格划分较密，远场空气则采用映射划分.磁场的求解完成后可以通过ANSYS中的宏LMATRIX利用EIEM方法进行电感的求解，求解结果为5.67 μH.

2)3D有限元方法

线圈三维模型的磁场可采用棱边单元法进行求解.棱边单元法与矢量位法相似，都是利用矢量磁位A进行磁场的计算，区别在于棱边元的单元自由度Al与单元边l(棱边)相关，即是磁矢量A沿单元边的切向分量的积分，其形状函数为矢量函数Nl［18］，单元中的矢量磁位为:

线圈的激励电流源可以采用非剖分单元SOURC36模拟，此时可以将其视为单元的实常数而不必进行网格剖分.对于本研究使用的平板线圈可建立如图4、图5两种模型.图4将线圈等效成空心圆柱不考虑间隙，图5考虑线圈间隙，两种有限元模型采用相同的网格划分.不考虑SOURC36单元数，网格剖分后共产生单元数11 280，节点数34 545.对模型外表面上全部节点施加通量平行边界条件AZ=0.完成磁场的有限元计算后调用ANSYS的宏LMATRIX，通过能量增量法进行电感计算，其计算结果分别为5.27和5.14 μH.

3 分析和讨论

通过解析法和有限元法计算得到的电感值和实测值如表2所示.电感测量仪器为TH2810D LRC数字电桥，测量频率为100 Hz.通过比较可知，解析法和2D有限元法的计算误差较大，分别为37.4%和13.4%，而3D有限元法误差均在6%以下，如考虑线圈间隙，其误差仅为2.8%，大大提高了计算精度.其原因主要为解析法和2D有限元法在计算过程中做了过多的假设，且两种方法都没有考虑到线圈绝缘层的影响，而电磁成形用线圈一般都是在较高的电压下工作，为了保证耐压等级需要缠绕较厚的绝缘层.3D有限元法考虑了磁场的端部效应，其结果较为精确，特别是当考虑线圈绝缘层的影响时，结果更为精确.误差产生主要是因为线圈在内外两端面部分扭曲严重且需要较长的引线，从而使测量结果和计算结果有一定的偏差.

表2 计算及测量结果Tab.2Results of computation and measurement

为了进一步验证线圈电感计算的准确性，将测试用线圈接入低电压电磁成形设备，通过电阻分流法测量空载时的放电电流.设备相关参数为:系统内阻15.2 mΩ，系统电感为5 μH，电容为73.13 mF.线圈电感计算结果为5.14 μH，线圈实测电阻为2.4 mΩ，不同放电电压下线圈电流随时间的变化如图6所示.通过对比可知，模拟结果和实测电流分布基本吻合，因此，可利用该方法求解线圈电感，并可用于电磁成形设备放电电流分析.

在电磁成形中，根据零件形状的不同需要采用不同形状的异形线圈.而异形线圈由于其形状的复杂性，其电感计算困难.利用3D有限元方法可以考虑线圈的实际形状，因此可用于异形线圈电感的计算，而其他方法难以完成.为了验证其可行性，缠绕一个如图7所示的矩形螺旋线圈.材料为紫铜导线，其截面尺寸为2 mm×7 mm，匝数为17匝.由于此线圈的绝缘层较薄，忽略其影响后可建立如图8所示1/4有限元模型.计算结果为L=19.38 μH，实测电感L=20.0 μH，计算结果与实测值基本一致，误差较小.

4 结语

1)解析法和2D有限元法对电磁成形用平板线圈的计算误差较大，且只能计算少量的轴对称线圈的电感，有较大的局限性.

2)基于EIEM原理的3D有限元法求解电感精度较高，可以较好模拟线圈的实际结构.当考虑线圈的实际形状时模拟结果更加接近实测值，对于异形线圈也可以较方便进行建模求解，为线圈设计奠定了基础.

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(责任编辑:沈芸)

Inductance computation for electromagnetic forming coil

DENG Jianghua，HUANG Wuping，WANG Wei
(College of Mechanical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou，Fujian 350116，China)

Coil inductance is calculated using the analytical method and finite element method and measured.The result shows that the error of coil inductance between the calculation and measurement is big and only a few coil inductance of axial symmetry can be calculated with the analytical method and 2D finite element method.It is limited to the calculation of coil inductance.The calculation precision of coil inductance is high and the coil inductance considering coil structure can be obtained with 3D finite element method based on enhanced increment energy method.At the same time，the inductance of special－shape coil can be calculated by the 3D finite element method and the method establishes the foundation for the coil design.

electromagnetic forming;inductance calculation;analytical method;3D finite element method

TG391

A

10.7631/issn.1000－2243.2016.06.0789

1000－2243(2016)06－0789－06

2015－06－25

邓将华(1980－)，副教授，主要从事电磁成形理论和工艺研究，jhdeng@fzu.edu.cn

福建省自然科学基金资助项目(2013J01181);轻合金加工科学与技术国防重点学科实验室开放基金资助项目(gf201201001)