微分中值定理的高阶形式*

李丽芳　杜娟　宋庆凤（天津城建大学 理学院，天津 300384）



微分中值定理的高阶形式*

李丽芳杜娟宋庆凤
（天津城建大学 理学院，天津 300384）

摘要：文章使用数值分析中多项式插值理论将微分中值定理推广到更为广泛的高阶形式，打破了须已知函数在区间等分点上的函数值的限制，并用差商形式更为简洁地表示出高阶微分中值定理，给出了新的证明方法。

关键词：微分中值定理；高阶；插值；差商

引言

微分中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与其在该区间内部某一点的导数之间的关系，是微分应用的理论基础，在微积分理论中占有极其重要的地位，因而一直以来都是人们研究的热门课题。文献［1］利用数学归纳法将微分中值定理作了推广；文献［2］利用向量形式的微分中值定理，将微分中值定理推广到了高阶形式；文献［3］给出了高阶微分中值定理的一般形式；文献［4-6］引用了高阶微分中值定理的形式并对它们进行了不同角度的探讨。文章致力于使用多项式插值法理论将微分中值定理推广到更为广泛的高阶形式，用差商表示出高阶Lagrange中值定理与高阶Cauchy中值定理，并给出新的证明方法。

首先，简要介绍一下文章将涉及到的多项式插值理论［7］。

设已知函数f（x）在区间［a，b］上一系列互异节点a=x0＜x1＜…＜xn=b处的函数值f（xi），i=0，1…，n，则存在惟一n次多项式p（x）满足：p（xi）=f（xi），i=0，1，…，n。

（2）取Nn（x）=f（x0）+（x-x0）f［x0，x1］+…+（x-x0）（x-x1）…（x-xn-1）f［x0，x1，…，xn］

其中f［x0，x1，…，xk］为f（x）关于节点x0，x1，…，xk的k阶差商，则Nn（x）是n次多项式且满足：Nn（xi）=f（xi），i=0，1…，n，称Nn（x）为f（x）的Newton插值多项式。

差商性质：f（x）的n阶差商f［x0，x1，…，xn］可表示为f=（x0），f（x1），…，f（xn）的线性组合其中

一、高阶Lagrange中值定理

定理1设f（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x）在（a，b）内存在x0，x1，…，xn，是区间（a，b）上任意n+1个互异节点，则存在ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）=n！f［x0，x1，…，xn］。

证明：设Nn（x）为f（x）的Newton插值多项式，即

Nn（x）=f（x0）+（x-x0）f［x0，x1］+…+（x-x0）（x-x1）…（x-xn-1）f［x0，x1，…，xn］

令φ（x）=f（x）-Nn（x），则φ（xi）=0，i=0，1…n，连续n次使用Rolle中值定理得，存在ξ∈（a，b），使得φ（n）（ξ）=f（n）（ξ）-Nn（n）（ξ）=0，而N（n）（x）= n！f［x0，x1，…，xn］，故f（n）（ξ）=n！f［x0，x1，…，xn］。

若仅取两个节点x0=a，x1=b，则得Lagrange中值公式：f，因此，定理1是Lagrange中值定理的推广。

由上述差商性质立即可得下列推论1。

推论1设f（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x）在（a，b）内存在，x0，x1，…，xn是区间［a，b］上任意n+1个互异节点，则存在ξ∈（a，b）使得若取节点x0，x1，…，xn为区间［a，b］的等分点，即由推论1，于是可得下列推论2。

推论2设f（x）∈cn-1［a，b］，fn（x），在（a，b）内存在，则存在ξ∈（a，b），使得

二、高阶Cauchy中值定理

定理2设f（x），g（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x），g（n）（x）在（a，b）内存在，且对任一x∈（a，b），g（n）（x）≠0，x0，x1，…，xn是区间［a，b］上任意n+1个互异节点，则存在ξ∈（a，b）使得

证明：首先根据定理1，存在η∈（a，b），使得g［x0，x1，…，xn］=η！g（n）（η）≠0，故（*）式有意义。

设hi（x）（i=0，1，…n）是过点（xk，g（xk））（k=0，1，…，n且k≠i）的关于g（x）的n-1次Lagrange插值多项式，由上述多项式插值理论，

显然对一切i，g（xi）-hi（xi）≠0且

连续n次使用Rolle中值定理得，存在ξ∈（a，b）使得F（n）（ξ）=0，即注意到hi（n）（ξ）=0，得，亦即

于是，

若仅取两个节点x0=a，x1=b，则得Cauchy中值公式：

因此，定理2推广了Cauchy中值定理。

推论3设f（x），g（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x），g（n）（x）在（a，b）内存在，且对任一x∈（a，b），g（n）（x）≠0，则存在ξ∈（a，b）使得

文章推论2，推论3正是文献［1-6］介绍的高阶Lagrange中值定理与高阶Cauchy中值定理。

参考文献

［1］杜家祥.柯西中值定理与拉格朗日中值定理的高阶形式［J］.淮北煤师院学报，2001，22（4）：68-70.

［2］洪勇.高阶微分中值定理及其应用［J］.四川师范大学学报（自然科学版），1998，21（6）：620-623.

［3］匡继昌.高阶微分中值定理［J］.北京教育学院学报（自然科学版），2014，9（3）：1-5.

［4］周晓中.动态区间上高阶Cauchy微分中值“中间点”的渐进性［J］.商丘师范学院学报，2005，21（2）：67-68.

［5］姜国晶，郝金彪.关于高阶微分中值公式的几点注记［J］.辽宁师范大学学报，1992，15（1）：74-76.

［6］李文娟.柯西中值定理的逆问题及渐进性［J］.数学的实践与认识，2014，44（22）：293-298.

［7］熊洪允，曾绍标，毛云英.应用数学基础（第四版）下册［M］.天津：天津大学出版社，2010.

中图分类号：O174

文献标志码：A

文章编号：2096-000X（2016）13-0259-02

*基金项目：天津城建大学教育教学改革与研究项目（JG-1321）

作者简介：李丽芳（1979-），女，山西长治人，天津城建大学数学系，讲师，硕士学位，研究方向：常微分方程。

Abstract：In this paper，the differentialmeanvaluetheoremisextendedtoawiderrange of higher order form by using the theory of polynomialinterpolationinnumericalanalysis.It has broken the limitation of the functionvalues known in theintervalbisectionpoint，andmoresuccinctlyexpressedhigherorderdifferentialmeanvaluetheoremusingthedifference quotient forms.Meanwhile，the new proofmethodispresented.

Keywords：differential mean value theorem；higher order；interpolation；difference quotient