认知负荷视阈下小学数学数量关系的教学探究

□顾　健



认知负荷视阈下小学数学数量关系的教学探究

□顾健

【摘要】我们习惯于以一个知识点、一个例题、一组习题方式“匀速”进行数量关系的教学。结果，有的学生“不识庐山真面目”，有的学生能够“柳暗花明又一村”。本文就小学数量关系教学中暴露出来的一些“症状”，试图以“认知负荷”视角探寻解决的三个策略：重组形式，重构教学，化“负”为“正”；优化样例，优活媒介，化“难”为“易”；整合内容，统合结构，化“零”为“整”。

【关键词】数量关系；认知负荷；教学策略

孔凡哲教授认为：数量关系是数学研究的核心内容之一。学生对数量关系的理解和运用水平在一定意义上已然成为衡量数学学习水平的试金石，教材不专门安排数量关系的教学，而是将其渗透在数据运算的教学中，如何促进学生对数量关系的意义理解？如何沟通看似分散、孤立的数量关系并内化为结构模型？这些问题都能用认知负荷理论做出很好的解释。小学年龄阶段的学生，思维认知特点逐渐从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，相应阶段的认知策略尚未完全建立，认知负荷容易超出认知总量。这就要求教师在教学中适度减轻认知负担来破解教学中的难题。当然，这只是浅层理解，认知负荷绝不是一“减”了之，适当时候还需要增加认知负荷。

一、意蕴解读：认知负荷的内涵诠释及价值探寻

1.认知负荷的内涵诠释

通常认知负荷被分为三类：内在、外在和关联认知负荷。内在认知负荷是由学习内容的难度水平导致的负荷。学习内容的难易程度，反映在它包含的信息数量及这些信息间的关联度。如“3+3=”和“3×3+2÷3=”的认知难度就不同。

外在认知负荷并不是学生学习过程中所必须经历的过程，很多时候是一种无效认知负荷，主要是由教学设计不当与材料呈现缺乏结构化造成的。比如，单纯的文字叙述比“文字+图片”的形式带来更高的认知负荷。所以，形式的变化与结构的变换可以实现外在认知负荷的调节。

关联认知负荷会给学生认知带来一定的负担，它是自我调节、监控和分配认知资源完成相应认知任务的过程，不会阻碍学生的学习，反而能促进学生的学习进程。如简单的乘法意义模型建立“3×4”，教材呈现了3个4相加和4个3相加，将连加模型与乘法模型沟通，学生头脑中的乘法模型并不完整。这时可以增加呈现矩阵模型与数轴模型，学生图式的建构就更为完美。

2.认知负荷的价值探寻

基于这样的理论研究基础，在小学数学数量关系的教学中认知负荷理论有怎样的独特价值呢？

首先，重组学习材料，优化内在认知负荷。学习材料的数量、质量及其相互间的交互、融合程度是学习材料的固有属性，而学习者已有的知识储备是学习者个体所独有的既存事实，这二者都不会轻易地发生改变，所以，对学习内容进行重新组织可以从一定程度上优化内在认知负荷。

其次，改变呈现方式，减弱外在认知负荷。呈现方式越合理，越符合学习者的认知与心智发展水平，学习者需要分配的注意就越少，产生的外在认知负荷越低，越有利于学习。

再次，促进图式构建，增加相关认知负荷。图式有助于解释为什么背景知识和它在记忆中组织的方式对我们学习新知识特别重要，它能构建信息之间的联系，为学习新知提供更大的空间。

二、课堂审视：数量关系教学中的现实扫描及理性剖析

教材对数量关系的教学是以一个知识点、一个例题、一组练习方式进行编排，我们也习惯以这样的“匀速运动”

1.类型多样——儿童相见不相识

小学数学量关系包括简单数量关系、复合数量关系及特殊数量关系。简单数量关系是以加、减、乘、除四则运算应用到实际问题中形成的四种数量关系，即部总关系、相差关系、倍数关系和份总关系。所谓复合数量关系是四种基本数量关系经过交错组合而成的复杂数量关系，它是一个从简单到复杂的变化过程。多样的类型加上不同的言语表述方式，给有限的认知容量带来冲击，学生没有相应的认知资源分配策略，造成认知负荷的极大负担。

2.结构复杂——乱花渐欲迷人眼

数量关系的表述依赖于文字的呈现与组织，文字组织的多样性就使数量关系呈现复杂的结构。以下面两种表述为例，第一种：足球有100只，篮球是足球的3倍多13只，篮球有多少只？第二种：足球有100只，足球是篮球的3倍多13只，篮球有多少只？两种表述看似差别不大，但对智力的挑战截然不同。第二种呈现方式是对第一种的逆向变换，学生需要借助正确的认知策略分析数量关系。另外，表述形式中出现的关键性词语，如：增加、增加到等词语意义的辨别给识别数量关系人为增加了不必要的认知负荷，造成认知负荷的超载。

三、路径探寻：遵循认知负荷规律，催生教学有效策略

认知负荷理论被引入数量关系的教学中最为核心的是把握认知负荷的分类，可以从学习材料的结构性、教学设计的优化等方面有针对性的减少内在、外在认知负荷。发展和完善图式的构建，增加有关的认知负荷。

1.重组形式，重构教学，化“负”为“正”

内在认知负荷就其内在固有本质属性而言，确是难以改变。但是，可以围绕学生原有知识经验对其内容进行形式重组，结构重构。最终，确定更为合理的内容与方式进行教学。

（1）以“形变”为思维路径，识别“序”的架构。数量关系内容的表述形式是认知负荷产生的主要来源。改变或重组语言文字的表达方式，就可以减轻内在认知负荷。学生根据大量的具体情景通过归纳提炼和概括抽象出数量关系，教学中为了体现情境描述的完整性，内容的表述往往出现专业术语或过多的无关信息。殊不知，对这些专业术语的意义解读和无关信息的分析都需要占用一定的认知资源，从而导致认知负荷的增加。

“国家游泳中心又称为“水立方”，设计中运用了泡沫理论，外墙建筑部分有3000个不规则的泡泡气枕，整个外墙表面覆盖面积达到11万平方米，比德国世界杯安联球场的外墙表面覆盖面积还要大。“水立方”总用钢量达6900吨，每平方米用钢量仅120千克）、最大跨度有130米。相邻的鸟巢用钢量达到了20000吨。相比之下，“水立方”显然更加节省能源。⑴“水立方”的总用钢量比“鸟巢”的总用钢量少几分之几？⑵“水立方”比安联球场外墙表面覆盖面积多多少万平方米？”

这是一道关于倍数和相差数量关系的习题教学，学生普遍反映反复阅读多遍后才找准数量关系，造成困难的原因是信息量大、对专业术语缺乏感性认识，要求有很高的自我认知监控能力，作为一般了解的信息需要调用部分认知资源，影响了对数量之间关系的把握和提炼。题干的表述可以作如下调整：

国家游泳中心又被称为“水立方”，建筑外墙表面覆盖面积达到11万平方米，比德国安联球场的外墙表面覆盖面积还要大。“水立方”建筑的用钢量为6900吨，相邻的鸟巢用钢量达到了20000吨。

这里的数量关系并不复杂，“水立方”“鸟巢”“安联球场”都是一般了解的背景知识，属于相互干扰的信息源。我们可以运用信息临近原则，重新调整和筛选，使信息的表述符合学生的思维顺序，让认知资源集中在建立数量关系。

学校读书节推荐阅读《窗边的小豆豆》，李悦原计划25天读完，实际比计划多用了6天，原计划每天读12页，实际每天读几页？

学校读书节推荐阅读《窗边的小豆豆》，李悦原计划每天读12页，25天读完，实际比计划多用了6天，实际每天读几页？

很显然，后面一道的信息排列要求先求出总量，再解决每份数，属于典型的归总关系结构。前两个信息满足“每份数×份数=总数”的基本结构，后两个信息是“较小量+相差量=较大量”的结构，学生可以依据信息顺序探寻解决路径。

（2）以“联系”为思维路径，洞察“联”的因果。学生的原有知识储备具有普遍性和特殊性。在相同年龄、相同年级和一定区域的学生有着较为相似的心理特征与知识储备；而对于学生个体而言，各自又有着独特的心理规律与知识背景。教师对这些应该了如指掌。

在神奇的计算机世界里用min（a，b）表示a、b两数中的较小者，而用max（a，b）来表示a、b两数中的较大者，例如min（4，5）=4，max（3，7）=7。（这两个新符号的其他运算规则与我们小学所学四则混合运算规则相同），请计算：min（2015，10）×max（20.15，8）。

这道题将简单的倍数关系与定义新运算相结合，教师可以让学生通过自我解释，暴露知识经验，进而找到解决的策略。

2.优化样例，优活媒介，化“难”为“易”

教学设计是造成学生外在认知负荷的主要原因，学习材料的呈现、媒体的运用、典型样例等越符合学生的认知和心理水平，学生需要分配的注意就越少，外在认知负荷就会相应降低。

（1）依托内容，“改一点”削弱外在认知负荷。依托原有问题，更换其中的单个条件，以系列化的方式将同一问题情景以题组形式呈现，这样可以帮助学生降低因加工不同问题情境而调动的认知资源，就可以将更多的认知资源集中指向数量关系的分析。以部总关系的教学为例，简单问题是“工人种松树40棵，种柏树80棵，种柏树多少棵？”如果按照相差关系进行变换，可以把松树这个条件变换为较小量，即“工人种柏树80棵，种松树比柏树少40棵，种松树多少棵？”可以通过“较大量-相差量=较小量”获得结果；也可以把柏树这个条件变换为较大量“工人种松树40棵，柏树比松树多种40棵，种柏树多少棵？”可以通过“较小量+相差量=较大量”获得结果。这样多角度的变换过程可以让学生很好地同化数量关系间的结构，在同一情境中数量关系的表达以题组的方式出现，跳出情景本身，在比较、分析的过程中迅速捕捉条件之间的关系。

（2）巧借媒介，“添一点”减少外在认知负荷。心理学家研究表明：思维过程中视觉信息和听觉信息的获得与加工是分离的，两种信息获取的方式对内容的理解形成相互补偿。小学生以具象思维为主，单纯依靠语言或符号的抽象特征，会使部分认知处于闲置状态。如行程问题数量关系非常复杂，学生在解决过程中困惑较多，在日常经验中“同时、相向和相遇”并不具备典型性，但他们之间又有万变不离其宗的内在关系。理解出发地点、运动方向、运动时间和运动结果四大要素是理顺数量关系的关键所在。

钓鱼岛是我国的固有领土，中国海监船51号和66号在钓鱼岛海域例行维权巡航。某日，海监船51号和海监船66号同时从东西两海域相向而行，海监51号每小时行36海里，海监66号每小时行45海里。两船在距中点27海里处相遇。两船出发地之间相距多少海里？

通过媒体设计动态直观的演示理解四个要素的发生、发展过程，或借助实物辅以操作、体验，形成丰富的图像联系来弥补生活经验的缺失，这样会大大减轻外在认知负荷，腾出更多的认知资源帮助学生建构数量关系。

（3）精选样例，“换一点”化解外在认知负荷。典型样例能清晰呈现解决问题的一般程序，使得只能会意不能言传的“缄默”知识在自我解释获得，有助于学生对数量关系学习的迁移。以部总关系的两步复合数量关系问题为例，首先呈现问题：“一年级有学生100人，二年级有学生150人，两个年级共有学生多少人？”这个问题中的数量关系是简单的部总关系。按照部总关系把二年级学生人数变化成为两个部分量，即一年级有学生100人，二年级男生70人，女生有80人，两个年级共有学生多少人？这个问题就由两个部总关系复合而成。学生在先前已经掌握了简单的部总关系，能有这样的样例示范过程，模仿解决问题的方法与结构。对于更为复杂的相差关系与部总关系复合而成的数量关系：“二年级有150人，一年级比二年级少50人，两个年级一共多少人？”也能在自我解释、教师解释的过程中逐渐澄明。

3.整合内容，统合结构，化“零”为“整”

总体认知负荷不超载的情况下，增加关联认知负荷有助于学生提升数量关系建构与迁移的能力。也就是将简单的数量关系信息以网状形式组成，形成关联不断丰富的图式，以模块形式储存，有效克服认知负荷的限制。

（1）归纳类型，搭建框架——化“点状”为“网状”。

随着学生对数量关系的不断体验和累积，概括和抽象出数量关系是学生感性认识上升到理性认识的必然选择。数量关系的类型化能帮学生激活原有图式，进一步理解上位的数量关系。如通过“表内乘、除法”的学习后，学生已经能够正确识别份总关系的表达：“总量÷份数=每份数、总量÷每份数=份数、每份数×份数=总量”，借助这三者间的关系，举一反三地抽象出一些常见的数量关系，如“单价、数量与总价；工作时间、工作效率与工作总量”等，而这些数量关系的获得必须经历归纳、提炼的过程，这样的数量关系以多元表征的方式储存于认知空间，遇到差异性关系表达，就能更为主动、灵活地选择。

（2）构建图式，类比简化——化“粗疏”为“精细”。康德曾说，“图式是潜藏在人类心灵深处”的一种技术，一种技巧”。具体数量关系纷繁多变，不宜储存，不宜提取。不同图式的建立有助于把问题的基本结构存储于大脑，并在不同的情境中加以识别、迁移，结构化程度越高，储存和提取的效果越接近自动化水平，这样在形成数量关系时就不需要占用太多的认知空间。

如，幼儿园购进12箱迷你南瓜，每箱24个，一共多少个？数量关系很简单，在算12×24时也只需要激活两位数乘一位数的图式。如果引导学生借助两位数乘一位数的知识经验进行解答，学生就能根据数量关系的意义激活连乘（12×4×6）、乘加混合（24×10+24×2）和连加的图式，得出不同的计算方法。在基本图式的指引下，缩减了识记的数量单位，减轻了记忆负担。

（3）认知监控，通达未知——化“被动”为“主动”。

元认知是个体对自身认知加工过程的意识和控制。学生自我认知监控意识过程势必会占据一定的认知资源。但是，良好的认知策略一旦达到自动化水平，就会在类似问题中空出大量的认知资源。元认知监控不能进行独立教学，它渗透在学习的每个过程，只要把握好恰当的时机，学生就能充分体验“回头看”即分析、计划、执行、反思在寻找和理解数量关系过程中的重要性。如，在2个同样的大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是100个。每个大盒比每个小盒多装8个，每个大盒和小盒各装多少个？很显然，两种不同的假设过程比较呈现，能更好地帮助学生理解相差关系问题的结构特征。虽然假设的方法不同，但是盒子的数量不变，总和发生改变，这与倍数关系的问题结构不同。这样的呈现方式和辨析过程，能让学生更好地体悟认知监控的优点。

综上所述，由于认知容量有限，思维过程中很容易因负担过重而成为进一步加工信息的瓶颈。在教学中，我们可以分析认知负荷的来源及构成，发现学生学习过程中的认知障碍，给出相应的策略，进行更为有效的教学与设计。

参考文献：

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[2]孔凡哲,曾峥.数学学习心理学[M].北京:北京师范大学出版社, 2013.

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[4] (美)保罗·埃根,考查克.教育心理学(课堂之窗)[M].郑日昌译.北京:北京大学出版社,2009.

[5]史宁中,孔凡哲.对话小学数学中的数量关系、图形关系与统计关系[J].新世纪小学数学教师,2008,(1).

（编辑：张婕）

中图分类号：G623.5

文献标识码：A

文章编号：1671-0568（2016）10-0057-03

作者简介：顾健，江苏淮阴师范学院第一附属小学教师。方式进行教学。有的学生“不识庐山真面目”，屡屡挫败；有的学生“中了设计的埋伏”，掉入陷阱；当然，也有学生能够“柳暗花明又一村”，只可惜能达到这样境界的太少。从认知负荷的角度来讲，造成类似情况的原因主要有以下两点。